Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán47907

www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán BÀI T P LUY N THI OLYMPIC TỐN H C TỒN MI N NAM L N TH Ch đ : PH B T PH NG TRÌNH, H PH Gi i PT: HD: NG TRÌNH, NG TRÌNH, H B T PH ( V N PHÚ QU C- GV TR XVIII NG TRÌNH NG H QU NG NAM) 3x  x  2012  3x  x  2013  x  2014  2013 t a  3x  x  2012 ; b   3 x  x  2013 ; c   x  2014 3 a  b  c  2013 a  b  c  2013  Ta có h sau:  3 3 a  b  c  2013  a  b  c    a  b  b  c  c  a   2013 Suy ra: a  b ho c b  c ho c c   a Gi i BPT: x 2x 3x 2012 x     1 x   x  1 x  1  x  1 x  1 x  1  x  1 x  1  2012 x  1 HD: k    ta có:  kx  1  kx 1     x  1 x  1  kx  1  x  1 x  1  kx  1  x  1 x  1  k  1 x  1  x  1 x  1  kx  1 Áp d ng cho toán trên, ta thu đ 1 c:    x  1 x  1  2012 x  1   x  1 x  1  2012 x  1 1  1 1    Nghi m c a BPT là: x   1;      ;       ;  2  4   2011 2012  2  2 Gi i HPT:  2  2 x1  cos x2 x2  cos x3 x3  cos x4 ; x1 , x2 , x3 , x4   x4  cos x1 HD: Theo đ : xi  2   i  1,  cos xi  i  1, N u x1  x3 cos x2  cos x4  x2  x4  cos x3  cos x1  x3  x1 Do đó: x1  x3 Ch ng minh t ng t ta có đ V n Phú Qu c, GV Tr c: x2  x4 ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán  x1  x3 x  x   HPT cho t ng đ ng v i:  x  cos x    x2  cos x1  th c a hai hàm s : x1  cos x2 , x2  arccos 2 x1   2  1 ; x1   0;  , x2   0;  h  2   1 1 tr c t a đ Ox1 x2 c t t i m t m nh t có t a đ  ;  4 4 HPT cho có nghi m nh t là: x1  x2  x3  x4   y 30 x  y  2012  z  Gi i HPT: 30  z  2012  y  x 30  x  2012  z HD: Ta có: 30 y  y  2012  x2 ; x, y , z    30  y     2012   y  T x  ng t x, z  Khơng m t tính t ng quát, gi s : x  y , x  z Tr v theo v c a ph ng trình th ba cho ph ng trình th nh t ta đ c: y   x 30      x  y    30 x  yz  x z  x  y   x  z   Vì x  y  0, x  z  nên x  y  ; x  yz   x  yz Do đó: 30  x3  yz   x z  x  y     x yz x y   Cho 2013 s d ng: x1 , x2 , , x2013 V n Phú Qu c, GV Tr  x12  x22  x2  x1  2  x2  x3  x3  x2    th a mãn:   x2  x2  x  x 2012 2011  2011 2012 2  x2012  x2013  x2013  x2012 ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán Ch ng minh r ng 2013 s có hai s a, b cho: a  b  2012 HD: T x12  x22  x2  x1  x2  x1    x1  x2 Ch ng minh t ng t đ c: x2  x3   x2013 2 2 M t khác: x2012  x2013  x2013  x2012  x2013  x2013  x2012  x2012    x2013  Khi đó:  x1  x2   x2013 Chia đ an  0;1 thành 2012 đo n b ng nhau, đ dài c a m i đo n 2012 Theo nguyên lý Dirichlet: a, b 2013 s cho thu c v m t đo n Nh v y a  b  2012 x  y  z   Gi i HPT:  x  y  z  ; x, y , z    2012 2012 2012 3 x  y  z      HD: Xét vect : u   x; y; z  , v  1;1;1 D th y u.v  u v    Suy ra: u, v ph K t h p v i ph Gi i BPT: ng  x y z   0 x y  z 1 ng trình cịn l i ta đ c: x  y  z    x  2012  x  2014  x  4028  2014  x  4024 ; x   i u ki n: x  2012 BPT cho t ng đ ng v i: x  2012   x  2014    x  2014    x  2012  t: u  x  2012  ; v  x  2014 u    u  v  BPT thành: u  v  2u  2v  u  v   2  u  v   2u  2v 30 x  x  2013 x 2012  30 x  x  2013 x 2012  Gi i HPT:   2013 2012 x2 30 x2012  x1   x , x , , x  2012  V n Phú Qu c, GV Tr ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán HD: Gi s :  x1 , x2 , , x2012  m t nghi m c a HPT t: M  Max  x1 , x2 , , x2012  ; m  Min  x1 , x2 , , x2012  Suy ra: M  m  Ta có: 34 M  30 x  x  2013 x 2012  34 M  30 x  x  2013 x 2012    2012 34 M  30 x2012  x1  2013 x2  34 M  Max  2013  2012 x12012 ; 2013 x22012 ; ; 2013 x2012  34 M  342013 M 2012  34 4026 M 2013  M 4024  M 2011  344026  M  2011 344026 Ch ng minh t ng t , ta đ c: m  2011 344026 Suy ra: M  m  2011 344026 Do đó: x1  x2   x2012  2011 344026 Th l i th y V y h ph ng trình cho có nghi m d ng nh t: x1  x2   x2012  2011 344026  1 2012   x1   x2   2 x2     x2   x3  2012  Gi i HPT:  2 x3  ; x1 , x2 , , x2012      1 2012   x2012   x1   2 x1   1 2012  HD: Ta có: xi xi 1   xi 1   xi 1   xi 1  2012   i  1, 2011 2 xi 1   Các xi d u i  1, 2012 Áp d ng B T Cauchy ta có: xi 1  L y ph ng trình đ u tiên l n l 2012  2012  xi  2012  xi  2012 i  1, 2012 xi 1 t tr cho ph x1  x2  V n Phú Qu c, GV Tr ng trình s 2, s 3, , s 2012 v theo v ta đ c:  2012   x2  x3  1   x2 x3   ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán  2012  x2  x3   x3  x4  1   x3 x4   x2012  x1  Vì x1  x2   x2012 nên   2012   x1  x2  1   x1 x2   2012 2012 2012 2012  0;1   0; ;1    0 x2 x3 x3 x4 x2011 x2012 x1 x2  x2 x3  2012   K t h p v i xi  2012 i  1, 2012 suy x1  x2   x2012  2012 Suy ra:   x2011 x2012  2012  x1 x2  2012 x2  2x  y  y  2y  z 10 Gi i HPT:  ; x, y, z , t   z  2z  t t  2t  x  HD: t: X   x, Y   y, Z   z, T   t Ta có h ph X  Y  X  Y  Z ng trình sau:   X 16  Y  Z  T  X Nh v y: X X 15     X 1 Z  T T  X    * V i X   Y  Z  T   x  y  z  t  * V i X 1 Y  Z  T  1 x  y  z  t    k 1   x1  kx1     x2      k    x  kx2     x3 ; x1 , x2 , , x2012   , k m t s cho tr 11 Gi i HPT:        k 1   x2012  kx2012     x1    HD: C ng v theo v c a PT cho ta đ c c: 2  k 1  1 k  k    2012     xi   k  1 xi    x1  x2   x2012      xi        i 1  i 1   2012 V n Phú Qu c, GV Tr ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán 12 Cho s nguyên n  Gi i h ph ng trình: 2012 x1  4025 x2  2013 x3   2012 x2  4025 x3  2013 x4  ; x1 , x2 , , xn     2012 xn  4025 x1  2013 x2  HD: t y1  x1  x2 ; y2  x2  y3 ; ; yn  xn  x2 2012 y1  2013 y2  2012 y2  2013 y3 H cho thành:   2012n y1 y2 yn  2013n y1 y2 yn  y1 y2 yn   2012 yn  2013 y1 Nh v y ph i có m t ch s j cho y j  Nh ng 2012 y j  2013 y j 1 , nên y1  y2   yn  Suy ra: x1  x2   xn  a   xy  2013  x  y 2013  x  2012 2012 x  2x  1  ; x, y   13 Gi i HPT:  xy  y 2013   y  x 2013 2012  x  y  22012  HD: C ng v theo v c a hai ph ng trình ta đ c:   1   x2  y 2 xy   2012 2012 2012  x  x   y  y       1   x2  y  xy    2012 x   22012 2012 y   22012        (*) Nh n xét: VT *  xy  x  y  VP *   x  y x  y   VT *  VP *   x  y    x  y 1  x  y   V y t p h p nghi m c a h ph 14 Gi i PT: ng trình cho là: S   0;0  , 1;1 3 x x x 2 x x  x  x2  x x  x2  10      2 x  x x  x3 x  x x 3 x  x 4 x x x 4 x x  x x 3 HD: t a  2, b  x  1, c  x  1, d  x x  1, e  x  Ph ng