Chuyên đề: hệ Thức vi ét Các kiến thức cần nhớ 1) Định lí Vi ét: Cho phương trình ax2 + bx + c = (a≠0) NÕu ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1; x2 th×: b x1 x a x x c a Lu ý: Khi ®ã ta cịng cã: x1 x a 2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai: c - Nếu a + b + c = phương trình cã nghiÖm x1 1; x a c - NÕu a – b + c = th× phương trình có nghiệm x1 1; x a 3) Tìm hai số biết tổng tÝch: Hai sè x; y cã: x + y = S; x.y = P hai số x; y nghiệm phương trình: X2 SX + P = Điều kiện S2 4P Bài tập Dạng thứ nhất: Lập phương trình biết hai nghiệm: Bài 1: a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4; x2=-9 d) x1=0,1; x2=0,2 e) x1 3; x f) x1 5; x 1 g) x1 ; x h) x1 2 ; x i) x1 ; x 0,9 4 3 j) x1 2; x k) x1 2; x 3 l) x1 6; x m) x1 2; x 2 1 1 n) x1 ; x2 o) x1 ; x2 2 2 10 72 10 72 p) x1 5; x q) x1 11; x 11 r) x1 5; x s) x1 4; x t) x1 ; x u) x1 1,9; x 5,1 Bài 2: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phương trình: 2x 7x Không giải phương trình, hÃy lập phương trình bậc hai có nghiệm là: DeThiMau.vn a) 3x1 vµ 3x2 b) -2x1 vµ -2x2 1 vµ x12 x 22 x 1 x 1 g) vµ x2 x1 1 j) vµ x2 x1 x2 x vµ x1 x2 x1 x2 h) vµ x2 x1 d) e) 1 vµ x1 x2 x 1 x 1 f) vµ x1 x2 1 i) x1 vµ x x2 x1 c) Bi 3: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phương trình: x px Không giải phương trình, hÃy lập phương trình bậc hai có nghiệm là: 1 a) -x1 vµ -x2 b) 4x1 vµ 4x2 c) x1 vµ x 3 x x x 2 x 2 1 d) vµ e) vµ f) vµ x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x x1 x2 1 g) vµ h) vµ i) x1 vµ x x2 x1 x2 1 x1 x2 x1 1 j) x12 vµ x 2 k) x1 vµ x l) x12x2 vµ x1x22 x2 x1 Bài 4: Gọi p; q hai nghiệm phương tr×nh 3x 7x Không giải phương trình p q HÃy lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là: q p Bài 5: Tương tự: a) x 4x b) x 5x c) 2x 6x Bµi 6: a) Chøng minh r»ng nÕu a1; a2 lµ hai nghiƯm cđa phương trình: x px , b1; b2 hai nghiệm phương trình: x qx th×: a1 b1 a b2 a1 b1 a b2 q p2 b) Chøng minh r»ng nÕu tÝch mét nghiÖm cña pt: x ax với mộ nghiệm pt x bx nghiệm pt thì: 1 2 a 2b2 a b2 c) Cho pt x px q Chøng minh r»ng nÕu 2p 9q pt có hai nghiệm nghiệm gấp đôi nghiệm Dạng thứ hai: Tìm tổng tích nghiệm: Bài 1: Cho phương trình: x 5x Gäi x1; x2 lµ hai nghiệm phương trình không giải phương trình hÃy tÝnh: a) x12 x 2 b) x13 x 23 c) x1 x d) x12 x 2 DeThiMau.vn 1 x1 x 1 x x2 i) j) x1 x x2 x1 x x m) x12 x x1x 2 n) x x1 e) x13 x 23 f) x x2 1 h) 2 x1 x2 x1 x 1 x1 x k) x1 x l) x1 x2 2x1 2x g) Bµi 2: T¬ng tù: 2x 5x ; 3x 4x ; 3x 2x Bµi 3: Cho phương trình: x 4x Không giải phương trình hÃy tính: a) Tổng bình phương nghiệm b) Tổng nghịch đảo nghiệm c) Tổng lập phương nghiệm d) Bình phương tổng nghiệm e) Hiệu nghiệm f) Hiệu bình phương nghiệm Bài 4: Cho pt: x 3x cã hai nghiÖm x1; x2 Không giải pt hÃy tính: 6x12 10x1x 6x 2 A 5x1x 23 5x13 x Dạng thứ ba: Tìm hai số biết tổng tích: Bài 1: a) Tìm hai số biết tỉng cđa chóng b»ng 27, tÝch cđa chóng b»ng 180 b) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 1, tÝch cđa chóng b»ng c) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 33 , tÝch cđa chóng b»ng 270 d) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 4, tÝch cđa chóng b»ng 50 e) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng , tích chúng -315 Bài Tìm hai sè u, v biÕt: a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105 c) u + v = 2; uv = d) u + v = 42; uv = 441 e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40 g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24 i) u + v = 4; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24 2 k) u + v = 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180 2 m) u + v = 5; uv = -2 n) u2 + v2 = 25; uv = -12 Dạng thứ bốn: Tính giá trị tham số biết mối liên hệ nghiƯm: Bµi 1: Cho pt x 6x m Tính giá trị m biết pt cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶: 1 1 a) x12 x 2 36 b) 3 c) d) x1 x x1 x x1 x Bµi 2: Cho pt x 8x m Tìm giá trị m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả