Toán học Bài tập tích phân40816

BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY Bài Tính tích phân sau : 1  a 1 p e p2 x 1 dx x  x2  b  1 x2 x p2 1 dx c x dx 1 GIẢI 1 x2  dx (ĐHTM-2001) x4  x2   a - Chia tử mẫu cho x  Ta :    dt  1   dx; t  x    x dt  x  x Đặt t  x    f ( x)   f ( x)dx  f (t )dt  x t 1  1 x2  1 x   t  0; x   t   x  1 du    2  4  dt  cos 2u ;1  t   tan u  du   f (t )dt     du  u  - Đặt : t  tan u   2 t   u  0; t   u   0 cos u 1  tan u  0  p e p2  b x2 x p2  dx ( ĐHTNguyên-98) p - Ta có : f ( x)dx  x dx  p2   x  1   p  e p2 p  dt x dx 1 dt   - Đặt : t  x  x   I 1 t  1  x   t  1; x  e p   t  e du  u1 u1  dt  cos 2u  du - Đặt : t  tan u   I   du   u1 2    cos u 1  tan u         , t u t e u u 4  - Từ : tan u  e  u  u1  artan e  I  c x   artan e dx 1  Phân tích : f ( x)  1   x2   x2   x2  1  x2      J  K    x4   x4    x 1 x 1  Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý 1  x2 x  Tính J : Phân tích : g ( x)    x4 x2  x2    dt  1   dx; t  x   3/ 3/  dt 1   x  x   t  x   dt J      x t  2  t  t     x   t  0; x   t   1  t  3/ ln  ln   Vậy : J   2 t 2    1 2 1 x x  Tính K Phân tích : h( x)   x4 x2  x2    dt  1   dx; t  x   5/  dt x  x    *t  x   J   x t 2   x   t  2; x   t  u u du 2du 2 t  tan u  dt  ;  K   du   u2  u1    2 cos u u1  Đặt : u1 cos u.2 1  tan u  t   u  u1 ; t  /  u  u2  Với : tan u   u  u1  art2; tanu=  u  u2  art K Thay hai kết J K vào ta tìm I Bài Tính tích phân sau : x4  1  dx x 1 1 x 1   x  1 n dx  n  2 2   art -art2     1  x  m m  xm GIẢI 1 x 1 dx 1 x  Phân tích : x f ( x)   x  1  x x6   x4  x2  x2 x2     x  1 x  x  1 x6  x  x6  1 d x   1   Vậy : I   dx   dx    x 1 x  34 1 x 1   x  1 n dx  n  2 2  dx  dt ; x  t  t 2 2   I   n dt    n 1  n  dt t t t   x   t  1, x   t  1  Đặt : t  x    Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý  2 2n    n2    Vậy : I   n n 2  n 1   1  n  t   n    t 1 1  1  x  m m  xm 1 1 m m t m 1dt m m m 1 m m t   x  x   t  1  dx   t  1 mt dt  1 m m m  Đặt : t  m  x m    t  1   x   t  1, x   t  m 1 m  Vậy : f ( x)dx  1 1 m t  t m  1 1m  1  m  dt t    t m 1 dt  m 1 1m  t t 1  m   t  m  du  mt  m 1dt  m 1 dt  1 1 t  f (t )dt  u m du  Đặt : u   m   t  m   t m t   u  0, t  m  u   1/ 1 1 1 1/ m I  Vậy :   u m du  u m m m 2 m 1 Bài Tính tích phân sau : 1  x 2001 1  x  1002 dx  DHQG  A  2000  Chứng minh : 2  sin  s inx+n  dx  ( ĐH-Thái Nguyên KG-2001 ) GIẢI 1  x 2001 1  x  1002 dx   x 2000  xdx  2 dt  xdx x  t  x  t  ; 1;    f ( x)dx   Đặt : t   x   1  x 2000 1  x 2   x   t  1, x   t   t  1 dt    f ( x)dx   1   t1000t 2 t  1000  1000 1  Vậy : I   1   1 t 2 Chứng minh : 1000  1 d 1    t 1001  1 1  1 d 1    1    t  1001  t   2002.21001 2  sin  s inx+n  dx  - Đặt : t  2  x  x  2  t;  x  0, t  2 x  2 ; t  Khi : Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý - f(x)dx= sin sin   t   n  2  t    dt    sin sin t  nt  n2    sin  s inx+nx    I - Vậy : 2I=0 hay I=0 ( đpcm) Bài Tính tích phân sau : a x2    x  1 e x dx ( ĐHLâm Nghiệp - 2000) b Cho : f ( x)  f ( x)   cos x Tính I    3 f ( x)dx ( ĐHSPI-98) GIẢI a x2    x  1 e x dx  Đặt : t  1   x  t  1.dx  dt  t  2t  t 1 2  t  x 1   f ( x)dx  dt  e dt  1    et 1dt 2 t t t  t  x   t  1, x   t  2 2 t  et e   Vậy : I   e dt    dt   dt   H   J  K (*) e 1 t t  e 1 - Tính H : H  et 1  e  1 t 1 - Tính J : J     t dt  t e e2 e2 t 1 e   e  dt    e  K  J  K    e(1)    1  t t t 2     1 2  e2  - Vậy : I= e      e   e  b Ta có : I    3 f ( x)dx   3 f ( x)dx    f ( x)dx 1 - Tính :  3 - Đặt : f ( x)dx   3  dx  dt ; f ( x)  f (t ) 0 2        x  t  f ( x ) dx f ( t ) dt f ( t ) dt    0 0 f ( x)dx  x  3   t   , x   t   3  2 2 Thay vào (1) ta : I     f ( x)  f ( x) dx   3  2 1  cos2x      2    cosx dx    cosxdx   cosxdx     Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý   3 /   Vậy : I  sin x  sin x      Bài Tính tích phân sau :   1  s inx 1 cosx  a  ln   dx osx c      1 x  0 x ln   x  dx b c  x  1dx (ĐHYHN-2001) GIẢI   1  s inx 1 cosx   1  s inx 1 cosx  a  ln   dx ; f(x)= ln    1  cosx  ln 1  s inx   ln 1  cosx    cosx    cosx    f ( x)  ln 1  s inx   ln 1  s inx  d 1  s inx   ln 1  cosx    2 0   0  Vậy : I   ln 1  s inx  dx   ln 1  cosx dx  1  s inx  ln 1  s inx   s inx  ln  (1)       Tính :  ln 1  s inx  dx   ln  ln cos     dx Sử dụng phương pháp tích phân 2 0 phần :   x     x x    Tương tự :  ln 1  cosx  dx   ln cos   dx    ln  ln  cos   dx b 2 0 2     1 x   x ln   x  dx 1   2  1   ln x ln   1 x  2 I   x ln   x dx   dx    1   dx       1 x  1 x  x 1   x  1 x  1        ln  x 1  ln 1 Vậy : I    x  ln   ln 2   x 1  2 3 c  x  1dx * Nhắc nhở học sinh không áp dụng cách đặt : x  ,vì hàm số cosx không xác cost định với x thuộc  2;3   1;1 Mà phải sử dụng phương pháp tích phân phần  I  x x2 1 3   x x x2 1     x   x   dx   dx    Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn x  1dx   dx x2 1 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý  I   ln(3  2)  ln 2  I   I  ln x  x  I  ln     ln Bài Tính tích phân sau : a  a 1  x  m2  a m 1  x dx  a, b   Áp dụng tính :  ax dx ax b x m 1  a   Áp dụng : tính :  1 x7 1  x  dx 1 x dx 1 x GIẢI 1  x  m2 dx  Phân tích :  a, b    x  xdx   x  d 1  x  Đặt : 1  x  t , dt  xdx; x  t  f ( x)    x   t  1, x   t  1  x  1  x  m m m2 