trình cho tr thành: ab bc cd d e ea 10      cd e d ea ea b abc bcd V n Phú Qu c, GV Tr ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán  a b   bc   cd   d e   ea  10   1    1    1    1    1    cd e   d ea   eab   abc  bcd  1 1   25   a  b  c  d  e        c d e d ea ea b abc bcd  1 1          cd e d ea eab abc bcd   c  d  e    d  e  a    e  a  b    a  b  c    b  c  d   25 * Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho v trái c a (*) ta đ c VT *  25 D u “=” x y ch a  b  c  d  e  x  V y x = nghi m nh t c a ph ng trình cho  x  y  ; x, y   15 Gi i HPT:  2012  y 2012  x 2011  y 2011  x HD: H ph ng trình t ng đ ng v i:  x  y   x  y     2012 2012 2011 2011 2012 2012 2011 2011 2  x  y    x  y  2  x  y    x  y   x  y  x  y  x  y    2012   2012 2012 2012  x 2012  xy 2011  x 2011 y  y 2012  x 2011 y  xy 2011 2 x  y x  y x  y   x  y   x  y    2011    x  y 1  2011 2011 2011 x  y   x  y   x  y    x  x  y   y  x  y    y   x    x  ; x, y   16 Gi i HPT:  2 y  x  xy  16 x  y  16   HD: Ta có: y  x  xy  16 x  y  16   y   x   y  x  16 x  16  Xem m t ph ng trình b c hai theo n y ( tham s x )  y  5x  Ta có:   9x , t đó:   y  x  + V i y  x  , thay vào ph ng trình th nh t c a h ta đ c: x   y   x     x    x   x  x      x  y0  + V i y   x  , thay vào ph ng trình th nh t c a h ph ng trình ta đ c: x   y    x  2   x    x   x   x     x   y  V y t p h p nghi m c a h ph V n Phú Qu c, GV Tr    ng trình cho là: S   0;  ;  4;0  ;   ;0      ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán 6 x  x3  x y   y  12  x  6  17 Gi i HPT:  ; x, y   2 5 x  x  y  11x  5  HD: 0  6 + Xét x  , h ph ng trình cho thành:  ( vơ lý)  y  5 + Chia v theo v c a t ng ph ng trình h cho x  ta đ c: 1 1       6 x   x  x  y  y  12   6  x     x  x  y  y  12  x x           2 5 x   x   y  11   5  x     x   y  11          x x x2 x2    1 t t  x   x2   t  x x 6 t   ty  y  12  2  6t  ty  y  H ph ng trình thành:   2 2 2 5t  t y   5 t   t y  11   y  ( vô lý) + Xét t  , h ph ng trình thành:  1          + Chia v theo v c a t ng ph ng trình h cho t  ta đ c: 1 y   y2 y y2 y y 6   6        t t  t t2  t t   5  y    y2    y    y      t2 t2 t t y t: a  y  ; b  t t  a2  6 a  ab    H ph ng trình thành:  a  2b   a2   b   a  3 a  3a   a  5a  12   a      a2  a 5 b  b  b     t   t      y   y  t  2t   2t  3t     Khi đó:      t    t  y  2t  t  y 2  y  2t     y  2t  t   y   V n Phú Qu c, GV Tr  ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán 1 * V i t  ta có: x    x  x    x  x 1  17 * V i t  ta có: x    x  x    x  x   x y  x y  x 1  x   y  ; x, y   18 Gi i HPT:  2 2 1    x  y   x  x  x  xy  1   HD: H ph ng trình cho t ng đ ng v i:  2    x y  1  y  x 1  x    1    x  y 2   x  x  x  xy  1   Suy ra: y  x 1  x    x  x  x  xy  1  y  x  x   x  x  x y  x  x  x y  y    x  y    x  y (*) T (*) d u “=” x y b t đ ng th c ta suy ra: x  y   xy  y x  y x y x y    14 2  ; x, y   19 Gi i HPT:  3  x y   x y         9      HD: x  y  i u ki n  x  y  t u H ph x y , v x y ; u , v  Suy ra: x  u  v , y  