Chuyên đề: Hệ thức Vi ét44606

Chuyên đề: hệ Thức vi ét Các kiến thức cần nhớ 1) Định lí Vi ét: Cho phương trình ax2 + bx + c = (a≠0) NÕu ph­¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1; x2 th×: b   x1  x   a   x x  c  a  L­u ý: Khi ®ã ta cịng cã: x1  x  a 2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai: c - Nếu a + b + c = phương trình cã nghiÖm x1  1; x  a c - NÕu a – b + c = th× phương trình có nghiệm x1 1; x a 3) Tìm hai số biết tổng tÝch: Hai sè x; y cã: x + y = S; x.y = P hai số x; y nghiệm phương trình: X2 SX + P = Điều kiện S2 4P Bài tập Dạng thứ nhất: Lập phương trình biết hai nghiệm: Bài 1: a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9 d) x1=0,1; x2=0,2 e) x1  3; x  f) x1  5; x   1 g) x1  ; x   h) x1  2 ; x  i) x1  ; x  0,9 4 3 j) x1   2; x   k) x1   2; x  3 l) x1   6; x   m) x1   2; x   2 1 1 n) x1  ; x2  o) x1  ; x2  2 2 10  72 10  72 p) x1   5; x   q) x1   11; x   11 r) x1   5; x   s) x1  4; x   t) x1   ; x   u) x1  1,9; x 5,1 Bài 2: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phương trình: 2x 7x Không giải phương trình, hÃy lập phương trình bậc hai có nghiệm là: DeThiMau.vn a) 3x1 vµ 3x2 b) -2x1 vµ -2x2 1 vµ x12 x 22 x 1 x 1 g) vµ x2 x1 1 j) vµ x2  x1  x2 x vµ x1 x2 x1 x2 h) vµ x2  x1  d) e) 1 vµ x1 x2 x 1 x 1 f) vµ x1 x2 1 i) x1  vµ x  x2 x1 c) Bi 3: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phương trình: x px Không giải phương trình, hÃy lập phương trình bậc hai có nghiệm là: 1 a) -x1 vµ -x2 b) 4x1 vµ 4x2 c) x1 vµ x 3 x x x 2 x 2 1 d) vµ e) vµ f) vµ x1 x2 x1 x2 x1 x2  x1  x  x1 x2 1 g) vµ h) vµ i) x1  vµ x  x2 x1 x2 1 x1  x2 x1 1 j) x12 vµ x 2 k) x1  vµ x  l) x12x2 vµ x1x22 x2 x1 Bài 4: Gọi p; q hai nghiệm phương tr×nh 3x  7x   Không giải phương trình p q HÃy lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là: q p Bài 5: Tương tự: a) x  4x   b) x  5x   c) 2x  6x   Bµi 6: a) Chøng minh r»ng nÕu a1; a2 lµ hai nghiƯm cđa phương trình: x px , b1; b2 hai nghiệm phương trình: x  qx   th×:  a1  b1  a  b2  a1  b1  a  b2   q  p2 b) Chøng minh r»ng nÕu tÝch mét nghiÖm cña pt: x  ax   với mộ nghiệm pt x bx nghiệm pt thì: 1   2 a 2b2 a b2 c) Cho pt x  px  q  Chøng minh r»ng nÕu 2p  9q  pt có hai nghiệm nghiệm gấp đôi nghiệm Dạng thứ hai: Tìm tổng tích nghiệm: Bài 1: Cho phương trình: x 5x   Gäi x1; x2 lµ hai nghiệm phương trình không giải phương trình hÃy tÝnh: a) x12  x 2 b) x13  x 23 c) x1  x d) x12  x 2 DeThiMau.vn 1  x1 x 1 x  x2  i)  j)  x1  x  x2 x1 x x m) x12 x  x1x 2 n)  x x1 e) x13  x 23 f) x  x2  1 h)   2 x1 x2 x1 x 1  x1  x k) x1   x  l)  x1 x2 2x1 2x g) Bµi 2: T­¬ng tù: 2x  5x   ; 3x  4x   ; 3x  2x   Bµi 3: Cho phương trình: x 4x Không giải phương trình hÃy tính: a) Tổng bình phương nghiệm b) Tổng nghịch đảo nghiệm c) Tổng lập phương nghiệm d) Bình phương tổng nghiệm e) Hiệu nghiệm f) Hiệu bình phương nghiệm Bài 4: Cho pt: x 3x   cã hai nghiÖm x1; x2 Không giải pt hÃy tính: 6x12 10x1x  6x 2 A 5x1x 23  5x13 x Dạng thứ ba: Tìm hai số biết tổng tích: Bài 1: a) Tìm hai số biết tỉng cđa chóng b»ng 27, tÝch cđa chóng b»ng 180 b) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 1, tÝch cđa chóng b»ng c) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 33 , tÝch cđa chóng b»ng 270 d) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 4, tÝch cđa chóng b»ng 50 e) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng , tích chúng -315 Bài Tìm hai sè u, v biÕt: a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105 c) u + v = 2; uv = d) u + v = 42; uv = 441 e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40 g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24 i) u + v = 4; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24 2 k) u + v = 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180 2 m) u + v = 5; uv = -2 n) u2 + v2 = 25; uv = -12 Dạng thứ bốn: Tính giá trị tham số biết mối liên hệ nghiƯm: Bµi 1: Cho pt x  6x  m Tính giá trị m biết pt cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶: 1 1 a) x12  x 2  36 b)  3 c)   d) x1  x  x1 x x1 x Bµi 2: Cho pt x  8x m Tìm giá trị m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả c¸c hƯ thøc sau: a) x12  x 2  50 b) x1  7x c) 2x1  3x  26 d) x1  x  Bµi 3: Cho pt x  (m  3)x  2(m  2)  T×m m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x Khi tìm cụ thể hai nghiệm pt? Bài 4: a) Tìm k để pt: x  (k  2)x  k   cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x12  x 2 10 DeThiMau.vn b) Tìm m để pt: x  2(m  2)x   cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x12  x 2 18 c) Tìm k để pt: (k  1)x  2(k  2)x  k   cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ (4x1  1)(4x  1)  18 d) T×m m ®Ó pt: 5x  mx  28  cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ 5x1  2x  Bµi Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm kh¸c cđa pt: mx  (m  1)x  3(m  1)  Chøng minh: 1   x1 x D¹ng thø năm: Các toán tổng hợp Bài 1: Cho pt: x  (2m  3)x  m  3m a) Giải pt m = b) Định m để pt có nghiệm Khi pt nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? c) CMR pt có hai nghiệm phân biệt với m d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để x12 x 2 e) Định m để pt có nghiƯm nµy b»ng ba nghiƯm kia? Bµi 2: Cho pt x  2(m  1)x  m  a) CMR pt có nghiệm phân biệt x1; x2 víi mäi m 1 b) Víi m ≠ H·y lËp pt Èn y cã nghiƯm lµ: y1  x1  vµ y  x x2 x1 c) Định m để pt có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x1  2x  Bµi 3: Cho pt x  2(k  3)x  2k   a) Gi¶i pt k b) Tìm k để pt có nghiệm 3, pt nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chứng minh pt cã nghiƯm x1; x2 víi mäi k d) CMR tổng tích nghiệm có liên hƯ kh«ng phơ thc k? 1   e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 x x1x f) Tìm k để tổng bình phương nghiệm có giá trị nhỏ nhÊt Bµi 4: Cho pt (m  1)x  2mx  m   a) CMR pt có nghiệm phân biệt m b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ hÃy tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiƯm cđa pt kh«ng phơ thc m? x x d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 tho¶    x x1 Bµi 5: Cho pt x  2(m  1)x 2m 10 a) Giải biện luận pt b) Tim giá trị m ®Ĩ pt cã mét nghiƯm b»ng m ®ã h·y tìm nghiệm lại? DeThiMau.vn c) Tìm m cho hai nghiƯm x1; x2 cđa pt tho¶ 10x1x  x12 x 2 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó? Bài 6: Cho pt x  2mx  2m   a) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 với m b) Đặt A 2(x12 x 2 )  5x1x +) Chøng minh A  8m  18m  +) T×m m cho A = 27 c) Tìm m để pt có nghiệm hai nghiệm Khi hÃy tìm hai nghiệm ấy? Bài 7: Cho pt x  2(m  1)x  m   a) Gi¶i pt m = -5 b) CMR pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương e) CMR biÓu thøc A  x1 (1  x )  x (1  x1 ) kh«ng phơ thc m f) Tính giá trị biểu thức x1 x Bµi 8: Cho pt x  2(m  2)x  m   a) Giải pt m b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm âm? d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để x1 (1  2x )  x (1  2x1 )  m Bµi 9: Cho pt x  2(m  1)x  m  4m (x ẩn) a) Giải biện luận pt b) Tìm m để pt nhận nghiệm Với giá trị m vừa tìm hÃy tìm nghiệm lại pt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Bài 10: Cho pt (m  4)x  2mx  m   a) b) c) d) e) Bµi 11: a) b) c) Tìm m để pt có nghiệm x Tìm nghiệm Tìm m để pt cã nghiÖm TÝnh x12  x 2 theo m TÝnh x13  x 23 theo m T×m tỉng nghịch đảo nghiệm, tổng bỉnh phương nghịch đảo nghiÖm Pt x  2px   có nghiệm x1 Tìm p tính nghiÖm Pt x  5x  q  có nghiệm Tìm q tính nghiƯm BiÕt hiƯu hai nghiƯm cđa pt x  7x  q  b»ng 11 T×m q hai nghiệm d) Tìm q hai nghiệm cña pt x  qx  50  , biÕt pt cã hai nghiƯm vµ nghiƯm nµy gÊp đôi nghiệm DeThiMau.vn e) Tìm giá trị m ®Ó pt x  2(m  2)x  2m   cã nghiÖm x1 = hÃy tìm nghiệm lại f) Định giá trị k để pt x k(k 1)x  5k  20  cã nghiÖm x = -5 T×m nghiƯm g) Cho pt: 5x mx 28 Định m để pt cã hai nghiƯm tho¶ 5x1  2x  h) Tìm tất giá trị a ®Ó pt x  ax  a   cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n x12  x 2  10 Bµi 12: Cho pt (m  1)x  2(m  1)x  m a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để pt cã mét nghiƯm b»ng T×m nghiƯm c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 tho¶ 1 1   ;   1; x12  x 2  x1 x x1 x d) Xác định m ®Ĩ pt cã hai nghiƯm tho¶ 3(x1  x )  5x1x Bµi 13: Cho pt x  2(m  1)x  2m  10  a) Tìm m để pt có nghiệm b) Cho P  6x1x  x12  x 2 ( x1; x2 hai nghiệm pt) Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm GTNN Bài 14: Tìm giá trị m; n để pt x  2(m  1)x  n   cã hai nghiÖm x1  1; x ? Bài 15: Tìm giá rị cđa m ®Ĩ pt x  mx  m   cã nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n mét hai ®iỊu: a) x1x  2(x1  x )  19  b) x1; x2 âm Bài 16: Cho pt x 2(m  1)x  m   a) CMR pt có nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Bµi 17: Cho pt x  mx  a) Giải biện luận pt Từ hÃy cho biết với giá trị m pt có hai nghiệm? