Đề thi thử đại học – cao đẳng (Trường ĐH Sư phạm Hà Nội) môn: Toán Khối A44908

Đ THI TH Đ I H C SƯ PH M HÀ N I Đ I H C – CAO Đ NG 2011 KHOA TỐN-TIN MƠN: TỐN- KH I A Th i gian làm bài: 180 phút ( khơng k th i gian giao đ ) - PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 ñi m) Câu I ( ñi m) Cho hàm s y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (1) m tham s Kh o sát s bi n thiên v ñ th (C) c a hàm s (1) v i m=2 Tìm tham s m đ đ th c a hàm s (1) có ti p n t o v i ñư ng th ng d: x + y + = góc α , bi t cos α = 26 Câu II (2 ñi m)  2x  log 21  −4 ≤ 4− x 2 Gi i b t phương trình: sin x.(2 cos x + 1) + = cos x + cos x − cos x Gi i phương trình: Câu III (1 m) Tính tích phân: I = ∫ (1 + x +1 + 2x ) dx Câu IV(1 m) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân đ nh A, AB = a G i I trung ñi m c a BC, hình chi u vng góc H c a S lên m t ñáy (ABC) th a mãn: IA = −2 IH , góc gi a SC m t ñáy (ABC) b ng 60 Hãy tính th tích kh i chóp S.ABC kho ng cách t trung ñi m K c a SB t i (SAH) Câu V(1 ñi m) Cho x, y, z ba s th c dương thay ñ i th a mãn: x + y + z ≤ xyz Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: x y z + + x + yz y + zx z + xy P= PH N T CH N (3 m): Thí sinh ch ch n làm m t hai ph n ( ph n A ho c ph n B ) A Theo chương trình chu n: Câu VI.a (2 m) Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC bi t A(3;0), ñư ng cao t ñ nh B có phương trình x + y + = , trung n t đ nh C có phương trình: 2x-y-2=0 Vi t phương trình đư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC Trong không gian v i h tr c t a ñ Oxyz, cho ñi m A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy vi t phương trình m t ph ng (P) qua hai m A B, ñ ng th i kho ng cách t C t i m t ph ng (P) b ng Câu VII.a (1 ñi m) 10 ( ) Cho khai tri n: (1 + x ) x + x + B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 ñi m) = a + a1 x + a x + + a14 x 14 Hãy tìm giá tr c a a6 Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho tam giác ABC bi t A(1;-1), B(2;1), di n tích b ng 11 tr ng tâm G thu c ñư ng th ng d: x + y − = Tìm t a đ đ nh C 2.Trong khơng gian v i h tr c Oxyz, cho m t ph ng (P) x + y − z + = ,ñư ng th ng d: x − y −1 z −1 = = −1 −3 G i I giao ñi m c a d (P) Vi t phương trình c a đư ng th ng ∆ n m (P), vng góc v i d cách I m t kho ng b ng Câu VII.b (1 ñi m)  z +i Gi i phương trình:   = i− z - WWW.MATHVN.COM DeThiMau.vn Đ I H C SƯ PH M HÀ N I -ĐÁP ÁN –THANG ĐI M Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2011 MƠN:TỐN, Kh i A PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH Câu I(2ñ) ý N i dung 1(1ñ) Kh o sát hàm s m = Khi m = 2, hàm s tr thành: y = x3 − 3x + a) TXĐ: R b) SBT •Gi i h n: lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ Đi m 0,25 x →+∞ •Chi u bi n thiên: Có y’ = 3x2 − 6x; y’=0 ⇔ x =0, x =2 x +∞ −∞ y’ + − + +∞ y −∞ Hàm s ĐB kho ng (−∞ ; 0) (2 ; +∞), ngh ch bi n (0 ; 2) •Hàm s đ t c c đ i t i x = 0, yCĐ = y(0) = 4; y Hàm s ñ t c c ti u