Bài giảng môn toán lớp 12 Chương VII: Phương trình lượng giác chứa căn và phương trình lượng giác chứa giá trị tuyệt đối45487

CHƯƠNG VII PHƯƠNG TRÌNH LƯ N G GIÁ C CHỨ A CĂ N VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯ N G GIÁ C CHỨ A GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A) PHƯƠNG TRÌNH LƯ N G GIÁ C CHỨ A CĂ N Cá c h giả i : Á p dụ n g cá c cô n g thứ c ⎧A ≥ A = B⇔⎨ ⇔ ⎩A = B ⎧B ≥ ⎨ ⎩A = B ⎧B ≥ A =B⇔⎨ ⎩A = B Ghi : Do theo phương trình chỉnh lý bỏ phầ n bấ t phương trình lượ n g giá c nê n ta xử lý điề u kiệ n B ≥ bằ n g phương phá p thử lạ i n g tô i bỏ cá c bà i toá n phứ c tạ p Bà i 138 : Giả i phương trình ( *) ⇔ cos x − cos 2x + sin x = ( *) cos x − cos 2x = −2 sin x ⎧sin x ≤ ⇔⎨ ⎩5 cos x − cos 2x = sin x ⎧⎪sin x ≤ ⇔⎨ 2 ⎪⎩5 cos x − cos x − = − cos x ⎧sin x ≤ ⇔⎨ ⎩2 cos x + cos x − = ⎧sin x ≤ ⎪ ⇔⎨ ⎪⎩cos x = ∨ cos x = −3 ( loaïi ) ⎧sin x ≤ ⎪ ⇔⎨ π ⎪⎩ x = ± + k2π, k ∈ π ⇔ x = − + k2π, k ∈ ( ) ( ) Baø i 139 : Giả i phương trình sin3 x + cos3 x + sin3 x cot gx + cos3 xtgx = sin 2x DeThiMau.vn Điề u kiệ n : ⎧cos x ≠ ⎪ ⎨sin x ≠ ⇔ ⎪sin 2x ≥ ⎩ ⎧sin 2x ≠ ⇔ sin 2x > ⎨ ⎩sin 2x ≥ Lú c : ( *) ⇔ sin3 x + cos3 x + sin2 x cos x + cos2 x sin x = sin 2x ⇔ sin2 x ( sin x + cos x ) + cos2 x ( cos x + sin x ) = 2sin 2x ( ) ⇔ ( sin x + cos x ) sin x + cos2 x = sin 2x ⎧⎪sin x + cos x ≥ ⇔⎨ ⎪⎩( sin x + cos x ) = sin 2x ⎧ π⎞ ⎛ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪ sin ⎜ x + ⎟ ≥ ⎪sin ⎜ x + ⎟ ≥ 4⎠ ⇔⎨ ⇔⎨ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎪1 + sin 2x = sin 2x ⎪sin 2x = ( nhaän sin 2x > ) ⎩ ⎩ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ x + ⎟ ≥ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⇔ ⎪ x = π + kπ, k ∈ ⎩⎪ π ⇔ x = + m2π, m ∈ Bà i 140 : Giả i phương trình ⎧ π⎞ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ x + ⎟ ≥ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ x = π + m2π ∨ x = 5π + m2π ( loaïi ) , m ∈ ⎩⎪ 4 π⎞ ⎛ + sin 2x cos2 2x = sin ⎜ 3x + ⎟ ( *) 4⎠ ⎝ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ 3x + ⎟ ≥ ⎪ ⎝ ⎠ Ta coù : (*) ⇔ ⎨ ⎪1 + sin 2x cos2 2x = sin2 ⎛ 3x + π ⎞ ⎜ ⎟ ⎪⎩ 4⎠ ⎝ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ 3x + ⎟ ≥ ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪1 + sin 2x (1 + cos 4x ) = ⎡1 − cos( 6x + π ) ⎤ ⎢⎣ ⎪⎩ ⎥⎦ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ 3x + ⎟ ≥ 4⎠ ⇔⎨ ⎝ ⎪1 + sin 2x + ( sin 6x − sin 2x ) = (1 + sin 6x ) ⎩ ⎧ π⎞ ⎧ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ 3x + ⎟ ≥ ⎪⎪sin ⎜ 3x + ⎟ ≥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin 2x = ⎪ x = π + kπ ∨ x = 5π + kπ, k ∈ ⎩⎪ ⎩⎪ 12 12 DeThiMau.vn π⎞ ⎛ So lạ i vớ i điề u kieä n sin ⎜ 3x + ⎟ ≥ 4⎠ ⎝ π •Khi x = + kπ 12 π⎞ ⎛ ⎛π ⎞ sin ⎜ 3x + ⎟ = sin ⎜ + 3kπ ⎟ = cos kπ 