Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009 môn thi: Toán, lớp 12 THPT42268

Sở giáo dục đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009 bắc giang Môn thi: Toán, lớp 12 THPT Đề thức Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (5 điểm) (2m 1) x m (1), víi m lµ tham sè x 1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x Khi m = 2, tìm đồ thị (C) hàm số (1) hai điểm phân biệt đối xứng với qua đường thẳng d: y = 2x + Câu II (4 điểm) Giải phương trình (x R) x   x   x Cho hàm số y Giải phương trình | cot x | tan x sin x (x R) Câu III (5 điểm) Trong hƯ trơc täa ®é Oxy, cho ®iĨm A(1; 1) Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng d: y = vµ C thuéc Ox cho tam giác ABC Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = b, SA  (ABCD) vµ SA = a a) Gọi E trung điểm CD Tính khoảng cách từ S ®Õn BE theo a, b b) Gäi α, β, góc mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (SAB), (SAD) (ABD) Chứng minh r»ng cos α + cos β + cos γ  Câu IV (4 điểm) Tính tích ph©n I= x  cos x dx x  sin 2 Tìm giá trị cđa x khai triĨn Niut¬n cđa ( 2log(103 )  2( x  2)log3 ) n , biÕt số hạng thứ sáu khai triển 21 Cn1 Cn3 2Cn2 Câu V (2 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z tháa m·n x + y + z = 1 1     30 Chøng minh r»ng 2 x y z xy yz zx x HÕt Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên học sinh sè b¸o danh DeThiMau.vn Sở giáo dục đào tạo bắc giang Đáp ¸n-thang ®iĨm ®Ị thi chän häc sinh giái cÊp tØnh năm 2009 Môn thi: Toán, lớp 12 THPT Đề thức Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009 Đáp án-thang điểm có trang Chú ý: Dưới sơ lược bước giải cách cho điểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác mà chấm điểm phần tương ứng Câu Phương pháp giải kết ®iÓm (m  1) , x  1 (2 điểm) TXĐ hàm số R\ y '  0,25 ( x  1) §å thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x hệ phương trình ẩn x (2m  1) x  m x  x 1  cã nghiÖm  0,25 ( m  1)  1  ( x  1) C©u I điểm Câu II điểm 2 (2) 2mx  m  x  cã nghiÖm x ≠ 2 (3) (m  1)  ( x  1) Trõ vÕ theo vÕ cđa (2) vµ (3) ta ®­ỵc (m -1)x = m(m - 1) NÕu m = phương trình có nghiệm x = 1(loại) Nếu m hệ (2) (3) có nghiệm x ≠ (tháa m·n) VËy m ≠ th× d tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) 3x (3 điểm) m = hàm số (1) trở thành y có đồ thị (C) x 1 Gäi A(xA; yA) B(xB; yB)  (C) vµ ®èi xøng qua d V× AB  d nên phương trình AB có dạng y = x + n xA, xB nghiệm phương trình 3x    x  n  f ( x)  x  (2n  5) x  2n   , x ≠ x 1 Theo Vi-et ta cã x A  xB  2n  x x 2n  2n Gọi I trung điểm AB  xI = A B  ; y I   xI  n  2 2n  Do A, B ®èi xøng qua d nªn I  d   2n    n  4 x  Với n = xA; xB nghiệm phương trình x2 -3x = x Vậy điểm cần tìm (0; 4) (3; ) (2 điểm) Điều kiện x Với điều kiện phương rình đà cho tương đương với ( x 2)  ( x   1)  x  0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 DeThiMau.vn x2  ( x  6)  x    x2  x2  x 1 1 x    1    x  (1)  ( x  6)  x   x 1 1   vµ VP(1) > Vì x nên VT(1) 49 Nên (1) vô nghiệm Vậy phương trình đà cho có nghiệm x = 2 (2 điểm) Điều kiện sin2x Nếu cot x > phương trình đà cho trë thµnh cos x cot x  tan x    sin x sin x cos x sin x  cos x  cos x  cos x  cos x  Câu III điểm cos x 1(l )  cos x    2  x  k 2 (l )  cos x      x   2  k 2 (tm)  NÕu cot x < phương trình đà cho trở thành 1  cot x  tan x    0 sin x sin x cos x sin x  cos x = -1 (l) KL (2 điểm) Vì B d B(a; 3) C  Ox  C(b; 0)  ABC ®Ịu  AB2 = BC2 = CA2 2 (a  1)   (b  1)  (§iỊu kiƯn a, b  1)  2 (a  1)  (b a ) Đặt b -1 = t(a - 1) b -  (a  1) (t  1)  Hệ phương trình trở thành 2 (a  1) (t  2t )  5  t   Chia vÕ thªo vÕ cđa hai phương trình hệ ta t  +) t   thay vµo hƯ kết quả: vô nghiệm a  1 ;b  1  3 +) t thay vào hệ ta thu   ;b  1 a 3 Vậy điểm cần tìm DeThiMau.vn 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 5 ;3), C (1  ;0) hc B(1  ;3), C (1  ;0) 3 3 (3 ®iĨm) B(1  S N P H A D F M E B C a 8b a) (1 điểm) Tính khoảng cách từ S đến BE a a 4b b) (2 điểm) H hình chiếu A lên mặt phẳng (SBD) Học sinh chứng minh H trực tâm tam giác SBD Gọi đường cao tam SBD SM, BN, DP ฀ ,   HNA ฀ ,   HPA ฀ Tõ ®ã ta cã α = HMA 1® 0,5 0,25 HM AH AH   cos 2  AM AS AS T­¬ng tù ta chøng minh ®­ỵc: AH cos   AB AH cos 2  AD 1 1 Mặt khác ta chứng minh 2 AH AS AB AD Suy cos 2  cos   cos 2  Ta dễ dàng chứng minh (cos cos  cos )  3(cos 2  cos   cos 2 ) =3 Tõ ®ã suy ®iỊu ph¶i chøng minh Ta cã cos    (2 ®iĨm) Ta cã I =   0,25 0,5 0,5  xdx   sin x 2  0,5 cosxdx   sin x Câu IV điểm xdx   sin +) I1 =  x 0,5 Đặt x = -t, ta tính I1 =   +) I2 =   cosxdx =  sin x VËy I = I1 + I2 =   d (sin x)  sin x   ln  sin x  sin x   ln  = ln 0,75 0,25 (2 ®iĨm) §iỊu kiƯn 10 - 3x > , n  3, n  N Sè h¹ng thø khai triển Niutơn củanhị thức là: DeThiMau.vn 0,25 Cn5 ( 2log(103 ) ) n 5 ( 2( x  2)log3 )5  21 x n  Theo gi¶ thiÕt Cn1  Cn3  2Cn2   (chØ cã n = tháa m·n) n  x x2 Víi n = (1) trở thành 2log[(103 )3 ]   (10  3x )3x   Giải phương trình ta x = x = Kết luận: Câu V điểm Do x, y, z dương nên theo BĐT Cô - si, ta cã 1 1 1 ( xy  yz  zx)(   )      xy yz zx xy yz zx xy  yz  zx 1 1      2 x y z xy yz zx 1   ( ) 2 x y z xy  yz  zx xy  yz  zx xy  yz  zx 7.3   2 x  y  z  2( xy  yz  zx) ( x  y  z ) 21 =   30 ( x  y  z ) ( x  y  z )2 Đẳng thức xảy x = y = z = DeThiMau.vn (1) 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Së giáo dục đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009 bắc giang Môn thi: Toán, lớp 12 BTTH Đề thức Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009 Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (5 điểm) Cho hàm số y = x3 + (m-1)x2 - m (1), víi m lµ tham sè Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu điểm có hoành độ x = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt Câu II (4 điểm) Giải phương trình 16 log 27 x3 x 3log x x  (x  R) Gi¶i hệ phương trình x y xy 11  2  x y  xy  30 (x, y R) Câu III (5 điểm) Cho hai đường tròn (C): x2 + y2 - 10x = vµ (C’): x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = a) Viết phương trình đường tròn qua giao điểm (C) (C), có tâm nằm đường thẳng y = x + b) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C) (C) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA (ABC) SA = a Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a Câu IV (4 điểm) x Tính tích phân  x dx n 1  T×m hệ số khai triển Niutơn nhị thức   x5  , x  n 1 n biÕt r»ng Cn   Cn 3  7(n 3) Câu V (2 điểm) 1 Cho ba sè thùc d­¬ng x, y, z tháa m·n    x y z 1 Tìm giá trị lớn biểu thøc P= 2x  y  z x  y  z x  y  2z x8 HÕt Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên học sinh sè b¸o danh DeThiMau.vn Së giáo dục đào tạo bắc giang Đáp án-thang điểm đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009 Môn thi: Toán, lớp 12 BTTH Đề thức Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009 Đáp án-thang điểm có trang Chú ý: Dưới sơ lược bước giải cách cho điểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác mà chấm điểm phần tương ứng Câu Phương pháp kết Điểm (2 điểm) TXĐ R Câu I 0,25 Ta có y = 3x2 + 2(m-1)x điểm 0,25 phương trình y = lu«n cã nghiƯm x = víi mäi m y’‘= 6x + 2m - 0,25 y’‘(0) = 2m - 0,25 +) NÕu 2m -2 =  m = y = x3 cực trÞ 0,5 +) NÕu 2m - >  m > hàm số đạt cực tiểu x = (tháa m·n) 0,25 +) NÕu 2m -2 < hàm số đạt cực đại x = (kh«ng tháa m·n) 0,25 VËy m > giá trị cần tìm (3 điểm) Đồ thị hàm số (1) cắt Ox ba điểm phân