ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) (Đề gồm 01 trang) UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đề thức Bài 1: (4,0 điểm) a) So sánh: 17 b) Chứng minh: 26 2016 1 1 > 10 99 100 1 c) Cho S = - - Tính ( S - P ) 99 1 1 1 1 P = 2013 2014 2015 1008 1009 1010 2014 2015 Bài 2: (4,0 điểm) a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm hợp số r b) Tìm số tự nhiên ab cho ab = (a b)3 Bài 3: (6,0 điểm) ỉ è z ưỉ x ưỉ øè øè ø a) Cho x; y; z ¹ x – y – z = Tính giá tr biu thc B = ỗ1 - ữ ỗ1 - ữ ỗ ữ x y z b) Cho x - y z - x y - 3z x y z = = Chứng minh rằng: = = 2 c) Cho biểu thức M = 5- x Tìm x ngun để M có giá trị nhỏ x-2 · Bài 4: (3,0 điểm) Cho xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B tia Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az C Kẻ BH Ay H, CM Ay M, BK AC K Chứng minh: a) KC = KA b) BH = AC c) ΔKMC µ = 2.C µ < 900 Vẽ AH vng góc với BC H Trên tia AB lấy Bài 5: (3,0 điểm) Cho D ABC có B điểm D cho AD = HC Chứng minh đường thẳng DH qua trung điểm đoạn thẳng AC Ghi chú: Học sinh không sử dụng loại máy tính Họ tên thí sinh: SBD: Họ tên chữ ký giám thị 1: Họ tên chữ ký giám thị 2: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN – NĂM HỌC 2015 – 2016 ThuVienDeThi.com Câu Nội dung So sánh: 17 26 99 Ta có: 17 > 16; 26 > 25 => a) Mà 10 = 100 > 99 Vậy: 17 26 > 99 17 26 > 16 25 = = 10 1 1 > 10 99 100 1 1 1 1 > ; > ; > ; ; > Ta có: 100 100 100 99 100 b) 1 1 > 100 = 10 Suy ra: 100 100 Chứng minh: Bài1: (4,0 điểm) Vậy: 1 1 > 10 100 1 1 2013 2014 2015 1 1 2016 P= Tính ( S - P ) 1008 1009 1010 2014 2015 Điểm 1,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Cho S = - - 1 1 1008 1009 1010 2014 2015 1 1 ỉ 1 1 ổ 1 = ỗ ữ - ỗ1 ÷ 1006 1007 1008 2014 2015 ø è 1006 1007 ø è 2,0đ Ta có: P = c) Bài 2: (4,0 điểm) 1 1 ỉ1 1 1 ỉ 1 = ỗ ữ -2 ỗ ÷ 1006 1007 1008 2014 2015 ø è 2012 2014 ø è 0,5đ 1,0đ 1 1 1 = - - = S 2013 2014 2015 2016 Do ( S - P ) = 0,5đ Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm hợp số r 2,0đ Vì p chia cho 42 có số dư r nên: p = 42k + r (0 < r < 42, k, r tự nhiên) Hay p = 2.3.7k + r a) Vì p số ngun tố nên r khơng chia hết cho 2; 3; => r hợp số không chia hết cho 2; 3; r < 42 Học sinh r = 25 0,5đ 1,0đ 0,5đ Vậy hợp số r = 25 b) Tìm số tự nhiên ab cho ab = (a b)3 2,0đ Ta có: (a + b)3 = ab số phương nên a + b số phương Đặt a + b = x2 (x Ỵ N * ) Suy ra: ab = (a b)3 = x6 => x3 = ab < 100 ab > => < x3 < 100 => < x < => x = 3; x Ỵ N * ThuVienDeThi.com 0,5đ 1,0đ - Nếu x = => ab = (a b)3 = 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = (nhận) - Nếu x = => ab = (a b)3 = 46 = 4096 = 642 ¹ (6 + 4)3 = 1000 => x = (không thỏa mãn) Vậy số cần tìm là: ab = 27 ỉ è 0,5đ z öæ x öæ yö øè øè ø Cho x; y; z ¹ x–y–z = Tính giá trị biu thc B = ỗ1 - ữ ỗ1 - ữ ç1 ÷ x y z z ưỉ ỉ x ửổ x-z y-x z y yử B = ỗ1 - ữ ỗ1 - ữ ỗ ữ = a) Ta có: y øè zø x y z è x øè Từ: x – y – z = => x – z = y; y – x = – z y + z = x y -z x = -1( x; y; z ¹ 0) x y z x - y z - x y - 3z x y z = = Cho