u  v   u  v  u  v    u  v  4u 2v  uv ng trình cho thành:  14  3 u  v  3  u  v   u  v    u  v  u  v    3  3 3 u  v  u  v  u  v  u  v  H  3 vô nghi m u  v  3 u  v  ta đ Gi i h  3 u  v  V n Phú Qu c, GV Tr u  c  v  ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán  x y 2  x  y  x   Do đó:    x  y  y   x  y 1  V y ph x  ng trình cho có nghi m là:  y   xy   x  y    20 Gi i HPT:  ; x, y    x 2009 y 2013  x 2013 y 2009  2011  HD: 2009 Ta có:  xy   x  y   x 2009 y 2013  x 2013 y 2009  2011   xy  T ph ng trình th nh t c a h ph ng trình ta có:  xy   x  y   xy  xy ( B t đ ng th c Cauchy) 1  xy   xy  x  y  2 L i có: x 2009 y 2013 x 2013 y 2009   xy  2009 x y    xy  2009 1  xy  2  xy  xy 2008   xy   2011 2 3  xy   xy   1  D u “=” x y   xy   x y 3   x4  y     xy  2008  xy  V y t p h p nghi m c a h ph  1   1  ng trình cho là: S   ; ; ,   3   3    x  y  21 Gi i HPT: 2011 ; x, y   2011 y  2013 y  2013 x x x y xy 2014        HD: T ph ng trình th nh t c a h ta suy ra: 1  x, y    Do đó: x  y  xy  2014   x  1 y  1  2013  + N u x  y ph ng trình th hai c a h có v trái d + N u x  y ph ng trình th hai c a h có v trái âm, v ph i d V n Phú Qu c, GV Tr ng, v ph i âm ng i u vô lý i u vô lý ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 10 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chun Tốn + N u x  y ph ng trình th hai c a h th a mãn Thay vào ph ng trình th nh t ta đ c: x2   x   V y h ph  1  ng trình cho có hai nghi m là:  ; ,  2   ;   2   cos x  22 Gi i PT:     tan x  cos x   HD: cos x , b  tan x cos x  Ph ng trình cho thành: 3a  4b3  D th y a, b  a  b  Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có: a     4a, b3    3b t a Suy ra:  a  3  12a ,  b3    12b  3a  4b3  D u b ng x y a  b   a  b  hay tan x  1  x     k  k    nghi m c a ph ng trình cho 1 x  y   ( x, y   ) 23 Gi i HPT:     1       18  x y   x   y      HD: i u ki n x, y  H ph t u 1 , v x y 3 u  v3   u  v   3uv  u  v   ng trình cho thành:    u  v 1  u 1  v   18  u  v 1  u  v  uv   18 t S  u  v, P  uv i u ki n S  P H ph 3 S  3PS   S  3PS  ng trình thành:   S  S  P  1  18  PS  18  S  S Thay (2) vào (1) ta đ c: S  3S  3S  63    S  1  64  S   P  S  V i  ta suy ra: u, v nghi m c a ph P  u  u  ho c  Suy ra: Khi đó:  v  v  V n Phú Qu c, GV Tr 1 2 X 1 ng trình: X  X     X  x    x  ho c    y   y  ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 11 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán 24 Gi i BPT: HD: B t ph  x  x  1  x  x   ; x   ng trình cho t ng đ ng v i:  x  x  1   x  x  1     x  x  1   x  x  1    x  x  1   12  x  x  1   x  x  1 x  x  1   x  x  1   x  x  1  x2  x    12    ( x  x   x   )      1 x x x x   t t B t ph Do đó:  x  x  1 , t 0 x2  x 1 ng trình thành: 2t  t     t   x  x  1 x  x 1  11  21 11  21  x  11x     x 10 10 V y t p h p nghi m c a b t ph 11  21 11  21  ; ng trình cho là: S    10 10    x  y     x  y 2   x  y   25 Gi i HPT:  , x, y   2 12 x  x  y  xy   1  12 y   x  HD: t u  x  y 1  ; v  3 x  y  H ph 2 2 3u  v  3u  v  ng trình