Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Hòa Bình lớp 12 THPT, năm học 2011 2012 môn: Toán45401

SỞ GD- ĐT HỊA BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2011-2012 Mơn: Tốn Ngày thi: 22/12/2012 (Thêi gian lµm 180' không kể thời gian giao đề) Cõu (4 điểm) Cho hàm số: y  x  (C) x 2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  5x  10 Tìm tất giá trị m để đường thẳng y  m( x  2)  cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B cho đoạn AB có độ dài 40 Câu 2( điểm) Tìm nghiệm x   0; 2  phương trình 9sin x  27.31  5cos x Giải phương trình: x  10  x  10  x    Giải bất phương trình: log 3 log x  2x  x     11 Câu 3( điểm) Giải hệ phương trình: 3  log y   log x  3 log x   log y  Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) x  y  x  y   đường thẳng d: x  y   Tìm đỉnh hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (C) biết đỉnh A thuộc d có hồnh độ dương Câu (3điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy tam giác cạnh a , khoảng cách từ tâm tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) a a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) b Tính thể tích khối lăng trụ Câu (2điểm) Cho hai số không âm x, y thỏa mãn điều kiện: x  y  xy  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức F  ( x  y)3  ( x  y ) -HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên giám thị Chữ kí DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Câu Nội dung Ý Điểm 4,0 Câu 1 Tập xác định hàm số: D  ฀ \ 2 Ta có y '  5 ( x  2) Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình 5  5 ( x  2) x   ( x  2)    x  + x   y  phương trình tiếp tuyến là: y  5 x  22 0, 0, 0, + x   y  3 phương trình tiếp tuyến là: y  5 x  0, Đường thẳng y  m( x  2)  cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B 2x   m( x  2)  có hai nghiệm phân biệt x 2  mx  mx  m   (*) có hai nghiệm phân biệt khác m     '  4m  m(4m  5)   m  4m  8m  4m    0,5 0,5 Giả sử A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) x1 , x2 hai nghiệm (*) Khi y1  mx1  2m  2; y2  mx2  2m  Ta có AB  ( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( x2  x1 ) (m  1)  ( x2  x1 )  x1 x2  (m  1) 4(4m  5)  20(m  1)  , theo giả thiết ta có phương trình :  16  ( m  1)   m m  m  20(m  1)  40    m 1 m  m  2m   Vậy với m  AB  40 Câu 0,5 0,5 6.0 Phương trình cho tương đương với  345cos x  2sin x   5cos x cosx=2 (L)   x    k2  2cos x  5cosx     cosx=  32sin x  Ta có phương trình cho có nghiệm x   0; 2  x  ; x  DeThiMau.vn 0,5 1,0 5 0,5 Đk x  Phương trình cho tương đương với x  10  x   x  10  x  x  20  x  (*) 1,0 Vì x  nên  x  7 ( L) x  (*)  x  4x  21    Vậy nghiệm phương trình là: x  Phương trình cho tương đương với 2x  x    x   x  2x  x     2x  x     log x  2x  x    x   x  2x  x      2x  x   x log x  2x  x   x  x      x    x   x  4           x   x  x      2x  x  (2  x)   x  x         Câu 1,0 1,0 1,0 2,0 a   log y log y   a Đặt  (a, b  0)   b  log x  log x  b  Hệ cho trở thành 3a   b  3b   a 0,5 Trừ vế với vế ta phương trình: (a  b)(a  b  3)  a  b  a   b 0,5 b  b  4 ( L) + Với a  b Ta có b  3b     Tìm nghiệm ( x; y )  (25;81) + Với a   b Ta có b  3b   vô nghiệm Câu DeThiMau.vn 0,5 0,5 3.0 + Đường tròn ( x  1)2  ( y  3)2  có tâm I (1;3) bán kính R  2 + A thuộc d nên A( x;  x) + Ta có IA2   ( x  1)2  (1  x)2   ( x  1)  0,5 0,5 x    x  3 ( L) Vậy A(1;1)  C (3;5) 0,5 + Đường thẳng BD qua I (1;3) vng góc với IA nên nhận   IA  (2; 2) // u (1; 1) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình: x y40 + Tọa độ giao điểm D, C thỏa mãn phương trình: 0,5 x  ( x  1)  ( x  1)   ( x  1)     x  3 0,5 + x 1 y  + x  3  y  Vậy C (1;5)  D(3;1) C (3;1)  D(1;5) 0,5 Câu 3,0 C' A' B' H' H C A O I B a Xác định khoảng cách tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng a (A’BC) AH’  DeThiMau.vn 1,5 b + Tính SABC  a2 + Tính đường cao AA’ Cách 1: 0,5 1 1 4  2   2 2 2 AH ' AI AA ' AA ' a 3a a  AA '  0,5 Cách 2: ( Phương pháp thể tích ) Gọi AA '  h h a2 VA ' ABC  (1) 1 a BC A ' I VA A ' BC  AH ' S A ' BC  32  Từ (1) (2) ta có: ( Do A ' BC cân A’) 2 3a a h  12 (2) h a 2 3a  a h  12 a 3a  S ABC AA '  16 h + VABC A ' B 'C ' Câu S  x  y ( S , P  0) điều kiện S  P P  xy  0,5 2,0 Đặt  0,5 Theo giả thiết ta có S  P   P  S  Tìm điều kiện S   3;  0,5 Xét F  S  ( S  P) với S   3;  F '  3S2  2S  với S   3;   S3  S2  Ta có: + Fmin  F ( 3)  3  S   P   ( x; y )  ( 3;0), (0; 3) + Fm ax  F (2)  S   P   ( x; y )  (1;1) Mọi lời giải xem xét cho điểm tương ứng HẾT  DeThiMau.vn 0,5 0,5 ... cân A’) 2 3a a h  12 (2) h a 2 3a  a h  12 a 3a  S ABC AA '  16 h + VABC A ' B 'C ' Câu S  x  y ( S , P  0) điều kiện S  P P  xy  0,5 2,0 Đặt  0,5 Theo giả thi? ??t ta có S  P... x  5cosx     cosx=  32sin x  Ta có phương trình cho có nghiệm x   0; 2  x  ; x  DeThiMau.vn 0,5 1,0 5 0,5 Đk x  Phương trình cho tương đương với x  10  x   x  10  x  x... có b  3b     Tìm nghiệm ( x; y )  (25;81) + Với a   b Ta có b  3b   vô nghiệm Câu DeThiMau.vn 0,5 0,5 3.0 + Đường tròn ( x  1)2  ( y  3)2  có tâm I (1;3) bán kính R  2 + A thuộc