Chương I Đ NG TH C B NG PHƯƠNG PHÁP BI N Đ I TƯƠNG ĐƯƠNG I Tính ch t b n: > ⇔ a > > < ⇒ + > + > > > b > ≥0 ⇒ > ≥0 d > ≥ ⇒ > H qu : > ⇔ > >0⇒ < < f > • < • > ⇒ > c e Chú ý − > − > > 2 > ⇔− < < II Vài b t đ$ng th%c thơng d(ng: V i a, b, c,… tùy ý ( , , ∈ ) a + ≥ ( D"u “ = ” x y ⇔ = ) b + + ≥ + + ( D"u “ = ” x y ⇔ = = ) 1 1 1 c V i , > ta có: ( + ) + ≥ ⇔ + ≥ + III Các ví d(: π π tan − tan 0, > ≤ Ch.ng minh: 1 ≥ + (1) 1+ 1+ 1+ ≤ Ch.ng minh: b Cho < ≤ ≤ ≤ 1 1 ≥ + + + 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ Gi i: a Vì > 0, > nên b"t ñ3ng th.c (1) tương ñương v i: 2(1 + )(1 + ) ≥ (1 + ⇔ 2+2 +2 +2 )(1 + ) + (1 + ≥ 1+ + + ⇔ ( + )+2 ≥ ⇔ ( + )− ( + ) + 2( ⇔ ( + )(1 − ⇔ (1 − )(1 + ) +1+ + + ( + )+2 )+2 )( + − − ( )≥0 −1) ≥ )≥0 DeThiMau.vn ⇔ (1 − )( )2 ≥ (2) − ( − )2 ≥ Vì: nên (2) ñúng (ñpcm) ≥0 ≤ ⇒ − , , , >0 , , , >0 ≤ ⇒ ≤ ≤1 b ≤ ≤ ≤ nên ≤ ≤1 ≤ Theo kGt qu câu a, ta có: 1 + + + ≤ + + ≤ 1+ 1+ 1 + ⇒ ( , > 0; ≤ 1) ( , > 0; ≤ 1) 1 1 + + + ≤ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ ≤ = + 1+ 1+ (đpcm) 1+ Ví d+ 4: Cho , , ∈ [ − 1; 2] th>a mãn ñi@u ki n + + = Ch.ng minh: + + ≤6 Gi i: • ∈ [ − 1; 2] ⇔ −1 ≤ ≤ ⇔ ( + 1)( − 2) ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ + (1) • Tương t= ta có ≤ + ≤ + (3) (2) CFng (1), (2), (3) ta có: + + ≤ ( + + ) + = (đpcm) Ví d+ 5: Cho , , ∈ [0;2] + + = Ch.ng minh r8ng: + + ≤5 Gi i: Ta có: , , ≤ ⇒ ( − 2)( − 2)( − 2) ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − 2( − 2( ≤ 2( + + + + ) + 4( + + ) − ≤ + ) − 4.(3) − ≤ + ) − ( + + = ) ⇔ ≤ ( + + )2 − ( + + )−4 ⇔ ≤ ( + + ) −( + + ) − = 32 − ( DeThiMau.vn + + )−4 ⇔ + + ⇒ + + Ví d+ 6: Cho > 0, > 0, ≤ 5− ( Vì + + = ) ≤ ( Vì ≥ ) (ñpcm) > = Ch.ng minh b"t ñ3ng th.c sau: 1 a 3 + 3 + 3 ≤ (1) + +1 + +1 + +1 1 b + + ≤ (2) + +1 + +1 + +1 Gi i: a ĐSt T = vG trái cTa b"t ñ3ng th.c (1) ( ta cUn ch.ng minh T ≤ ) Ta có: + = ( + )( + − ) + ≥2 ⇔ 2+ 2− > + > ( Vì > 0, > 0) Nên ( + )( + − ) ≥ ( + ) hay + ⇒ + +1 ≥ ( + ) + ( Vì =1) 3 ⇔ + +1 ≥ ( + + ) > 1 ⇔ ≤ (a) + +1 ( + + ) Mà ≥ ( + ) Tương t= ta có: ⇔ + +1 +1 + ≤ ≤ (b) ( + + ) (c) ( + + ) CFng vG theo vG (a), (b), (c), ta có: + + 1 = ) (ñpcm) + + = = ( Vì ( + + ) + + b ĐSt S b8ng vG trái