cho thành:   2 9u   4v  9u   3u  v   4v  2 2 3u  v  3u  v    2 2 9u  9v  9u  6u v  3v   u  v   9u  9u v  3uv  3v    2u  v   uv u  v   x  y 1   Khi đó:   x y     trình cho ta tìm đ  x  y   y   x Thay vào ph 2 ng trình th hai c a h ph ng  y   x   c:  y    x   10 V n Phú Qu c, GV Tr ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 12 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán 1 4  x  2y  2 y  x   , x, y   26.Gi i HPT:  1  2     y  x  3x  y   x y HD: i u ki n x, y  V i u ki n trên, h ph ng trình cho t ng đ ng v i: 2 4 2 5  x  y  x  10 x y 2  xy  x  10 x y  x  y     1 5 4 2 x y y x y 10       x  y  10 x y   x  y    y  1 x    x  y   ( th a u ki n)    x  y   y  1  V y h ph   1  ng trình cho có nghi m:  ;    27 Gi i BPT: HD: x   x  x  12 x   x  ; x   i u ki n: x   V i u ki n trên, b t ph ng trình cho t ng đ ng v i:  x  2   x2     x      x  3   x2     x     x2    t A  x   x  , B   x  x  12 x     x   x  x  12 x    x   (*) 2 ta có: A  , B  2 3  x  2   x2  2   x  2  x     x2     x   Khi *    x2  A B 1     x     1    x     x  ( th a u ki n x   ) A B  V y t p h p nghi m c a b t ph ng trình cho là: S    2;  Th x   28 Gi i BPT: x5  x3  x  x    1  x2 x2  x 1 ; x   HD: i u ki n: x  + N u x  BPT ln + N u x  chia c v c a BPT cho: V n Phú Qu c, GV Tr   x2 x   ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 13 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán Ta đ x5  x3  x c:   x2 x   x  1  x  x  1    x x2  x    x x2  1 x2 1 x x  x   1  x   x   1 x x 1 x x 1 x x x 1 x x   x  1 1   x   1 x x x x x x t t  x ; t  x BPT thành:  1  t   t      t   1  ( t  ) t t t   V y nghi m c a BPT là: x         x  y  z 2  3x  x  y z   29 Gi i HPT:  y  z  x   y  y  z x  2  z  x  y   z  z  x y HD: + TH 1: xyz  ; x, y, z   N u x  h có nghi m  0; 0; z  ,  0; y;0  T ng t cho tr ng h p y  ho c z  + TH2: Chia c hai v c a PT h cho x y z  ta đ c:  1  1       x x  z y   1  1        y y  x z          y x  z z2   b  c 2   a  a  1  t a  , b  , c  HPT thành:  c  a    b  b x y z  2  a  b    c  c C ng v theo v PT r i rút g n ta đ V n Phú Qu c, GV Tr a  b  c  c:  a  b  c    a  b  c   12     a  b  c  3 ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 14 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán 2 x  x y  y  30 Gi i HPT: 2 y  y z  z ; x, y , z    2 z  z x  x HD:        y  x2  2x   HPT cho t ng đ ng v i:  z  y  y (I)   x  z  z Vì m t giá tr x, y, z b ng đ u khơng th a h ph ng trình nên: x, y, z  1  2x  y   x2  2y  Khi  I    z  y    2z x  1 z2     t x  tan t , t    ;  Suy ra: y  tan 2t ; z  tan 4t , x  tan 8t  2 k k k 2 k 4 Do đó: tan t  tan 8t  t  ; z  tan  k    Nh v y: x  tan ; y  tan 7 7    Vì t    ;  nên k  3; 2; 1; 0;1; 2;3  2   x  3x  z    z   y  y  x  3x  ; x, y , z   31 Gi i HPT:  2 y z z     z   HD: HPT cho t ng đ 3 x    z  x  3z     y  y  x  3x  ng v i:  2  y  z  6z z   z  PT th nh t có nghi m x  x    z  (1) PT th ba có nghi m y   z  z    z  (2) T (1), (2) k t h p v i z  ta suy ra: z  ho c z  áp s : Có nghi m: 1;0;  ,  