4⎠ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎡1 , ( k chẵn ) ( nhận ) =⎢ ⎢⎣ −1 , ( k lẻ ) ( loại ) 5π • Khi x = + kπ 12 π⎞ ⎛ ⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞ sin ⎜ 3x + ⎟ = sin ⎜ + 3kπ ⎟ = sin ⎜ − + kπ ⎟ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ −1 , k chẵn ( loại ) =⎢ ⎢⎣1 , k lẻ ( nhận ) π 5π + m2π ∨ x = + ( 2m + 1) π, m ∈ Do ( *) ⇔ x = 12 12 Bà i 141 : Giả i phương trình − sin 2x + + sin 2x = cos x ( * ) sin x Lú c : ( *) ⇔ − sin 2x + + sin 2x = sin 2x ( hiể n nhiê n sinx = khô n g nghiệ m , sinx =0 VT = 2, VP = ) ⎪⎧2 + − sin2 2x = sin2 2x ⇔⎨ ⎪⎩sin 2x ≥ ⎧⎪ − sin2 2x = sin2 2x − ⇔⎨ ⎪⎩sin 2x ≥ ⎧1 − sin 2x = sin4 2x − sin2 2x + ⎪ ⎪ ⇔ ⎨sin2 2x ≥ ⎪ ⎪⎩sin 2x ≥ ⎧sin 2x sin 2x − = ⎪ ⇔⎨ ⎪sin 2x ≥ ⎩ ⎧ − ∨ sin 2x = ⎪sin 2x = ⎪ 2 ⇔⎨ ⎪sin 2x ≥ ⎪⎩ ⇔ sin 2x = ( ) DeThiMau.vn π 2π + k2π ∨ 2x = + k2π, k ∈ 3 π π ⇔ x = + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ Chú ý : Có thể đưa phương trình a giá trị tuyệ t đố i ⎧sin x ≠ ( *) ⇔ ⎪⎨ ⎪⎩ cos x − sin x + cos x + sin x = sin 2x ⇔ cos x − sin x + cos x + sin x = sin 2x ⇔ 2x = Bà i 142 : Giả i phương trình sin x + cos x + sin x + cos x = ( * ) π cos x Đặt t = sin x + cos x = sin x + π cos π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔t= sin ⎜ x + ⎟ = sin ⎜ x + ⎟ π 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ cos ( *) thaønh t + t = sin ⇔ t = 2−t ⎧2 − t ≥ ⎧t ≤ ⇔⎨ ⇔ ⎨ 2 ⎩t = − 4t + t ⎩t − 5t + = ⎧t ≤ ⇔⎨ ⇔ t =1 ⎩t = ∨ t = Do ( * ) π⎞ π π π 5π ⎛ ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = + k2π hay x + = + k2π, k ∈ 3⎠ 6 ⎝ π π ⇔ x = − + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ Baø i 143 : Giả i phương trình tgx + ( sin x + cos x ) = ( sin x + cos x ) ( *) Chia hai vế củ a (*) cho cos x ≠ ta đượ c ( *) ⇔ tgx + ( tgx + 2) = ( tgx + 3) Đặt u = tgx + với u ≥ Thì u − = tgx ( ) ( (*) thaøn h 3u u + = u + ) ⇔ 3u − 5u + 3u − 10 = ⇔ ( u − ) ( 3u + u + ) = ⇔ u = ∨ 3u + u + = ( vô nghiệm ) DeThiMau.vn Do ( *) ⇔ tgx + = ⇔ tgx + = π π⎞ ⎛ ⇔ tgx = = tgα ⎜ với − < α < ⎟ ⇔ x = α + k π , k ∈ 2⎠ ⎝ Baø i 144 : Giả i phương trình ( *) ⇔ ( ( ) − cos x + cos x cos 2x = ) sin 4x ( *) − cos x + cos x cos 2x = sin 2x cos 2x ⎧cos x ≥ ⇔⎨ hay ⎩cos 2x = − cos x + cos x = sin 2x ⎧cos x ≥ ⎧cos x ≥ ⎪ ⎪ hay ⎨sin 2x ≥ ⇔⎨ π ⎪⎩2x = + kπ, k ∈ ⎪ ⎩1 + ( − cos x)cosx = sin 2x ⎧cos x ≥ ⎧cos x ≥ ⎪ ⎪ hay ⎨sin 2x ≥ ⇔⎨ π π ⎪⎩ x = + k , k ∈ ⎪ ⎩1 + ( − cos x)cosx = sin 2x ( VT ≥ ≥ VP ) ⎧cos x ≥ cos x ≥ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪sin 2x ≥ ⇔⎨ hay ⎨ π 5π ⎪⎩ x = ± + hπ hay x = ± + hπ, h ∈ ⎪sin 2x = ⎩⎪(1 − cos x ) cos x = π ⇔ x = ± + hπ, h ∈ ⎧sin 2x = ⎧sin 2x = hay ⎨ hay ⎨ ⎩cos x = ( ⇒ sin 2x = ) ⎩cos x = ( ⇒ sin x = ⇒ sin 2x = ) π ⇔ x = ± + hπ, h ∈ Bà i 145 : Giả i phương