cTa b"t ñ3ng th.c (2) ( ta cUn ch.ng minh S ≤ ) = , , >0⇒ , , >0 ĐSt = mà =1⇒ 3 ⇔ =1 = T≤ , , > = nên theo kGt qu câu a, ta có: 1 + 3 + ≤1 3 + +1 + +1 + +1 1 ⇔ + + ≤ (ñpcm) + +1 + +1 + +1 Ví d+ 7: Cho , > , > Ch.ng minh: ( − ) + ( − ) ≤ (1) DeThiMau.vn Gi i: B"t ñ3ng th.c (1) tương ñương v i: ( − )+( − ) +2 + − ( − )( − ) ≤ ⇔ + ⇔ + ( − )− ( − )−2 ⇔ + ( − )( − ) − 2 − −2 ( − )( − ) ≥ ( − )( − ) ≥ ( − )( − ) ≥ ⇔ − ( − )( − ) ≥ ñây b"t đ3ng th.c (đpcm) Ví d+ 8: Ch.ng minh r8ng ñ 36 = Ch.ng minh: + + > + + (1) Gi i: B"t ñ3ng th.c (1) tương ñương v i: + ( + )2 − > ( + )+ ⇔ ( + )2 − ( + ) + −3 > 3 ⇔ ( + ) − ( + ) + − > ( Vì = + ⇔ ( )= = ) ( ) 3 + − > − Xét tam th.c b`c hai ( ) = − +( 3 − ) có: 36 − − 4 − = < ( Vì > 36 ) 3 ⇒ ( ) > 0, ∀ ∈ ⇒ ( ) (đpcm) #= Ví d+ 10: Cho −1 < < ∈ , > Ch.ng minh: DeThiMau.vn (1 − )2 + (1 + ) < Gi i: = cos α (0 < α < π) lúc đó: Vì −1 < < nên (1 + ) + (1 − ) = (1 + cos α ) + (1 − cos α ) α α = cos + 2sin 2 2 α α = cos + sin 2 2 α 2α + sin = (ñpcm) < cos 2 * Chú ý: Khi ch.ng minh b"t ñ3ng th.c b8ng phương pháp biGn ñbi tương ñương cUn: Chú ý xem kĩ gi thuyGt đ@ cho, mFt s< trưdng hIp có the biGn đbi gi thuyGt đ@ cho thành b"t đ3ng th.c cUn ch.ng minh ( f ví d+ 4, 5…) Trong mFt s< trưdng hIp có the biGn ñbi b"t ñ3ng th.c cUn ch.ng minh thành mFt b"t đ3ng th.c ln ( đưIc nêu f ví d+ 1, 3, 7, 8…) Nên thuFc lịng b"t đ3ng th.c thơng d+ng đưIc gi i thi u f phUn II IV Bài t.p tương t0: Ch.ng minh r8ng: nGu < ≤ ≤ 1 1 + + ( + ) ≤ thì: 1 + ( + ) * Hư ng djn: Tìm b"t đ3ng th.c tương đương b8ng cách quy đơng mju s = Ch.ng minh r8ng: 1 + + ≥ ( + ) ( + ) ( + ) Gi i: = ; ĐSt: = = ; Khi tq , , > = ⇒ , , > B"t ñ3ng th.c ñã cho ñưa v@ dư i dkng sau: + + + ⇒ + + + + + ≥ 2 + + ≥ (do = ) (1) Áp d+ng b"t đ3ng th.c B.C.S, ta có: 2 ⇒ + + ( + + + + + ) ≥ ( + + ) + + + 2 ( + + )2 + + ⇔ + + ≥ = (2) 2( + + ) + + + + + D"u “ = ” x y ⇔ = = = = + + + 2( + + ) ⇔ + = ; + = ; + = 2z ⇔ = = MSt khác, theo b"t ñ3ng th.c Causi: + + ≥ 3 D"u “ = ” x y = = Tq (2) (3) suy ra: + + D"u “ = ” x y ⇔ = = + hay + + ≥ = ( V`y (1) ñúng = = 14 DeThiMau.vn = ) (3) =1 ⇒ đpcm Ví d+ 6: Cho # tùy ý có m1, m2, m3 đF dài đưdng trung tuyGn R bán kính đưdng tròn