2; 3;3 V n Phú Qu c, GV Tr ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 15 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán  x  x  y 3x    32 Gi i HPT:  y  y  z y  ; x, y , z     z  3z  x 3z  HD:         Xét PT: x  x  y 3x  Vì x   x3  3x không th a PT nên y  3x 1      t x  tan t v i t    ;  \      6 D dàng suy đ c: y  tan 3t , z  tan 9t , x  tan 27t  x  y  z  2012  33 Gi i HPT:  ; x, y , z    1 1       x  y y  z 3z  x x  y  z y  z  x z  x  y  HD:  x, y, z  i u ki n:  2 2 2  ;  ;   Min x y y z z x    Áp d ng B T Cau chy ta có:  2x  y  z  2x  y  z  1     x  y x  y  z  3x  y  x  y  z   x  y  z  2x  y  z T ng t ch ng minh đ Suy ra: c: 1 1     ; y  z y  x  z x  z  y 3z  x z  y  x y  x  z 1 1       x  y y  z 3z  x x  y  z y  z  x z  x  y D u "=" x y ch x  y  z x  2012  x  2012 2012 Do đó: x  y  z  9  y  y  x  xy  x y  34 Tìm m i c p s th c  x; y  th a h :  3 4 xy  y   x    x  y   HD: i u ki n: xy  x y    xy   1 1 Ta có: xy  x y    xy     xy  x y   2 2 Khi đó: y  y  x  xy  x y   xy  y  y  x (1) V n Phú Qu c, GV Tr ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 16 Suy ra: xy  y  MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán Mà: xy  y   x    x  y  (2) C ng v theo v (1) (2) ta đ c:  xy   y  x    x  y      x  y   y  x 2  1   x  y       y  x   x12  x1  x2    x  x  x 1  ; x1 , x2 , x3 , x4   35 Gi i HPT:  22  x3  x3  x4   x2  x  x 1   HD: f  f HPT cho có d ng:  f f   x1   x2  x2   x3  x3   x4  x4   x1   v i f  t   t  t  đ ng bi n   ;   , ngh ch bi n   1 5   1  ;   f  t   f      Suy ra: xk   k  1, 2 4   2 1 11  5   ng h p: x1    f  x4       f    , mà x4   nên x4    ;   2  4   1 L p lu n t ng t : x3   ; x2   2 * Tr N u x1  x2 f  x1   f  x2   x2  x3  f  x2   f  x3   x3  x4  f  x3   f  x4   x4  x1 T đó: x1  x2  x3  x4  x1 nên x1  x2  x3  x4 Thay vào m t b n PT c a h ta đ * Tr ng h p: x1   V y xk   c x1  x2  x3  x4  1 , n u có k  đ xk   theo xk   k mâu thu n 2 k N u x1  x3 f  x1   f  x3   x2  x4  f  x2   f  x4   x3  x1  x1  x3 T ng t x2  x4  x1  x3 , x2  x4  H tr thành:  f  x1   x2  x1  f  x1   x2  f  x2    f  x2   x1 t g  x   x  f  x   x2  x  V n Phú Qu c, GV Tr th c a hàm s có tr c đ i x ng đ ng x  1 ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 17 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán T x1  f  x1   x2  f  x2  suy ra: g  x1   g  x2   x1 x2 đ i x ng qua x  1 t c là: x1  1  m  x1  x3 , x2  x4  ta tìm đ c m  Suy ra: x1  x2  x3  x4  1 x1  1  m Thay vào h  f  x1   x2   f  x2   x1 2012 2011 x y     ; x, y, z    36 Gi i PT: x  y y  2011 4023 2012  x z HD: * Ta có B T th c sau: * VP  *VT  ab  a  b  ; a, b   z    D u "=" x y z  z  2012 2011  y   x       x  y 4023   y  2011 2012  x  2012.4023  y  x  y  x  2012  x   2011 y  2011    x  y  4023  y  2011 x  2012  4 2012.4023  xy  y 4 x  2012 x  2011y  20112  x  y  4023  x  y  4023 2 x  y  4023   2012  y    2011  x   2 2  x  y  4023 2 D u "=" x y x  2011, y  2012 37 Tìm m đ b t ph HD: B t ph      s inx     s inx  7 s inx   s inx   ng trình