2 2 m2 2  t  1 dt   dx      1  Do : I   m   1     1   d 1    1   21 t 1 t t  t   t  2(m  1)  t  1 x m 1 m2 dx  a, b     Vậy :  m2 m 1 1  x  m   0 b  a x7 1  x ax dx ax  1 dx  m m m 1   m  3  a  0  t t dx=-a.sintdt;a+x=2acos ; a  x  2a sin  Đặt : x  a.cost    x  a  t   ; x   t    t    ;       t t  cos cos  a.sin tdt  a 2 sin t cos t dt Vì : t    ;    t    ;    Do : I      t t 2     sin sin 2    a    t t t  Cho nên : sin , cos   I  a  cos dt  a  1  cost  dt a  t  sin t    2 2   2   1  1 x dx   1 x  a  1 Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý Bài Tính tích phân sau : n x n 1 a/2  a a  x2n x dx  1  x  dx  a, b   Áp dụng tính :  1  x   x6 2 a  x   a  x dx   b b dx Với : n  N *; n  Áp dụng tính : 2 GIẢI n a/2 x  a n 1 dx 2n a  x  dt  nx n 1dx dt  f ( x)dx  Đặt : t  x n   n n a2  t  x  a /  t  a / 2; x   t   dt  a.cosudu; a  t  a.cosu - Đặt : t  a.sin u    f (t )dt  du  n  x  a /  u  ; x   u   Do : x dx   x6 b ; n  3, a     a  x  dx  ax   b x dx  x6   12  a, b   2  16  Vậy : I   du  u  n0 6n x  a tan t  dx   Đặt : a 1  tan t  dt adt  f ( x ) dx   1  tan t  cos 2tdt 2 cos t a 1  tan t  cos 2t a b t c a c c c 1 1  Vậy : I    cos 2t  sin t  dt   cos2tdt= sin 2t  sin 2c 2a a0 a0 2a x   t  0, x  b  tan t   Áp dụng : a=1,b=1 suy : c= Ta có : 1  x  dx   1 x   2 Bài Tính tích phân sau a  x3 e x 1 dx b  x2 x dx  x3 GIẢI a  x e x 1 1 x dx Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý t  1 et tdt  x  t  1; xdx  tdt   Đặt : t   x    f ( x)dx    t  1 et dt t  x   t  1, x   t  2  Vậy : I   t 2et dt  et  J   e2  e  1 1 2      Tính : J   t 2et dt  t 2et   2tet dt  4e2  e   tet   et dt   4e2  e   tet  et  1  Do : J  2e  e Thay vào (1) : I  e 2 b x 2 dx  x3 Ta có : f ( x)  A B C Dx  E  A  D  x   B  E  x   A  C  x  Bx  C      x3 x2  x  x  1 x x x  x  1 Đồng hệ số hai tử số :  A  D  C   B  E   A  1   1 x A  C     B   f ( x)     x x x 1 B  D    C   E  Vậy : I    ln x   ln  x  1    ln  ln  2x 2  1 Chú ý : Ta sử dụng kỹ thuật " Nhẩy tầng lầu " phân tích : 1 3 x6  x6 x4  x2  x3 1  x3            t  x2  x 3 3 x x 1 x x  x 1  x  x  1 x  x  1 x  x  1 f(x)= Bài Tính tích phân sau  a  x dx  x2 cos x sin x 0 cos3 x  sin x dx b GIẢI a  x dx  x2 HỌC SINH CHÚ Ý : Phải sử dụng hai lần đổi biến số  dt  xdx t.dt  f ( x)dx   Đặt : t  x   4t  x  0, t  0.x  2; t  u   3u du  u  4u  du t  u  4; dt  3u du   Đặt : u   t   f (t )dt   2u t  0, u  4; t  4, u  2  3  u5  Vậy : I    u  4u  du    2u       34 2 25   Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý  cos x sin x 0 cos3 x  sin x dx b 1  dx  dt  Đặt : x   t    x  0, t   x   , t  2      cos   t  