ngoki tiGp tam giác Ch.ng minh r8ng 9R + ≥2 + Gi i: Ta có cơng th.c ñưdng trung tuyGn: = + ⇒ 2 +2 − + = ( + 2 + ) MSt khác, mxi tam giác ta có: + + D"u “ = ” (1) x y ⇔ # ñ@u ⇒ + + ≤ 27 ≤ 9R (1) (2) Áp d+ng b"t ñ3ng th.c B.C.S: ⇒( + ) + ≤ 3( + D"u “ = ” (3) x u ⇔ + ⇔# ñ@u D"u “ = ” x y ñyng thdi (2) (3) hay # Ví d+ 7: Cho , , , > Ch.ng minh r8ng: ñeu Tq (2) (3) ⇒ ( + ⇔ + + + + + ≤ = 81 ≥2 + ≤ + + ) + + ⇔ = ) (3) ≥ + ( + + + ) 2( 12 + 2 + + ) Gi i: Áp d+ng b"t ñ3ng th.c B.C.S, ta có: + + 3 + [ 1( + + + + D"y “ = ” x y ra: ⇔ + + + Hay + + 3 = ≥ + + + )+ ( + ) + + ( ( + + + ) 2 + + + + + = = + = + 15 DeThiMau.vn + )] ≥ ( + + (1) 2 + + )2 ⇔ Do + 1 ≤ + = + ≤ ≤ + + = = + 2 2 + + 2 + 2 = + + 2 … + CFng tqng vG n b"t đ3ng th.c ta có: ( + )+( + ) + + ( + ) ≤ 2( + 2 + + ) (2) D"u “ = ” (2) x y khi: = = = Tq (1), (2) suy ra: ( + + + ) 2( 12 + 2 + + ) + 3 + 1+ D"u “ = ” x y ⇔ = = = + + + ≥ III Bài t.p tương t0: + Cho + = Ch.ng minh: + 16 + ≥ )=( *Hư ng djn Áp d+ng b"t ñ3ng th.c B.C.S hai lUn: + ( ⇒ + + + )2 ≤ ( + 16 ≥ ( + + + + =3 + + = 16 + + D"u “ = ” x y ⇔ = = = ± Cho )( + + + ) ≤ 3( 2 + = ) Ch.ng minh r8ng: + + z ≤ *Hư ng djn Theo b"t đ3ng th.c B.C.S, ta có: 18 = ( + + )( + + 2 ) = + + 2 3 ≥ + + + = ( 2 2 ⇒( + + z) + + z ) ≤ 64 ⇒ ñpcm 16 DeThiMau.vn 2 + + + ) Ch.ng minh r8ng nGu phương trình + + + + + = có nghi m thì: ≥ *Hư ng djn G:i x nghi m cTa phương trình cho: + + + +1 = (⇒ ≠ ) Chia vG cho > , ta ñưIc: 1 + + + = (1) + ĐSt = + , ≥2 (1) ⇔ + + − = ⇔ − = + 2 Áp d+ng B.C.S: ( − ) = ( + ) ≤ ( + )( + 1) (2 − ) ≥ 2 ⇒ + 2 (2 − ) 2 Ta dz ch.ng minh ñưIc: ⇒ 2 + + + + Cho , , > th>a = ≥ −1 2 ≥ + −1 ( dành cho bkn ñ:c t= ch.ng minh) 5 z = Tìm giá tr{ nh> nh"t cTa: + + + *Hư ng djn Áp d+ng b"t ñ3ng th.c B.C.S: + + ≤ + + +) = +) ( + + ) = + + + + 2 ≤ + + ( + + + + + + + + 1 ⇒ ≥ ( + + )= 2 D"u “ = ” x y ⇔ = = = 1 V`y ( ) = = = = + + = + + + + )=2 17 DeThiMau.vn + + ( + + ) Cho ≥ ≥ ≥ Ch.ng minh r8ng: 2 + + ≥ + 2 + *Hư ng djn Áp d+ng b"t ñ3ng th.c B.C.S: 2 + + 2 ≥( + + + + 2 ) Xét hi u: 2 = + = ( + )( − Tq (1), (2) ⇒ − )( − 2 − − − )( ≥ + z ) > (2) + + + + + D"u “ = ” x y ⇔ = = Cho # , M điem b"t kì tam giác G:i x, y, z, kho ng cách tq M xu