t i x = 2, yCT = y(2) = c) Đ th : Qua (-1 ;0) Tâm ñ i x ng:I(1 ; 2) I 0,25 0,25 0,25 -1 x 2(1đ) Tìm m G i k h s góc c a ti p n ⇒ ti p n có véctơ pháp n1 = (k ;−1) d: có véctơ pháp n2 = (1;1)  k1 =  Ta có cos α = ⇔ = ⇔ 12k − 26k + 12 = ⇔  26 k +1 k = n1 n2  Yêu c!u c a tốn th a mãn ⇔ nh t m t hai phương trình: y / = k1 (1) y / = k (2) có nghi m x  có nghi m 3x + 2(1 − 2m) x + − m = ∆/ ≥ ⇔ ⇔ / có nghi m ∆ ≥ 3x + 2(1 − 2m) x + − m =  n1 n2 0,5 k −1 Gv: Tr n Quang Thu n - WWW.MATHVN.COM - DeThiMau.vn Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 0,25 Đ I H C SƯ PH M HÀ N I -1  ≤ − ≥ m m ;  8m − 2m − ≥ ⇔ m ≤ − ho c m ≥ ⇔ ⇔ 0,25 m ≤ − ; m ≥ 4m − m − ≥  II(2ñ) 1(1ñ) Gi i b t phương trình 2x   2x − ≤ log − x ≤ −2(1) log − x − ≥  0,25 ⇔ Bpt ⇔   x x 2 log ≤9 2 ≤ log − x ≤ 3(2)  12 − x   3x −  − x ≥ 16 2x ≤8⇔  Gi i (1): (1) ⇔ ≤ ⇔ ≤x≤ 0,25 4−x  x − 16 ≤  − x 17 x −  − x ≥ 4 2x Gi i (2): (2) ⇔ ≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤x≤ 0,25 17 4− x 9x − ≤  − x  4   16  V"y b t phương trình có t"p nghi m  ;  ∪  ;  0,25 17    2(1ñ) Gi i PT lư ng giác Pt ⇔ sin x(2 cos x + 1) = (cos x − cos x) + (cos x − 1) − (2 cos x + 1) 0,5 ⇔ sin x(2 cos x + 1) = −4 sin x cos x − sin x − (2 cos x + 1) ⇔ (2 cos x + 1)( sin x + sin x + 1) = • sin x + sin x + = ⇔ sin x − cos x = −2 ⇔ sin(2 x − ⇔x=− π π ) = −1 0,25 + kπ 2π   x = + k 2π • cos x + = ⇔  (k ∈ Z )  x = − 2π + k 2π  2π 2π π + k 2π ; x = − + k 2π x = − + kπ V"y phương trình có nghi m: x = 3 0,25 III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân Gv: Tr n Quang Thu n - WWW.MATHVN.COM - DeThiMau.vn Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Đ I H C SƯ PH M HÀ N I -4 x +1 I= ∫ dx + + 2x 0,25 t − 2t dx •Đ t t = + + x ⇒ dt = ⇒ dx = (t − 1)dt x = + 2x Đ i c"n x t •Ta có I = 4 2 2 (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t −  dt = ∫ dt = ∫  t − + − dt 0,5 2 ∫ 22 22 2 t t  t t ( = 2 t2  − 3t + ln t +  2 t = ln − IV (1đ) ) 0,25 Tính th tích kho ng cách S •Ta có IA = −2 IH ⇒ H thu c tia ñ i c a tia IA IA = 2IH BC = AB = 2a ; AI= a ; IH= AH = AI + IH = 0,25 IA a = 2 3a K A B I H C •Ta có HC = AC + AH − AC AH cos 45 ⇒ HC = ∧ a 0,25 ∧ Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC ; ( ABC )) = SCH = 60 SH = HC tan 60 = • VS ABC = a 15 a 15 a 15 1 S ∆ABC SH = (a ) = 3 2 0,25 Gv: Tr n Quang Thu n - WWW.MATHVN.COM - DeThiMau.vn Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Đ I H C SƯ PH M HÀ N I • BI ⊥ AH   ⇒ BI ⊥ ( SAH ) BI ⊥ SH  0,25 1 a d ( K ; ( SAH )) SK = = ⇒ d ( K ; ( SAH )) = d ( B; ( SAH ) = BI = 2 d ( B; ( SAH )) SB Tim giá tr l n nh t c a P Ta có V (1ñ) x y z + + x + xy y + zx z + xy x y z Vì x; y; z > , Áp d ng BĐT Cơsi ta có: P ≤ + + = 2 x yz y zx z xy P= = 0,25  2  + +  yz zx xy   1 1 1   yz + zx + xy   x + y + z    ≤   + + + + + =   y z z x x y   xyz xyz  2   xyz  = ≤   xyz  ≤ D u b ng x y ⇔ x = y = z = V"y MaxP = PH N T CH N: Câu VIa(2ñ) ý N i dung 1(1đ) Vi t phương trình đư ng