sin   t   dt  sin t cos t (dt ) 2  2     f ( x)dx  cos3t  sin t     sin   t   cos3   t  2  2     Do : I    sin t cos t (dt ) sin x cos xdx  sin t  cos3t sin x  cos3 x   Cộng (1) (2) vế với vế :    s inxcosx sin x  cos x   dx  sin xdx cos x sin x  sin x cos x  Suy : I   dx  0 sin x  cos3 x sin x  cos3 x 0  1  Vậy : I   cos2x  Bài 10 Tính tích phân sau      tan  cosx   dx a   cos  s inx     a b  s inxln 1+sinx  dx GIẢI     cos  s inx   tan  cosx  dx Áp dụng công thức :   2   2 1  tan x  ; f  s inx  dx   f  cosx  dx Ta có : cos x 0      1 I    tan  cosx   dx     cotan  sin x   dx cos  s inx  sin  cosx        1  cot an  s inx    tan  cosx   dx  cos  s inx  sin  cosx  0  cos  s inx   cot an  s inx    tan  s inx   cot  s inx    Ta có : cos  s inx  sin 2  s inx   Vậy : I    Tương tự : cos  cosx   tan  cosx    sin  cosx  sin 2  cosx  Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý   s inxln 1+sinx  dx Sử dụng phương pháp tích phân phần ,ta có : b     cosx  sin x I   s inxln 1+sinx  dx  cosx.ln(1+sinx) +  cosx dx    dx 1+sinx  s inx 0 0   Vậy : I   1  s inx  dx   x  cosx   0  2 1 Bài 11 Tính tích phân sau :  a  x.ln  x  x  1 dx b x cos x  1  sin x  dx    2 0 c Chứng minh :  cos6 x.cos6 xdx   cos5 x sin x.sin xdx Từ tính : J=  cos5 x.cos7xdx Giải 1 1 x  x  1 31 dx 1      dx x x ln    x  x 1 x  x 1 2 a  x.ln  x  x  1 dx  x ln  x  x  1  3  ln  J 4 ;J   dx dx  2 x  x 1  1  3  x   2     Đặt : x    3  3 33    tan t , t   ;   J  dt  Vậy : I  ln   12  6 3  b  x cos x  1  sin x    14 1  14   dx  x   dx dx         16 2 2   sin x   sin x cos  x-   4   1     tan  x          1   16 2 4 16 2 16    2 0 c  cos6 x.cos6 xdx   cos5 x sin x.sin xdx   u  cos x  du  6 cos5 x.s inxdx  Đặt :   I  cos x.sin x   cos5 x.s inx.sin6xdx (đpcm) dv=cos6x  v= sin x 0  10 Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý     2 2 0 0 I   cos5 x.cos  x+6x  dx   cos5 x  cos6x.cosx-sinx.sin6x  dx   cos x.cos6xdx-  cos5 x sin x.sin xdx  Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn 11 ... DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý - f(x)dx= sin sin   t   n  2  t    dt    sin sin t  nt  n2    sin  s inx+nx    I - Vậy : 2I=0 hay I=0 ( đpcm) Bài Tính tích phân... soạn : Nguyễn Đình Sỹ - ĐT: 02403833608 DeThiMau.vn BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý   3 /   Vậy : I  sin x  sin x      Bài Tính tích phân sau :   1  s inx 1 cosx  a  ln... 02403833608 DeThiMau.vn x  1dx   dx x2 1 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HAY CẦN LƯU Ý  I   ln(3  2)  ln 2  I   I  ln x  x  I  ln     ln Bài Tính tích phân sau : a  a 1  x  m2  a m