c¸c hƯ thøc sau: a) x12 x 2 50 b) x1 7x c) 2x1 3x 26 d) x1 x Bµi 3: Cho pt x (m 3)x 2(m 2) T×m m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x Khi tìm cụ thể hai nghiệm pt? Bài 4: a) Tìm k để pt: x (k 2)x k cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x12 x 2 10 DeThiMau.vn b) Tìm m để pt: x 2(m 2)x cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x12 x 2 18 c) Tìm k để pt: (k 1)x 2(k 2)x k cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ (4x1 1)(4x 1) 18 d) T×m m ®Ó pt: 5x mx 28 cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ 5x1 2x Bµi Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm kh¸c cđa pt: mx (m 1)x 3(m 1) Chøng minh: 1 x1 x D¹ng thø năm: Các toán tổng hợp Bài 1: Cho pt: x (2m 3)x m 3m a) Giải pt m = b) Định m để pt có nghiệm Khi pt nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? c) CMR pt có hai nghiệm phân biệt với m d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để x12 x 2 e) Định m để pt có nghiƯm nµy b»ng ba nghiƯm kia? Bµi 2: Cho pt x 2(m 1)x m a) CMR pt có nghiệm phân biệt x1; x2 víi mäi m 1 b) Víi m ≠ H·y lËp pt Èn y cã nghiƯm lµ: y1 x1 vµ y x x2 x1 c) Định m để pt có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x1 2x Bµi 3: Cho pt x 2(k 3)x 2k a) Gi¶i pt k b) Tìm k để pt có nghiệm 3, pt nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chứng minh pt cã nghiƯm x1; x2 víi mäi k d) CMR tổng tích nghiệm có liên hƯ kh«ng phơ thc k? 1 e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 x x1x f) Tìm k để tổng bình phương nghiệm có giá trị nhỏ nhÊt Bµi 4: Cho pt (m 1)x 2mx m a) CMR pt có nghiệm phân biệt m b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ hÃy tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiƯm cđa pt kh«ng phơ thc m? x x d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 tho¶ x x1 Bµi 5: Cho pt x 2(m 1)x 2m 10 a) Giải biện luận pt b) Tim giá trị m ®Ĩ pt cã mét nghiƯm b»ng m ®ã h·y tìm nghiệm lại? DeThiMau.vn c) Tìm m cho hai nghiƯm x1; x2 cđa pt tho¶ 10x1x x12 x 2 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó? Bài 6: Cho pt x 2mx 2m a) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 với m b) Đặt A 2(x12 x 2 ) 5x1x +) Chøng minh A 8m 18m +) T×m m cho A = 27 c) Tìm m để pt có nghiệm hai nghiệm Khi hÃy tìm hai nghiệm ấy? Bài 7: Cho pt x 2(m 1)x m a) Gi¶i pt m = -5 b) CMR pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương e) CMR biÓu thøc A x1 (1 x ) x (1 x1 ) kh«ng phơ thc m f) Tính giá trị biểu thức x1 x Bµi 8: Cho pt x 2(m 2)x m a) Giải pt m b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm âm? d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để x1 (1 2x ) x (1 2x1 ) m Bµi 9: Cho pt x 2(m 1)x m 4m (x ẩn) a) Giải biện luận pt b) Tìm m để pt nhận nghiệm Với giá trị m vừa tìm hÃy tìm nghiệm lại pt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Bài 10: Cho pt (m 4)x 2mx m a) b) c) d) e) Bµi 11: a) b) c) Tìm m để pt có nghiệm x Tìm nghiệm Tìm m để pt cã nghiÖm TÝnh x12 x 2 theo m TÝnh x13 x 23 theo m T×m tỉng nghịch đảo nghiệm, tổng bỉnh phương nghịch đảo nghiÖm Pt x 2px có nghiệm x1 Tìm p tính nghiÖm Pt x 5x q có nghiệm Tìm q tính nghiƯm BiÕt hiƯu hai nghiƯm cđa pt x 7x q b»ng 11 T×m q hai nghiệm d) Tìm q hai nghiệm cña pt x qx 50 , biÕt pt cã hai nghiƯm vµ nghiƯm nµy gÊp đôi nghiệm DeThiMau.vn e) Tìm giá trị m ®Ó pt x 2(m 2)x 2m cã nghiÖm x1 = hÃy tìm nghiệm lại f) Định giá trị k để pt x k(k 1)x 5k 20 cã nghiÖm x = -5 T×m nghiƯm g) Cho pt: 5x mx 28 Định m để pt cã hai nghiƯm tho¶ 5x1 2x h) Tìm tất giá trị a ®Ó pt x ax a cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n x12 x 2 10 Bµi 12: Cho pt (m 1)x 2(m 1)x m a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để pt cã mét nghiƯm b»ng T×m nghiƯm c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 tho¶ 1 1 ; 1; x12 x 2 x1 x x1 x d) Xác định m ®Ĩ pt cã hai nghiƯm tho¶ 3(x1 x ) 5x1x Bµi 13: Cho pt x 2(m 1)x 2m 10 a) Tìm m để pt có nghiệm b) Cho P 6x1x x12 x 2 ( x1; x2 hai nghiệm pt) Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm GTNN Bài 14: Tìm giá trị m; n để pt x 2(m 1)x n cã hai nghiÖm x1 1; x ? Bài 15: Tìm giá rị cđa m ®Ĩ pt x mx m cã nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n mét hai ®iỊu: a) x1x 2(x1 x ) 19 b) x1; x2 âm Bài 16: Cho pt x 2(m 1)x m a) CMR pt có nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Bµi 17: Cho pt x mx a) Giải biện luận pt Từ hÃy cho biết với giá trị m pt có hai nghiệm? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm dương c) Với giá trị m pt nhạn nghiệm Tìm nghiệm lại Bài 18: Cho pt x 8x m a) Xác định m để pt có nghiệm b) Với giá trị m pt có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tính nghiệm trường hợp nµy Bµi 19: Cho pt x mx m a) Chøng tá r»ng pt cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m TÝnh nghiƯm kÐp (nếu có) pt giá trị tương ứng m DeThiMau.vn b) Đặt A x12 x 2 6x1x +) Chøng minh A m 8m +) Tính giá trị m để A = +) Tìm A Bµi 20: Cho pt (m 1)x 2(m 1)x m a) Định m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để pt có hai nghiệm âm? dương? trái dấu? Bài 21: Cho pt x (2m 3)x m 3m a) CMR pt lu«n cã hai nghiƯm víi mäi m b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mÃn điều: +) x12 x 2 +) x12 x x1x 2 4 Bµi 22: Cho pt kx 18x a) Với giá trị k pt có nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Với giá trị k pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm k để pt có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x12 x x1x 2 Bµi 23: Cho pt x 10x m 20 a) Gi¶i pt m = 4? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương Bài 24: Cho pt x 2(m 2)x m a) Tìm giá trị cđa m ®Ĩ pt cã nghiƯm b) Gäi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để: x1 (1 2x ) x (1 2x1 ) m Bµi 25: Cho pt 2x 6x m a) Với giá trị m pt có nghiệm b) Với giá trị m pt có nghiệm dương x x c) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa pt tìm m để x x1 Bµi 26: Cho pt x 2(a 1)x 2(a 5) a) Gi¶i pt a = -2 b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm a để pt cã hai nghiƯm tho¶ x1 2x d) Tìm a để pt có hai nghiệm dương Bài 27: Cho pt (m 1)x 2(m 1)x m a) Xác định m ®Ĩ pt cã nghiƯm 1 b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả x1 x c) Xác định m để pt có nghiệm hai nghiệm Bài 28: Xác ®Þnh m ®Ĩ pt x (5 m)x m cã hai nghiƯm tho¶ mÃn điều kiện sau: DeThiMau.vn a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b) Có hai nghiệm thoả 2x1 3x 13 Bài 29: Tìm giá trị m để x12 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất: a) x (2m 1)x m b) x 2(m 2)x (2m 7) Bµi 30: Cho pt x 2(m 1)x m a) Giải pt m = b) Với giá trị m pt nhận x = nghiệm Tìm nghiệm lại c) Chứng minh pt có nghiệm với m d) Tìm m để pt cã nghiƯm tho¶ x12 x 2 e) Tìm giá trị m để pt có hai nghiện dương? hai nghiệm âm? Bài 31: Cho pt x 2(m 1)x 2m a) CMR pt có hai nghiệm phân biƯt víi mäi m b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa pt T×m GTLN cđa Y x12 x 2 c) Tìm m để Y = 4; Y = Bµi 32: Cho pt 5x mx 28 a) CMR pt lu«n cã hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm dương c) Tìm m để pt có hai nghiĐm tho¶: 1 142 +) +) x12 x 2 x1 x 25 d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x1 2x Bµi 33: Cho pt 2x (2m 1)x m a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1 4x 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dương d) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m DeThiMau.vn ... nghiƯm ph©n biƯt m ≠ b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ hÃy tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm cđa pt kh«ng phơ thc m? x x d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x x1... b) x1; x2 ®Ịu ©m Bµi 16: Cho pt x 2(m 1)x m a) CMR pt có nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái... biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1 4x 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dương d) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m DeThiMau.vn