trịn… KH: d1 : x + y + = 0; d : x − y − = 0,5 0,25 Đi m 0,25 d1 có véctơ pháp n n1 = (1;1) d có véctơ pháp n n2 = (1;1) • AC qua ñi m A( 3;0) có véctơ ch phương n1 = (1;1) ⇒ phương trình AC: x − y − = x − y − = C = AC ∩ d ⇒ T a ñ C nghi m h :  ⇒ C (−1;−4) 2 x − y − = xB + y B ; ) ( M trung ñi m AB) 2 xB + yB + =  Ta có B thu c d1 M thu c d nên ta có:  ⇒ B(−1;0) yB  x B + − − = • G i B( x B ; y B ) ⇒ M ( 0,25 • G i phương trình đư ng trịn qua A, B, C có d ng: x + y + 2ax + 2by + c = Thay t a ñ ba ñi m A, B, C vào pt ñư ng trịn ta có: Gv: Tr n Quang Thu n - WWW.MATHVN.COM - DeThiMau.vn Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Đ I H C SƯ PH M HÀ N I -0,5 6a + c = −9  a = −1   ⇔ b = ⇒ Pt đư ng trịn qua A, B, C là:  − a + c = −1 c = −3 − 2a − 8b + c = −17   x + y − x + y − = Tâm I(1;-2) bán kính R = 2 2(1đ) Vi t phương trình m t ph ng (P) •G i n = (a; b; c) ≠ O véctơ pháp n c a (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 0,25 Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = 3⇔ 2a + c 2 a + ( a − 2c ) + c = ⇔ 2a − 16ac + 14c = 0,5 a = c ⇔  a = 7c •TH1: a = c ta ch n a = c = ⇒ Pt c a (P): x-y+z+2=0 0,25 TH2: a = 7c ta ch n a =7; c = ⇒Pt c a (P):7x+5y+z+2=0 VII.a (1 đ) Tìm h s c a khai tri n (2 x + 1) + nên 4 (1 + x )10 ( x + x + 1) = (1 + x)14 + (1 + x)12 + (1 + x)10 16 16 14 6 • Trong khai tri n (1 + x ) h s c a x là: C14 • Ta có x + x + = 0,25 12 Trong khai tri n (1 + x ) h s c a x là: C126 10 6 10 Trong khai tri n (1 + x ) h s c a x là: C 6 6 C14 + C12 + C106 = 41748 16 16 1(1đ) Tìm t a đ c a m C x y • G i t a ñ c a ñi m C ( xC ; y C ) ⇒ G (1 + C ; C ) Vì G thu c d 3 x y   ⇒ 31 + C  + C − = ⇒ y C = −3xC + ⇒ C ( xC ;−3xC + 3)   • V"y h s a = VI.b(2đ) 0,5 0,25 0,25 •Đư ng th ng AB qua A có véctơ ch phương AB = (1;2) Gv: Tr n Quang Thu n - WWW.MATHVN.COM - DeThiMau.vn Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Đ I H C SƯ PH M HÀ N I -⇒ ptAB : x − y − = xC + 3xC − − 11 11 11 AB.d (C ; AB ) = ⇔ d (C ; AB) = ⇔ = 2 5  xC = −1 ⇔ xC − = 11 ⇔   xC = 17  • S ∆ABC = • TH1: xC = −1 ⇒ C (−1;6) 17 17 36 ⇒ C ( ;− ) TH2: xC = 5 2(1đ) Vi t phương trình c a đư ng th ng 0,5 0,25 • (P) có véc tơ pháp n n( P ) = (1;1;−1) d có véc tơ ch phương u = (1;−1;−3) I = d ∩ ( P) ⇒ I (1;2;4) 0,25 [ ] • ∆ ⊂ ( P); ∆ ⊥ d ⇒ ∆ có véc tơ ch phương u ∆ = n( P ) ; u = (−4;2;−2) = 2(−2;1;−1) • G i H hình chi u c a I ∆ ⇒ H ∈ mp (Q) qua I vng góc ∆ Phương trình (Q): − 2( x − 1) + ( y − 2) − ( z − 4) = ⇔ −2 x + y − z + = G i d1 = ( P) ∩ (Q) ⇒ d1 có vécto ch phương x =  n( P ) ; n( Q ) = (0;3;3) = 3(0;1;1) d1 qua I ⇒ ptd1 :  y = + t z = + t  [ ] Ta có H ∈ d1 ⇒ H (1;2 + t ;4 + t ) ⇒ IH = (0; t ; t ) 0,5 t = • IH = ⇔ 2t = ⇔  t = −3 x −1 y − z − = = −1 −2 x −1 y +1 z −1 = = TH2: t = −3 ⇒ H (1;−1;1) ⇒ pt∆ : −2 −1 Gi i phương trình t p s ph c ĐK: z ≠ i • TH1: t = ⇒ H (1;5;7) ⇒ pt∆ : VII.b 1đ •Đ t w= 0,25 z+i ta có phương trình: w = ⇔ ( w − 1)( w + w + 1) = i−z 0,5 Gv: Tr n Quang Thu