Đề khảo sát học sinh khá giỏi lần 2 Môn: Toán 1148100

đề khảo sát học sinh giỏi lần - năm học 2008 2009 Môn: Toán 11 Thời gian làm bài: 150 phút A - Phần chung cho tất thí sinh Câu I: (3 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình sau: cos x a/ cot x    sin x  sin x  tan x 1  x  x  y  y b/  2 y  x   c/ A2 x  Ax2  C x3  10 x C©u II: (2 ®iÓm) u1  2; u  u n 1  3u n  2u n 1 ; n  2,3, 1/ Cho d·y sè  H·y xác định số hạng tổng quát dÃy số vµ tÝnh tỉng: u1  u   u n 2/ TÝnh tæng S = + 77 + 777 + … + 77…7 (n ch÷ sè 7) Câu III (3 điểm) 1/ a Lập phương trình ®­êng trßn (C) ®i qua A(1; 1), B(1; 5), C(3; 3) b Viết phương trình đường thẳng qua M(2; 4) cắt đường tròn (C) ®iĨm A, B cho M lµ trung ®iĨm cđa đoạn thẳng AB 2/ Cho hình hộp ABCD.ABCD a Chứng minh rằng: mặt phẳng (BDA) song song với mặt phẳng (B’D’C) b Chøng minh r»ng ®­êng chÐo AC’ ®i qua tâm G1 G2 BDA BDC Câu IV (1 điểm) (Thí sinh khối D làm câu này) 1 CMR: x y z 1   1 2x  y  z x  2y  z x y 2z Cho x, y, z số dương thoả mÃn B - Phần dành riêng (Thí sinh chọn câu V.a câu V.b để làm) Câu V.a (Khối A, B: điểm khối D: điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d1: x y = vµ d2: 2x + y – = Tìm toạ độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuôc d2 đỉnh B, D thuộc trục hoành Câu V.b (Khối A, B: ®iĨm – khèi D: ®iĨm) Trong mét bó hoa có hoa đỏ, hoa vàng hoa trắng Chọn ngẫu nhiên hoa Tính xác xuất để hoa chọn: 1) có đủ mầu hoa 2) có ®óng b«ng hoa ®á ………………….…………….HÕt……… …………………… Chó ý: + Nếu thí sinh làm câu V.a câu V.b phần dành riêng không chấm + Thí sinh không sử dụng tài liệu Họ tên HS:SBD: DeThiMau.vn Hướng dẫn chấm thi khảo sát học sinh giỏi Môn: Toán học lớp 11 Câu ý Nội dung Điểm I 0.25đ sin x o  + §iỊu kiƯn cos x   tan x (*) Khi phương trình trë thµnh PT  cos x cos x  sin x 1   sin xsin x  cos x  sin x sin x 1 cos x cos x  sin x    cos x  sin x   sin x cos x  sin x    1  sin x cos x  sin x    + sin x  cos x    x   k Z (thoả mÃn điều kiện (*)) k +  sin x cos x  sin x    sin x   cos x   sin x  cos x  Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm : x    k 1  x  x  y  y Gi¶i hƯ phương trình y x   + Ta cã (1)  x  y 1    0 xy  (1) 0.25® ®iỊu kiƯn: x, y  (2) x  y  xy  1   1   xy  1 y   TH2:  x 2 y  x  x  x    0.25® k  Z   x   x  y x  y x      TH1:     x  1 x  x   2 y  x   x    0.25đ 0.25đ 0.5đ hệ phương trình vô nghiƯm v× 1  1  x  x    x     x     0, x 2  2  DeThiMau.vn 0.25® I 2 x  x   + §iỊu kiƯn   x  (*) x   x  0.25đ Khi phương trình trở thành x ! x! x!    x  12   x  2 x  !  x  ! x x 3!.3! II 0.5đ Kết hợp với ®iỊu kiƯn (*) ta cã nghiƯm cđa BPT lµ: x  3;4 0.25® + Ta cã u n 1  u n  2u n  u n 1  0.25đ (1) n 2,3,4 + Đặt v n u n 1  u n n  1,2,3, Khi ®ã tõ (1) ta cã v n  2v n 1 n  2,3,4, Nh­ vËy v1 , v , v3 , lËp thµnh CSN với công bội q = v1 u  u1  0.25® + Khi ®ã u n  u n  u n 1   u n 1  u n     u  u1   u1  v n 1  v n   v1 0.25đ + Tính ®óng: u1  u   u n  n  n  0.25® 9  99  999   99 9 0.25đ + Viết lại S + S  7 10 10 n   10 n 1  10  9n 10  10   10 n  n    9  10   9  VËy S  III  