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm dương c) Với giá trị m pt nhạn nghiệm Tìm nghiệm lại Bài 18: Cho pt x  8x  m   a) Xác định m để pt có nghiệm b) Với giá trị m pt có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tính nghiệm trường hợp nµy Bµi 19: Cho pt x  mx  m   a) Chøng tá r»ng pt cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m TÝnh nghiƯm kÐp (nếu có) pt giá trị tương ứng m DeThiMau.vn b) Đặt A x12 x 2  6x1x +) Chøng minh A  m 8m +) Tính giá trị m để A = +) Tìm A Bµi 20: Cho pt (m  1)x  2(m 1)x m a) Định m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để pt có hai nghiệm âm? dương? trái dấu? Bài 21: Cho pt x (2m  3)x  m  3m  a) CMR pt lu«n cã hai nghiƯm víi mäi m b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mÃn điều: +) x12 x 2  +) x12 x  x1x 2  4 Bµi 22: Cho pt kx  18x a) Với giá trị k pt có nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Với giá trị k pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm k để pt có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x12 x  x1x 2  Bµi 23: Cho pt x  10x  m  20  a) Gi¶i pt m = 4? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương Bài 24: Cho pt x  2(m  2)x  m a) Tìm giá trị cđa m ®Ĩ pt cã nghiƯm b) Gäi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để: x1 (1  2x )  x (1  2x1 )  m Bµi 25: Cho pt 2x 6x m a) Với giá trị m pt có nghiệm b) Với giá trị m pt có nghiệm dương x x c) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa pt tìm m để x x1 Bµi 26: Cho pt x  2(a  1)x  2(a  5)  a) Gi¶i pt a = -2 b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm a để pt cã hai nghiƯm tho¶ x1  2x  d) Tìm a để pt có hai nghiệm dương Bài 27: Cho pt (m  1)x  2(m  1)x m a) Xác định m ®Ĩ pt cã nghiƯm 1   b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả x1 x c) Xác định m để pt có nghiệm hai nghiệm Bài 28: Xác ®Þnh m ®Ĩ pt x  (5  m)x  m   cã hai nghiƯm tho¶ mÃn điều kiện sau: DeThiMau.vn a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b) Có hai nghiệm thoả 2x1 3x 13 Bài 29: Tìm giá trị m để x12 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất: a) x  (2m  1)x  m   b) x  2(m  2)x  (2m  7)  Bµi 30: Cho pt x  2(m  1)x  m   a) Giải pt m = b) Với giá trị m pt nhận x = nghiệm Tìm nghiệm lại c) Chứng minh pt có nghiệm với m d) Tìm m để pt cã nghiƯm tho¶ x12  x 2  e) Tìm giá trị m để pt có hai nghiện dương? hai nghiệm âm? Bài 31: Cho pt x  2(m  1)x  2m  a) CMR pt có hai nghiệm phân biƯt víi mäi m b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa pt T×m GTLN cđa Y  x12  x 2 c) Tìm m để Y = 4; Y = Bµi 32: Cho pt 5x  mx  28  a) CMR pt lu«n cã hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm dương c) Tìm m để pt có hai nghiĐm tho¶: 1 142   +) +) x12  x 2  x1 x 25 d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x1  2x  Bµi 33: Cho pt 2x  (2m  1)x  m  a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1 4x 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dương d) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m DeThiMau.vn ... nghiƯm ph©n biƯt m ≠ b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ hÃy tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm cđa pt kh«ng phơ thc m? x x d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả    x x1...  b) x1; x2 ®Ịu ©m Bµi 16: Cho pt x  2(m  1)x  m   a) CMR pt có nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái... biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1 4x 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dương d) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m DeThiMau.vn