n - WWW.MATHVN.COM - DeThiMau.vn Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Đ I H C SƯ PH M HÀ N I - w =  w = −1+ i ⇔ ⇔ w =  w + w + =  w = − − i  z+i • V i w =1⇒ =1⇔ z = i−z z + i −1+ i −1+ i •V i w= = ⇔ (1 + i ) z = − − 3i ⇔ z = − ⇒ i−z 0,5 z + i −1− i −1− i = ⇔ (1 − i ) z = − 3i ⇔ z = ⇒ • V i w= i−z V"y pt có ba nghi m z = 0; z = z = − - Gv: Tr n Quang Thu n - WWW.MATHVN.COM - DeThiMau.vn Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 Đ THI TH Đ I H C SƯ PH M HÀ N I Đ I H C – CAO Đ NG 2011 KHOA TỐN-TIN MƠN: TỐN- KH I A Th i gian làm bài: 180 phút ( không k th i gian giao ñ ) - A PH N CHUNG CHO M I THÍ SINH Câu I (2 m) Kh o sát v ñ th hàm s y = x4 – 4x2 + Tìm m đ phương trình x − x + = log m có nghi m Câu II (2 ñi m) Gi i b t phương trình: ( x ) ( −1 + ) x +1 − x+ ≤0 Gi i phương trình: x − ( x + 2) x − = x − Câu III (2 ñi m) e x −1 + tan( x − 1) − 1 Tính gi i h n sau: lim x →1 x −1 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình thoi , ∠BAD = α Hai m t bên (SAB) (SAD) vng góc v i m t đáy, hai m t bên cịn l i h p v i đáy m t góc β C nh SA = a Tính di n tích xung quanh th tích kh i chóp S.ABCD Câu IV (1 ñi m) Cho tam giác ABC v i c nh a, b, c Ch ng minh r ng: a + b3 + c + 3abc ≥ a (b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) B PH N T CH N: M i thí sinh ch ch n câu Va ho c Vb Câu Va (3 m) Chương trình b n Trong m t ph ng t a ñ Oxy cho ñư ng th ng ∆ : x + y − = hai ñi m A(1; 0), B(3; - 4) Hãy tìm đư ng th ng ∆ m t ñi m M cho MA + 3MB nh nh t x = t x = 1− t   Trong không gian Oxyz cho hai ñư ng th ng: d1 :  y = 2t d :  y = + 3t  z = −2 + t z = 1− t   L p phương trình đư ng th ng ñi qua M(1; 0; 1) c t c d1 d2 Tìm s ph c z th a mãn: z + z = Câu Vb (3 m) Chương trình nâng cao Trong m t ph ng t a ñ cho hai đư ng trịn (C1): x2 + y2 = 13 (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 c t t i A(2; 3) Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua A c t (C1), (C2) theo hai dây cung có đ dài b ng x = t x = 1− t   Trong khơng gian Oxyz cho hai đư ng th ng: d1 :  y = 2t d :  y = + 3t  z = −2 + t z = 1− t   L p phương trình m t c u có đư ng kính đo n vng góc chung c a d1 d2 Trong s ph c z th a mãn ñi!u ki n z + + 2i = , tìm s ph c z có modun nh nh t - WWW.MATHVN.COM DeThiMau.vn Đ#I H$C SƯ PH#M HÀ N&I -ĐÁP ÁN –THANG ĐI M Đ THI TH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2011 MƠN:TỐN, Kh i A Câu ý N i dung Đi m 1 TXĐ D = ℝ Gi i h n : lim y = +∞ I x →±∞ S' bi n thiên : y’ = 4x3 - 8x y’ = ⇔ x = 0, x = ± 025 B ng bi n thiên 025 x y’ y − −∞ +∞ - 0 + +∞ - + +∞ -1 -1 ( )( Hàm s ñ ng bi n kho ng − 2; , 025 ) 2; +∞ ngh ch bi n kho ng ( −∞; − ) , ( 0; ) Hàm s ñ t c'c ñ i t i x = 0, yCD = Hàm s ñ t c'c ti u t i x = ± , yCT= -1 Đ th 025 Đ th hàm s y = x − x + S nghi m c a phương trình x − x + = log m b ng s giao ñi m c a ñ th hàm s y = x − x + ñư ng th ng y = log2m V y phương trình có nghi m ch( log2m = ho c < log m < hay m = ho c 2