trình sin3 x (1 + cot gx ) + cos3 x (1 + tgx ) = sin x cos x ( *) sin x + cos x ⎞ ⎛ cos x + sin x ⎞ ⎟ + cos x ⎜ ⎟ = sin x cos x sin x cos x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( *) ⇔ sin3 x ⎛⎜ ( ) ⇔ ( sin x + cos x ) sin x + cos2 x = sin x cos x ⎧sin x + cos x ≥ ⇔⎨ ⎩1 + sin 2x = sin 2x ⎧ π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ ≥ ⎪ ⎧sin x + cos x ≥ ⎪ 4⎠ ⎝ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩sin 2x = ⎪ x = π + kπ, k ∈ ⎪⎩ DeThiMau.vn ⎧ π⎞ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ x + ⎟ ≥ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪ x + π = π + kπ, k ∈ ⎪⎩ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪⎪sin ⎜ x + ⎟ ≥ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪ x + π = π + h2π hay x + π = 3π + h2π, h ∈ ⎪⎩ 4 π ⇔ x = + h2π, h ∈ Bà i 146 : Giả i phương trình cos 2x + + sin 2x = sin x + cos x ( *) π⎞ ⎛ Điề u kiệ n cos 2x ≥ sin ⎜ x + ⎟ ≥ 4⎠ ⎝ Lú c : ( *) ⇔ ( cos x + sin x ) cos2 x − sin x + ⇔ cos2 x − sin x + ( cos x + sin x ) + cos 2x ⇔ cos x ( cos x + sin x ) + ( sin x + cos x ) cos 2x = cos x + sin x ( cos x + sin x ) = ( sin x + cos x ) = ( sin x + cos x ) ⎡sin x + cos x = ⇔⎢ ⎣cos x + cos 2x = ⎡ tgx = −1 ⇔⎢ ⎢⎣ cos 2x = − cos x ( * *) ⎡ tgx = −1 ⇔⎢ ⎣cos 2x = − cos x + cos x ⇔ tgx = −1 ∨ cos2 x + cos x − = ⇔ tgx = −1 ∨ cos x = ∨ cos x = −5 ( loaïi ) π + kπ ∨ x = k2π, k ∈ π ⎛ π⎞ Thử lạ i : • x = − + kπ cos 2x = cos ⎜ − ⎟ = ( nhaän ) ⎝ 2⎠ π⎞ ⎛ Vaø sin ⎜ x + ⎟ = sin kπ = ( nhaän ) 4⎠ ⎝ • x = k2π cos 2x = ( nhận ) ⇔x=− π⎞ π ⎛ cos ⎜ x + ⎟ = cos > ( nhaän ) 4⎠ ⎝ π Do (*) ⇔ x = − + kπ ∨ x = k2π, k ∈ Chú ý : Tạ i (**) dù n g phương trình lượ n g giá c khô n g mự c DeThiMau.vn ⎧cos x + cos 2x = ⎪⎩sin x + cos x ≥ ( * *) ⇔ ⎪⎨ ⎧cos x = ⎪ ⇔ ⎨cos 2x = cos2 x − = ⎪sin x + cos x ≥ ⎩ ⎧cos x = ⇔⎨ ⇔ x = 2kπ, k ∈ ⎩sin x + cos x ≥ Caù c h khaù c ( *) ⇔ ⇔ cos2 x − sin x + ( cos x + sin x ) (cos x + sin x).(cos x − sin x ) + = cos x + sin x ( cos x + sin x ) ⎧⎪cos x + sin x > ⇔ cos x + sin x = hay ⎨ ⎪⎩ cos x − sin x + ` (!iPЯ ⎧⎪cos x + sin x > 0••‘ ‡ Y " ⇔ = − ⎨ + = ⎪⎩ = cos x + sin x ( cos x + sin x ) = ... Có thể đưa phương trình a giá trị tuyệ t đố i ⎧sin x ≠ ( *) ⇔ ⎪⎨ ⎪⎩ cos x − sin x + cos x + sin x = sin 2x ⇔ cos x − sin x + cos x + sin x = sin 2x ⇔ 2x = Bà i 142 : Giả i phương trình sin x... kπ 12 π⎞ ⎛ ⎛ 3π ⎞ ⎛ π ⎞ sin ⎜ 3x + ⎟ = sin ⎜ + 3kπ ⎟ = sin ⎜ − + kπ ⎟ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ −1 , neáu k chẵn ( loại ) =⎢ ⎢⎣1 , k lẻ ( nhaän ) π 5π + m2π ∨ x = + ( 2m + 1) π, m ∈ Do ( *) ⇔ x = 12 12... ⇔⎨ ⎪sin 2x = ⎪ x = π + kπ ∨ x = 5π + kπ, k ∈ ⎩⎪ ⎩⎪ 12 12 DeThiMau.vn π⎞ ⎛ So lạ i vớ i điề u kiệ n sin ⎜ 3x + ⎟ ≥ 4⎠ ⎝ π •Khi x = + kπ 12 π⎞ ⎛ ⎛π ⎞ sin ⎜ 3x + ⎟ = sin ⎜ + 3kπ ⎟ = cos kπ 4⎠