Chứng minh rằng: = = 2 3x - y z - x y - 3z 4(3 x - y ) 3(2 z - x) 2(4 y - z) = = => = = Ta có: 16 Bài 3: (6,0 điểm) Suy ra: B = 2,0đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 2,0đ 0,5đ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: b) 4(3x - y ) 3(2 z - x) 2(4 y - 3z ) 4(3x - y ) 3(2 z - x) 2(4 y - 3z ) = = = =0 16 16 4(3 x - y ) x y 3(2 z - x) x z = => x = y => = (1) = => z = x => = (2) 16 x y z Từ (1) (2) suy ra: = = 5- x Cho biểu thức M = Tìm x nguyên để M nhỏ x-2 0,75đ => Ta có: M = c) - x - ( x - 2) = = - ( x ¹ 2) x-2 x-2 x-2 M nhỏ nhỏ x – lớn x – < x-2 0,75đ 2,0đ 0,5đ 1,0đ x lớn x < x = (vì x nguyên) - = -4 x = 1- 0,5đ a) Chứng minh: KC = KA · · ) Ta có ·yAz = zAx = 300 (Az tia phân giác xAy 1,0đ 0,5đ Bài 4: (3,0 điểm) Khi GTNN M là: M = · Mà: ·yAz = ACB (Ay // BC, so le trong) · = ·ACB V ABC cân B zAx ThuVienDeThi.com Trong tam giác cân ABC có BK đường cao ứng với cạnh đáy BK đường trung tuyến DABC KC = KA Chứng minh: BH = b) AC 0,5đ 1,0đ · Ta có: ·ABH = 900 - xAy = 300 (DABH vuông H) Xét hai tam giác vng DABH DBAK, có: 0,25đ · = ·ABH (= 300 ) AB: Cạnh chung; zAx 0,5đ DABH = DBAK BH = AK AC AC (cmt ) BH = 2 ΔKMC Chứng minh: Mà: AK = Ta có: DAMC vng M có MK trung tuyến ứng với cạnh huyền KM = AC/2 (1) c) Mà: AK = KC = AC/2 (2) Từ (1) (2) => KM = KC => DKMC cân K (3) · · · = 900 ; yAz=30 MCK = 900 - 300 = 600 (4) Mặt khác: DAMC có AMC Bài 5: (3,0 điểm) Từ (3) (4) DAMC 0,25đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Chứng minh đường thẳng DH qua trung điểm đoạn thẳng AC 3,0đ µ = 2.C µ => B µ >C µ nên AC > AB => HC > HB Ta có: B Trên đoạn thẳng HC lấy điểm I cho IH = HB => DAHI = DAHB 0,25đ · · => AI = AB ·AIB = ABC = 2.ACB · · · Mặt khác: ·AIB = ·ACB IAC => IAC = ACB Do đó: IA = IC < HC hay AB < HC = AD Gọi K giao điểm DH với AC Vì AD = HC, AB = IC nên BD = HI = HB => DDBH cân B 1· · · · = BHD = ABC = ACB Do đó: BDH · · · · · Suy ra: KHC = ACB(= BHD (phụ hai góc nhau) ) => KAH = KHA Suy ra: KA = KH = KC hay K trung điểm AC Vậy đường thẳng DH qua trung điểm đoạn thẳng AC Ghi chú: - Mọi cách giải khác đúng, lý luận phù hợp ghi điểm tối đa - Điểm thi làm tròn đến chữ số thập phân thứ ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,75đ ThuVienDeThi.com Trên ây ch ph n trích d n 10 trang u c a tài li u có th hi n th l i font, b n mu n xem tài li u g c n vào nút T i v phía d i ThuVienDeThi.com y ... ¹ x–y–z = Tính giá trị biểu thc B = ỗ1 - ữ ỗ1 - ữ ỗ1 ÷ x y z z ưỉ ỉ x ưỉ x-z y-x z y yử B = ỗ1 - ữ ç1 - ÷ ç ÷ = a) Ta có: y øè zø x y z è x øè Từ: x – y – z = => x – z = y; y – x = – z... 1 1 2013 2014 2015 1 1 2016 P= Tính ( S - P ) 1008 1009 1010 2014 2015 Điểm 1,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Cho S = - - 1 1 1008 1009 1010 2014 2015 1 1 ỉ 1 1 ổ... giải khác đúng, lý luận phù hợp ghi điểm tối đa - Điểm thi làm tròn đến chữ số thập phân thứ ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,75đ ThuVienDeThi.com Trên ây ch ph n trích d n 10 trang u c a tài