biệt 0,5 phương trình (ẩn x) x3 + 2(m - 1)x2 - m = cã ba nghiƯm ph©n bƯt 0,5  (x - 1)(x2 + mx + m) = cã ba nghiƯm ph©n biƯt 0,5  f(x) = x + mx + m = cã hai nghiƯm ph©n biƯt x   f (1)  2m   1  m  (;  )  ( ;0)  (4; )   2    m  4m  0,5 KL x 0,5 (2 điểm) Điều kiƯn  C©u II  x  điểm Với điều kiện phương trình đà cho tương ®­¬ng víi 16 log x x  log x x   x  (l )  x  x6    x (tm) KL (2 điểm) Đặt S = x + y; P = xy (§K: S2  4P) S    S  P  11   P  HƯ ®· cho trở thành (thoả mÃn) S SP  30    P   x   x  y  y  Víi S = 5, P = ta ®­ỵc    x   xy     y  16 DeThiMau.vn 0,5 0,25 0,5 0,5  x   x  y  y   Víi S = 6, P = ta x   xy     y Kết luận Câu III điểm 0,5 0,25 a) (1,5 điểm) Tọa độ giao điểm cđa (C) vµ (C’) lµ nghiƯm cđa hƯ  x   2  x  y  10 x   y  3   2  x   x  y  x  y  20     y  Suy (C) vµ (C) cắt hai điêm A(1; -3) B(2; 4) Trung điểm AB M( ; ), trung trùc cña AB cã vtpt AB  (1;7) 2 Suy phương trình đường trung trực cđa AB lµ x + 7y - = Vì đường tròn qua điểm A, B nên tâm I đường tròn thuộc trung trực AB Vậy tọa độ tâm I đường tròn cần tìm nghiệm hệ x y   x  2   I(-2; 1)  x  y   y Bán kính đường tròn IA = Phương trình đường tròn cần tìm (x + 2)2 + (y - 1)2 = 25 b) (1,5 ®iĨm) Gọi d tiếp tuyến chung cần tìm Đường tròn (C) có tâm K(5; 0) bán kính R = Đường tròn (C) có tâm K(-2; 1) bán kính R = Ta cã KK’ =  R R ' 10 Do (C) (C) cắt (C) (C) có bán kính  (C) vµ (C’) cã hai tiÕp tuyÕn chung ngoµi song song víi KK’    d cã vtcp KK '  (7;1)  vtpt n  (1;7) VËy phương trình d có dạng x + 7y + c = d tiÕp xóc víi (C) vµ chØ khoảng cách từ K đến d R c  5  25 |c5|  5  50 c 25 Vậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm là: x + 7y -5 - 25 = vµ x + 7y - + 25 = (2 ®iĨm) S H A C I B Gọi I trung điểm BC AI BC (vì ABC đều) DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Mµ SA  (ABC)  SA  BC  BC  (SAI) H¹ AH  SI AH (SBC) AH khoảng cách tõ A ®Õn (SBC) a Do  ABC ®Ịu cạnh a nên AI = 1 Trong tam giác vuông SAI có  2 AH AS AI 3a a 15  AH  KL 0,5 0,5 0.25 0,5 0,25 Đặt t = x t   x  2tdt  2 xdx  xdx = - tdt §ỉi cËn: x =  t = x =  t = Khi ®ã ta suy 2 1 0,5 I   (1  t )t (tdt )   (t  t )dt 1 Câu IV điểm t3 t5 (  )  15 Kết luận (2 điểm)Theo ta có Cnn41  Cnn3  7(n  3) (§K: n  N) (n  4)(n  3)(n  2) (n  3)(n  2)(n  1)    7(n  3) 6  n  12 0,5 0,5 0,5 12 Với n = 12 nhị thức   x5  x  Sè h¹ng tổng quát thứ k + khai triển Niutơn lµ Tk 1  C12k ( x 3 )12 k ( x ) k  C12k x C©u V ®iĨm 3(12  k )  5k 5k 3(12  k )    k  VËy hƯ sè cđa x8 khai triển Niutơn C128 495 1 1  (  ) (*) Ta dƠ dµng chøng minh với a, b dương ta có: ab a b ¸p dơng (*) ta cã 1 1 1 1 1   (  ) (    ) x  y  z ( x  y)  ( x  z) x  y x  z 16 x y x z 1 1  (   )  (1) x  y  z 16 x y z T­¬ng tù ta chøng minh ®­ỵc 1  (   ) x  y  z 16 x y z 1 1  (   ) x  y  z 16 x y z 0,5 0,5 0,75 0,5 (2) (3) DeThiMau.vn 0,25 Céng vế theo vế ba bất đẳng thức chiều (1), (2), (3) ta 1 1 4    (   )  P= x  y  z x  y  z x  y  z 16 x y z Đẳng thưc xảy vµ chØ x = y = z = VËy Max P = DeThiMau.vn 0,25 0,25 ... giáo dục đào tạo bắc giang Đáp án-thang điểm đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009 Môn thi: Toán, lớp 12 THPT Đề thức Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009 Đáp án-thang điểm có trang Chú ý: Dưới... = DeThiMau.vn (1) 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Së gi¸o dục đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009 bắc giang Môn thi: Toán, lớp 12 BTTH Đề thức Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009. .. coi thi không giải thích thêm Họ tªn häc sinh sè b¸o danh DeThiMau.vn Së gi¸o dục đào tạo bắc giang Đáp án-thang điểm đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009 Môn thi: Toán, lớp 12