Toán học Phương trình Bât phương trình hệ phương trình vô tỷ46203

ng THPT Tân Qu i Tr 2008-2009 PH NG TRÌNH-BÂT PH NG TRÌNH-H PH NG TRÌNH VƠ T A Ph ng trình - b t ph ng trình ch a c n th c I Ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng Ki n th c c n nh :  a n n a  ab    a, b  a  b  a n  b n a  b  a n 1 b n 1 a  b   a n  b n  a , b  a  b  a n 1  b n 1 Các d ng c b n: * D ng 1:  g  x   (Không c n đ t u ki n f  x   ) f  x   g  x    f  x   g  x  * D ng 2: f  x   g  x  xét tr ng h p:  g  x   TH1:   f  x    g ( x)  TH2:   f  x   g  x   f ( x)   * D ng 3: f  x   g  x    g  x     f  x  g  x  L u ý: + g(x) th ng nh th c b c nh t (ax+b) nh ng có m t s tr ng h p g(x) tam th c b c hai (ax2+bx+c), tu theo t ng ta có th m nh d n đ t u ki n cho g  x   r i bình ph ng v đ a ph ng trìnhb t ph ng trình v d ng quen thu c + Chia đa th c tìm nghi m: Ph ng trình a0 x n  a1 x n 1  a2 x n   L  an 1 x  an  có nghi m x= c  x     b0 x n 1  b1 x n   L  bn  x  bn 1   , t chia v trái cho cho x– ta đ ng t cho b t ph ng trình * Ph ng trìnhb t ph ng trình b c 3: N u nh m đ c nghi m vi c gi i theo h ng đúng, n u khơng nh m đ c nghi m ta có th s d ng ph ng pháp hàm s đ gi i ti p n u ph ng pháp hàm s khơng đ c n a ta ph i quay l i s d ng ph ng pháp khác * Ph ng trìnhb t ph ng trình b c 4, lúc ta ph i nh m đ c nghi m vi c gi i ph ng trình theo h ng m i đúng, n u nh m đ c nghi m s d ng nh ph ng trìnhb t ph ng trình b c n u khơng ta ph i chuy n sang h ng khác “C ng nh khơng ?!” Ví d 1: Gi i ph Bi n đ i ph ng trình: x   x  3x   ( H Kh i D – 2006) x    x  x  (*), đ t u ki n r i bình ph ng trình thành: ng v ta đ c: x  x  11x  x   ta d d ng nh m đ c nghi m x = sau chia đa th c ta đ c: (*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = Ví d 2: Gi i b t ph   ng trình:  x  1   x  10    x , K: x     pt  x  x    x    x   x  ( x  5)  x   x (1), V i x   âm nên ta bình ph b) T ng v : x3 – x2 – 5x –    x  3 x  1  ng t v i d ng: * Ví d 1: Gi i b t ph Gi i 1  hai v (1) đ u không ng trình * f  x  g  x x  x   x   1 x  x   x  b t ph Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t f  x  g  x ng trình t ng đ ng v i h : DeThiMau.vn THÁI THANH TÙNG Tr ng THPT Tân Qu i 2008-2009 x  x    3 3 3   x x      x   x3  x  2    x  x   x   1  x   Ví d 2: Tìm m đ ph ng trình x  mx   m  có nghiêm Gi i * N u m <  ph ng trình vơ nghi m * N u m   ph ng trình  x22mx m2+4m3=0 Ph ng trình có =2m2 4m+3>0 v i m i m V y v i m  ph ng trình cho có nghiêm Ví d 3: Tìm m đ ph ng trình x  mx   x  có hai nghi m phân bi t Gi i:  x  1 Cách 1: PT   , ph ng trình (*) ln có nghi m:  x   m   x   0, (*)  m  m  4m  20  m  m  4m  20  0, x2   Ph ng trình cho có nghi m  (*) có 2 m  nghi m x  1  x2  1   m  m  4m  20    m  1 2   m   m  4m  20 Chú ý: + x1 > 0, x2 < x1 > x2 a.c < nên pt có nghi m trái d u + Cách th ng dùng h s a d ng ho c âm + Cách 2: t t = x + suy x = t – 1, v i x  1  t  x1  (*) tr thành:  t  1   m   t  1   (**) (*) có nghi m x  1 (**) ph i có nghi m t  Ví d 4: ( H Kh i B – 2006) Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m th c phân bi t: x  mx   x  , (1)  x   đ (1) có hai nghi m th c phân bi t (2) có hai nghi m l n h n ho c Gi i: pt   3 x   m   x   0,       m    12     1 m b ng  hay  f     2   2 S   2  1 Chú ý : Cách 2: đ t t  x  , đ (2) có hai nghi m l n h n ho c b ng  2 1      t     m    t     có hai nghi m th c l n h n ho c b ng 2     Các k n ng: a bình ph ng v ph ng trình – b t ph ng trình m t ta bi n đ i cho v không âm hai đ t u ki n cho v khơng âm Ví d 1: Gi i b t ph ng trình: x   x   x  ( H Kh i A – 2005) V ph i không âm, nh ng v trái ch a nh n xét đ c ta ph i bi n đ i thành: ta bình ph ng v r i đ a v d ng c b n đ gi i Ví d 2: Gi i ph ng trình: x  x  1  x  x    x 5x   x   2x  1 Gi i x 1 i u ki n:  x  2 *  x  1  x  x  Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t x  x  1 x    x  x  x  1 x    x  x  1  x  x  x    x  x  1  x2 8x  9  DeThiMau.vn THÁI THANH TÙNG Tr ng THPT Tân Qu i 2008-2009 ng trình cho có hai nghi m x=0, x  (Hãy tìm thêm cách gi i khác) V y ph Ví d 3: Tìm m đ ph ng trình x  mx  x   có nghi m HD: Chuy n v , đ t u ki n, bình ph ng hai v tìm đ c x1,2  đ m  m  16 K t h p v i u ki n ta tìm c |m|  b Chuy n v ph ng trình – b t ph ng trình tích: - t nhân t chung, h ng đ ng th c L u ý: s d ng ph ng pháp ta ph i ý đ n vi c thêm, b t, tách, phân tích Ví d 4: Gi i ph ng trình: x  x   HD:  Bình ph ng hai v  Dùng h ng đ ng th c a2  b2 =0  29  Nghi m x  2, x  x2 Ví d 5: Gi i b t ph ng trình: a x4 b  x  x  x  x   1 1 x   1  S: a 1x x  pt   x   x    m x      x  x  32  m, ( 2) ch ng minh m  , ph ng trình (1) có nghi m phân bi t ch c n ch ng minh ph ng trình (2) có m t nghi m khác Th t v y: đ t f  x   x3  x  32, x  , ta có f(2) = 0, lim f  x   , f '  x   3x  12 x  0, x  x  nên f(x) hàm liên t c  2;   đ ng bi n kho ng suy m  ph nghi m x0 mà < x0 <   M t s d ng chuy n thành tích:  a - c x  b - d  - D ng: ax  b  cx  d  m Ta bi n đ i thành: m( ax  b  cx  d )   ax  b    cx  d  Ví d : Gi i ph ng trình: x3 x   3x   - D ng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0 Ví d : Gi i ph ng trình: S: x=2 S: x=0, x=1 x   x    x2  3x  Ví d : Gi i ph ng trình: x   x   x  x - D ng: au+bv=ab+uv  (ub)(va)=0 4 Ví d 1: Gi i ph ng trình: S: x=0, x=1 S: x=0, x=1 x   2x x   2x  x2  4x  Ví d 2: Gi i ph ng trình: x  x  3x   x  x   x  x - D ng: a3b3  (ab)(a2+ab+b2)=0  a=b Ví d : Gi i ph 2 S: x=0 ng trình:  3 x  x    x  3 x  x   S: x=1 c Chuy n v d ng: A1 + A2 + + An = v i Ai  0,  i  n pt t A1  0, A2  0, L An  Ví d 1: Gi i ph ng trình (2) ln có ng đ ng v i: ng trình: x  x   x x   2 x  Chuyên đ : PT – BPT – H PT vô t DeThiMau.vn THÁI THANH TÙNG ng THPT Tân Qu i Tr HD: Ph ng trình t Ví d 2: Gi i ph Gi i Bình ph 2008-2009  ng đ c  x  1   y    2 d S d ng l p ph ng: V i d ng t ng quát a  b  c ta l p ph a  b  a  b3  3ab  a  b  ph nghi m c a ph ng trình Ví d : Gi i b t ph  ng trình S: x=1 4x  y  y   x2  y ng trình: ng hai v ta đ  ng x  x x   x   2 x   x    y  2  x  y    x  , y  2 ng hai v s d ng h ng đ ng th c  a  b  c Gi i h ta có ng trình t ng đ ng v i h   a  b  3 abc  c x   x   2x  S: x  1; x  2; x  e N u b t ph ng trình ch a n m u: - TH1: M u d ng ho c ln âm ta quy đ ng kh m u: Ví d 1: Gi i b t ph Gi i K: x  1  x3 7x  x3  x3 1 ( H Kh i A2004)  x  16   x    x   x  16   10  x x    10  x   10  x      x  16   10  x 2   -  x  16  ng trình:  x5  10  34  x  V y t p nghi m c a b t ph ng trình là: x  10  34 TH2: M u âm d ng t ng kho ng ta chia thành t ng tr Ví d 2: Gi i b t ph HD: a Xét ba tr ng trình: a  x  3 x   x  b ng h p x=3, x>3 x