Bài tốn gửi Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ Chuyên mục “Đề thi học sinh giỏi” ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS – TỈNH BÌNH ĐNNH MƠN TỐN – Thời gian: 150 phút – Ngày 18 – 03 – 2009 Bài 1: (3 điểm) Tìm tất cặp số nguyên (m, n) cho 2n3 – mn2 – 3n2 + 14n – 7m – = Bài 2: (3 điểm) Cho x, y, z số thực khác Chứng minh 1 + + =0 x y x yz zx xy + + =3 x y2 z Bài 3: (3 điểm) Giải hệ phương trình: x + y = x − 20 + y + = Bài 4: (4 điểm) Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh tam giác ABC G, E, F OA OB OC + + =2 Chứng minh AG BE CF Bài 5: (4 điểm) Cho đường trịn (O), đường kính AB Trên tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) lấy điểm C cho AC = AB Đường thẳng BC cắt đường tròn (O) D, M điểm thay đổi đoạn AD Gọi N P chân đường vng góc hạ từ M xuống AB AC, H chân đường vng góc hạ từ N xuống đường thẳng PD a) Xác định vị trí M để tam giác AHB có diện tích lớn b) Chứng minh M thay đổi, HN qua điểm cố định Bài 6: (3 điểm) Chứng minh: 17 < 1 + +⋯ + : loại 13 Với a = 4, ta có b = Thế lại Nn cũ: a = ⇒ x − 20 = ⇔ x = 36 b = ⇒ y+3 = ⇔ y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: x = 36, y = Bài OA OB OC + + =2 AG BE CF Đặt SOAB = S1, SOAC = S2, SOBC = S3 Ta có: OA S1 S S1 + S2 S +S = = = = (1) AG SABG SACG SABG + SACG SABC Lập luận tương tự, ta có: OB S1 + S3 = (2) BE SABC Chứng minh: ThuVienDeThi.com OC S2 + S3 = (3) CF SABC Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có: OA OB OC 2(S1 + S2 + S3 ) 2SABC + + = = =2 AG BE CF SABC SABC Bài a) Vị trí M để diện tích tam giác AHB lớn Ta có PAN + PHN = 900 + 900 = 1800 nên tứ giác APHN nội tiếp (1) Tứ giác APMN hình vng nên nội tiếp (2) Từ (1), (2) ta có điểm A, N, M, P, H thuộc đường tròn Do AHM = APM = 900 Mặt khác tứ giác MPCD nội tiếp nên MPD = MCD (góc nội tiếp chắn cung MD) Tam giác ABC vuông cân A có AD vừa đường cao vừa đường trung trực, vừa đường phân giác nên: MB = MC ⇒ MBC cân M ⇒ MCD = MBD , MPD = MBD (3) Ta lại có góc ngồi MBD M nên: AMB = MBD + MDB = MBD + 900 (4) APH = APM + MPH = 900 + MPD (5) Từ (3), (4), (5) suy ra: APH = AMB (6) Vì tứ giác APHM nội tiếp nên: APH + AMH = 1800 (7) Từ (6), (7) suy ra: AMB + AMH = 1800 Do ba điểm H, M, B thẳng hàng, nên AHB = 900 Vậy H thuộc đường tròn (O) Suy tam giác AHB có diện tích lớn độ dài đường cao HK lớn ⇒ HK = R ⇒ H ≡ D ⇒ M ≡ D Vậy M ≡ D SAHB đạt giá trị lớn R2 (R bán kính đường trịn (O)) b) Chứng minh HN qua điểm cố định Gọi E giao điểm thứ hai HN với đường trịn (O) Ta có AHN = APN = 450 Vì AHB = 900, suy NHB = 450 Do HN tia phân giác góc AHB , suy E điểm cung AB , nên điểm E cố định Vậy M di động đoạn thẳng AD HN ln qua điểm E cố định điểm cung tròn AB đường tròn (O) ThuVienDeThi.com Bài Chứng minh: 1 17 < + +⋯ + 100 − =17 100 1 Vậy 17 < + +⋯ +