Trường THCS Đỗ Xuyên GV: Nguyễn Bích Thảo Đề thi học sinh khiếu lớp Năm học: 2009-2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1(1 điểm) Tính tæng: S 1 1 1 12 20 2352 2450 Câu (1,5 điểm) Tính tích sau: P 1 1 1 1 1 1 99 100 Câu (3 điểm) Cho biểu thức: M = +3 + 32+ 33 +…+ 3118+ 3119 a) Thu gän biÓu thøc M b) BiÓu thøc M cã chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Câu (2.5 ®iĨm) a)TÝnh: A = 2100- 299- 298- 297 - … - 22 - – b) T×m x biÕt: 2x C©u (2 điểm) Cho C= 1.2+2.3+3.4++99.100 a) Tính giá trị biểu thức C? b) Dùng kết câu a hÃy tính giá trị biểu thức: D = 22+42+62++982 .HÕt ThuVienDeThi.com Trêng THCS Đỗ Xuyên GV: Nguyễn Bích Thảo Hướng Dẫn Chấm Đề thi chọn HSG lớp Năm học: 2009-2010 Môn thi: Toán Câu 1(1 điểm) Tính tổng: 1 1 1 12 20 2352 2450 1 1 1.2 2.3 3.4 48.49 49.50 1 1 1 1 2 3 49 50 1 50 49 50 S S S S S 0,25 đ 0.5 đ 0,25 đ Câu (1,5 điểm) TÝnh tÝch: P 1 1 1 1 1 1 99 100 98 99 P 99 100 1.2.3.4 98.99 P 2.3.4.5 99.100 P 100 Câu (3 điểm) Cho biểu thức: M = +3 + 32+ 33 +…+ 3118+ 3119 a) Thu gän biÓu thøc M b) BiÓu thøc M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Giải: a) (1 điểm) M = +3 + 32+ +…+ 3118 + 3119 3M = 3.(1 +3 + 32+ +…+ 3118 + 3119 ) = + 32 +…+ 3119 + 3120 3M- M =(3 + 32 +…+ 3119 + 3120 ) - (1 +3 + 32+ +…+ 3118 + 3119 ) 2M = 3120 – M 1® 0,25 ® 0,25 ® 1® 0,5 ® 3120 b) (1 ®iĨm) M = +3 + 32+ +…+ 3118 + 3119 = (1 +3 + 32)+( 33+34+35)+…+(3117 +3118+ 3119 ) = (1 +3 + 32)+33(1 +3 + 32)+…+3117(1 +3 + 32) ThuVienDeThi.com 1® = 13 + 33.13 + …+ 3117 13 = 13( 1+ 33 +…+ 3117) VËy M chia hÕt cho 13 M = +3 + 32+ +…+ 3118 + 3119 = (1 +3 + 32+33) +(34+35+36+37) +… +( 3116+3117 +3118+ 3119 ) = (1 +3 + 32+33)+34(1 +3 + 32+33)+…+3116(1 +3 + 32+33) = 40 + 34.40 +…+3116.40 = 40(1+34+…+ 3116) VËy M 40 , mà 40 nên M Câu (1.5 điểm) Khi viết liền hai số 22008 52008 dạng hệ thập phân ta số có chữ số? Giả sử số 22008, 52008 viết dạng thập phân có x, y ch÷ sè (x, y > 0, x,yN) Ta cã 10x < 22008 < 10x+1 10y < 52008 < 10y+1 Do ®ã 10x+y < 22008.52008 < 10x+1.10y+1 Hay 10x+y < 102008 < 10x+y+2 x+y < 2008 < x+y+2 2006 < x+y < 2008 x+y= 2007 ( Do x+y N ) VËy viÕt liÒn hai sè 22008 52008 dạng hệ thập phân ta số có 2007 chữ số Câu (2 điểm) a) (2 ®iÓm)TÝnh: A = 2100- 299- 298- 297 - … - 22 - – A = 2100 – ( 299 + 298 + + + 1) Đặt B = 299 + 298 + 297 +… + 22 + + Ta cã: 2B =2(299 + 298 + 297 +… + 22 + + 1) = 2100 +299 + …+ 22+ 2B - B = (2100 +299 + …+ 22+ 2) – (299 + 298 + … + + 1) B = 2100 – VËy A= 2100 – (2100 – 1) = b) (2 điểm) Tìm x biết: 2x Ta cã: 2x + = hc 2x + = -3 XÐt 2x + = x XÐt 2x + = -3 x Vậy x=1 x=-2 Câu (2 điểm) Cho C= 1.2+2.3+3.4++99.100 a Tính giá trị biểu thức C? b Dùng kết câu a hÃy tính giá trị biểu thức: D = 22+42+62++982 Giải: ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® a) (2,5 ®iĨm) C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100 3C = 3.1.2+3.2.3+…+ 3.99.100 =(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + …+ (99.100.101- 98.99.100) = 99.100.101 C= (99.100.101) : C= 33.100.101= 36300 b) (2,5 ®iĨm) C= 1.2+2.3+3.4+…+99.100 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + + (97.98 + 98.99) + 99.100 = (1+3)2 + (3+5)4+ +(97+99)98 + 99.100 = 2.2.2 + 2.4.4 + + 2.98.98 + 9900 = 2(22 + 42+…+ 962+ 982) + 9900 VËy 2(22 + 42+…+ 962+ 982) = C - 9900 = 36300 – 9900 = 26400 22 + 42+…+ 962+ 982= 13200 *Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho ®iÓm tèi ®a ThuVienDeThi.com 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® .. .Trường THCS Đỗ Xuyên GV: Nguyễn Bích Thảo Hướng Dẫn Chấm Đề thi chọn HSG lớp Năm học: 2009-2010 Môn thi: Toán Câu 1(1 điểm) Tính tổng: 1 1 1 ... 982) + 9900 VËy 2(22 + 42+…+ 962 + 982) = C - 9900 = 363 00 – 9900 = 264 00 22 + 42+…+ 962 + 982= 13200 *Lưu ý: Học sinh làm cách khác vÉn cho ®iĨm tèi ®a ThuVienDeThi.com 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5... +… +( 31 16+ 3117 +3118+ 3119 ) = (1 +3 + 32+33)+34(1 +3 + 32+33)+…+31 16( 1 +3 + 32+33) = 40 + 34.40 +…+31 16. 40 = 40(1+34+…+ 31 16) Vậy M 40 , mà 40 nên M Câu (1.5 điểm) Khi viết liền hai số 22008