v1 q n 1   un    n 1  q 1   10 n 1  10  9n 81  0.5® 0.25® 1.a + Gọi phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = (a2 + b2 –c > 0) + (C) ®i qua A(1; 1), B(1; 5), C(3; 3) nªn ta cã: 12 + 12 – 2a.1 – 2b.1 + c = (1) 12 – 2a.1 – 2b.5 + c = (2) 32 + 32 – 2a.3 – 2b.3 + c = (3) + 52 + Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: a = 1, b = 3, c = 0.25đ 0.25đ + Vậy phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + = b +Đường tròn (C): x 12 y 32 , tâm I (1; 3), bán kÝnh R = 2, MI  1;1 0.25® qua M 2;4  qua M qua M  (d ) :   (d ) :  vtpt MI  1;1 MA  MB  AB  MI 0.5® + Ta cã: (d):   (d ) : x   y    (d ) : x  y   DeThiMau.vn 0.25® 2.a 0.25®  BD // B' D'  BD // B' D' C   B ' D '  B ' D ' C  Ta cã   A' B // CD '  A' B // B' D' C CD '  B' D' C  vµ  0.25đ Vì BD AB nằm (ABD) nên (A’BD) // (B’D’C) b  AC '   AA' C ' C    AA' C ' C    A' BD   A' O  AC  BD  O 0.25® + G1   A' BD   AC ' A' O  G1   G1  AC ' G1 AO ~ G1C ' A'  0.25® G1O OA   G1 A' A' C ' 0.25đ G1 trọng tâm ABD Tương tự G2 AC 'B' D' C  G2 O' C ' ~ G2 CA  G2 O' O' C '   G2 C AC 0.25đ G2 trọng tâm BDC IV + Víi a, b > ta cã 4ab  a  b 2  ab 11 1       a  b 4ab ab 4a b 0.25đ Dấu = xảy a = b áp dụng kết ta cã 1 1   1  1   1                  2x  y  z  2x y  z   2x  y z    x y 2z  (1) 1 1       x  y  z  y 2x 2z  (2) 11 1       x  y  z  z x y  VËy 0.5® (3) 1 11 1         2x  y  z x  y  z x  y  2z  x y z Dấu = xảy x  y  z  DeThiMau.vn 0.25đ Phần dành riêng V.a + Vì A d1 A (t; t) 0.25đ + Vì A C ®èi xøng qua BD vµ B, D  ox nên C (t; -t) (0.5đ) + Vì C d2 nªn 2t - t - =  t = VËy A (1; 1), C (1; -1) 0.25® + Gọi I trung điểm AC I (1; 0) Vì I tâm hình vuông nên (0.5®)  IB  IA    ID  IA   b    B  Ox  Bb;0  b  0; b       D  Ox  Dd ;0   d   d  0; d  0.25® (0.5®) Suy ra, B (0; 0) D (2; 0) B (2; 0) D (0; 0) 0.25đ Vậy đỉnh hình vuông là: (0.5đ) A (1; 1), B (0; 0), C (1; -1), D (2; 0) hc A (1; 1), B (2; 0), C (1; -1), D (0; 0) V.b Kh«ng gian mÉu n(Ω) = C134  715 + A = hoa có đủ mÇu hoa”  n A  C 51 C 41 C 42  C 51 C 42 C 41  C 52 C 41 C 41  400 +X¸c xuÊt cđa A lµ P( A)  n( A) 400   0.56 n() 715 + B = “cã ®óng hoa đỏ n( B) C 52 C82  280 0.25 (0.5) 0.25 (0.5) 0.25 (0.5) +X¸c st cđa B lµ P( B)  n( B) 280   0.39 n() 715 0.25 (0.5) L­u ý: NÕu học sinh giải theo cách khác vận dung thang điểm để chấm, đề nghị đồng chí giáo viên vận dụng đáp án, chấm đủ, chấm xác để trả cho học sinh DeThiMau.vn ... 0.5đ 0 .25 đ 1.a + Gọi phương trình ®­êng trßn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = (a2 + b2 –c > 0) + (C) ®i qua A(1; 1), B(1; 5), C(3; 3) nªn ta cã: 12 + 12 – 2a.1 – 2b.1 + c = (1) 12 – 2a.1 – 2b.5 +... (2) 32 + 32 – 2a.3 – 2b.3 + c = (3) + 52 + Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: a = 1, b = 3, c = 0 .25 ® 0 .25 ® + VËy phương trình đường tròn (C): x2 + y2 2x 6y + = b +Đường tròn (C): x  1? ?2   y  3? ?2. .. 42  C 51 C 42 C 41  C 52 C 41 C 41 400 +Xác xuất A P( A)  n( A) 400   0.56 n() 715 + B = có hoa đỏ  n( B)  C 52 C 82  28 0 0 .25 (0.5) 0 .25 (0.5) 0 .25 (0.5) +Xác suất B P( B)  n( B) 28 0