sau vơ nghi m:  2      s inx   s inx   m  12 s inx   s inx   ng trình cho t ng đ ng v i:      sin x     sin x   1 sin x   sin x   2      sin x   sin x  m sin x   sin x   t t  sin x   x  k , t    sin x Bài toán t ng đ ng v i vi c tìm m đ b t ph 2t  t  2 3t  t  m V n Phú Qu c, GV Tr ng trình sau v i m i t: ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 18 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán Vì m u th c xác đ nh t   nên    12t   m  Khi 3t  t  m  t   12 2t  t   t    4t  3t  2m   t   Vì 2t  t   t   nên 3t  t  m 35     16  2m  1   m  12 35 giá tr c n tìm th a mãn yêu c u toán V y m 12 38 Gi i ph ng trình: x  x 1  x   1  x    x  x  x 1  x  ; x   HD: i u ki n:  x  u  u  x  t   v  v   x  4 u  v  T ph ng trình cho ta đ c : u  uv  v  v  u  u 2v   u  v  u  v   u  uv  v     u  v  u  v 1  u  v     u  v 1  u  v   ( u , v không âm u , v không đ ng th i b ng nên u  v  ) Ta đ c h :  u     u v   a)  4  u  v  v     x  Do  x 1  x   u  v  u  v    b)  4 2 u  v   u  v   2uv   2u v   u  v   u  u  v     u  v   uv  v   Do  2   uv     u  v   u  2u v  4uv   uv      uv   v  39 Gi i ph HD: ng trình : 2012 x    1  x    x  x  x     1  x  x  x   2010 x  x   ; x    x   i u ki n:   x 1  x  x  V n Phú Qu c, GV Tr ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 19 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Tốn h c tồn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chun Tốn Khi đó: 2010 x  x   2010 x  x   2012 x  x  ( x  ) Suy ra: Áp 2012 x  x   2010 x  x   2012 x  x   2012 x  x  d ng b t đ ng th c Cauchy 2012 x  x   2012 x  x   Do đó: 2012 2012 ta đ c: x  x  1.2012 x  x   x  x   2010 x  x   V y ph ng trình cho vơ nghi m 40 Gi i PT:  8sin x  1  162sin x  27  HD: K: 2  u  t u  2sin x PT cho thành:  u  1  81u  27    u  1  81u  27 3 t 3v  u   3u  v3  Do đó, ta có: 3 u   3v u   3v u   3v  3   2 v   3u  u  v    v  u   u  v   u  uv  v  3  u   3v  u   3v     3u  u    v      u v u v  u v       2    Lúc đó:   2   x   k 2 x k    18  6sin x  8sin x   3sin x  sin x   sin x  sin   3 x  5  k 2  x  5  k 2   18 41 Tìm m đ PT: HD: x  x   x  x   2012m có nghi m 2 2 1  3 1  3     x  x   x  x   m   x     x    2012m            2  3 1 3 Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, xét: A   ;  ; B  ;  đ nh M  x;  ta có: AB  2 2     V i m i m M AM  BM  AB  2 2 1  3 1  3   Mà AM   x      ; BM=  x              1 Suy ra: 2012m   1  2012m    m 2012 2012  x   y  ; x, y   42 Gi i HPT:   y   x  HD: K: 1  x, y  V n Phú Qu c, GV Tr ng H Qu ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 20 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn ... vpquocdhqn@gmail.com 12 MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10 chuyên Toán 1 4  x  2y  2 y ... ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10. .. ng Nam - D : 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com MATHVN.COM - Toán H c Vi t Nam DeThiMau.vn www.MATHVN.com Bài t p luy n thi Olympic Toán h c toàn mi n Nam l n th XVIII - Dành cho HS l p 10