Sở giáo dục đào tạo HảI dơng Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trÃi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phơng trình: x y xy xy 3x 2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có nhÊt mét nghiƯm nguyªn: 4x 4mx 2m 5m C©u II (2.5 ®iĨm): 1) Rót gän biĨu thøc: x2 x A x2 2) Cho tríc sè h÷u tØ m cho 2 x víi 2 x m lµ số vô tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c ®Ĩ: a m2 b m c Câu III (2.0 điểm): 1) Cho đa thøc bËc ba f(x) víi hƯ sè cđa x3 lµ số nguyên dơng biết f(5) f(3) 2010 Chứng minh rằng: f(7) f(1) hợp sè P x 4x x 6x 13 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C lần lợt hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E cho DE song song víi NP Trªn tia AB lÊy ®iĨm K cho DMK NMP Chøng minh r»ng: 1) MD = ME 2) Tø gi¸c MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Câu V (1.0 điểm): Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đờng tròn để chu vi tứ giác ABCD có giá trÞ lín nhÊt -HÕt - DeThiMau.vn Híng dÉn chấm Câu Phần nội dung Điểm x y xy (1) (2) xy 3x y Tõ (2) x Tõ ®ã 3x x , thay vµo (1) ta cã: 0.25 3x 3x x 3 x x x 7x 23x 16 x x = Giải ta đợc 0.25 0.25 16 Tõ x x 1 y 1 ; x2 0.25 16 7 x y 7 0.25 5 4 7 ; ; 7 7 VËy hÖ cã nghiƯm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1); ; 0.25 Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x ' 0.25 m 5m (m 2)(m 3) V× (m - 2) > (m - 3) nªn: x ' m vµ m m 3, mµ m Z m = hc m = Khi m = x ' = x = -1 (tháa m·n) 0.25 Khi m = x ' = x = - 1,5 (lo¹i) VËy m = Đặt a x; b x A A 2 2 ab a b 3 ab A 2ab a b a ab a b a b ab ab ab a b ab A 0.25 (a, b 0) a b 4; a b 2x 0.25 2 0.25 ab 0.25 ab a b 0.25 0.25 b 2ab a b a b a b 0.25 A a b 2x A x 2 0.25 DeThiMau.vn a m b m c (1) Gi¶ sö cã (1) b m c m am (2) 2 Tõ (1), (2) (b ac) m (a m bc) 0.25 a m bc b ac số hữu tỉ Trái với giả thiÕt! NÕu a m bc b ac b abc a m bc bc am b m 3 b a m b a m NÕu b a số hữu tỉ Trái với gi¶ thiÕt! a 0;b Tõ ta tìm đợc c = Ngợc lại a = b = c = (1) ®óng VËy: a = b = c = 3m Theo f(x) có dạng: f(x) = (53 ax3 + bx2 33)a (52 0.25 0.25 0.25 + cx + d với a nguyên dơng 0.25 32)b Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = + + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) hợp số P x 2 12 x 3 0.25 0.25 0.25 22 0.25 Trªn mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh đợc: AB OA x x 3 1 x 2 OA OB AB 12 OB , x 2 2 25 26 x 3 12 22 x 3 0.25 2 26 0.25 Mặt khác ta có: Dấu = xảy A thuộc đoạn OB B thuộc đoạn OA x2 x7 x3 Thư l¹i x = A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc ®o¹n 0.25 DeThiMau.vn M K B C D OB VËy Max P 26 x = E N P A Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN néi tiÕp MAB MNB , MCAP néi tiÕp CAM CPM 0.25 L¹i cã BNM CPM (cïng phơ gãc NMP) CAM BAM 0.25 (1) Do DE // NP mặt khác MA NP MA DE (2) Tõ (1), (2) ADE c©n A MA trung trực DE MD = ME 0.25 M K B C D E N P A Do DE//NP nªn DEK NAB , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: DEK 1800 NMB NAB 1800 NMB 0.25 DeThiMau.vn Theo gi¶ thiÕt DMK NMP DMK DEK 180 Tø gi¸c MDEK néi tiÕp Do MA lµ trung trùc cđa DE MEA MDA MDA MEK MDC MEA 0.25 0.25 0.25 V× MEK MDK MDK MDC DM phân giác góc CDK, kết hợp với AM phân giác DAB M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK 0.25 A' B' B O C A D' D Không tổng quát giả sử:AB AC Gọi B điểm cung ABC AB ' CB ' Trên tia đối BC lấy điểm A’ cho BA’ = BA AB BC CA ' Ta cã: B 'BC B ' AC B 'CA (1) ; B 'CA B 'BA 180 0.25 (2) (3);Tõ (1), (2), (3) B 'BA B 'BA ' Hai tam giác ABB ABB b»ng A 'B ' B ' A Ta cã B ' A B 'C B ' A ' B 'C A 'C = AB + BC ( BA + BC không đổi 'BC B 'BA ' 1800 B 0.25 0.25 B, A, C cố định) Dấu = xảy B trùng với B Hoàn toàn tơng tự gọi D điểm cung ADC ta còng cã AD’ + CD’ AD + CD DÊu “=” x¶y D trïng víi D’ Chu vi tứ giác ABCD lớn B, D điểm cung AC đờng tròn (O) 0.25 DeThiMau.vn Sở giáo dục đào tạo Hng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút đề thức Bài 1: (1,5 điểm) a 2: Cho 1 1 HÃy lập phơng trình bËc hai cã hƯ sè nguyªn nhËn a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) x 16 xy y xy y x a) Giải hệ phơng trình: x b) Tìm m để phơng trình 2x 3x 6x m có nghiệm phân biệt Bài 3: (2,0 điểm) 2 a) Chøng minh r»ng nÕu sè nguyªn k lớn thoả mÃn k k 16 số nguyên tố k chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a p b p c 3p Bài 4: (3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O dây AB không qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB C Chứng minh rằng: a) MB.BD MD.BC b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD LÊy E, F thuéc c¹nh AB; G, H thuéc c¹nh BC; I, J thuéc c¹nh CD; K, M thuéc cạnh DA cho hình - giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ HÕt DeThiMau.vn Híng dÉn chÊm thi Bµi 1: (1,5 ®iĨm) a 2: 1 1 2: 7 a= 2: 1 1 7 1 1 0,5 ® 0,25 ® §Ỉt x a x x x 2x 0,5 ® x 2x VËy ph¬ng tr×nh x 2x nhËn 0,25 ® lµm nghiƯm Bµi 2: (2,5 ®iĨm) x 16 x 16 xy (1) xy y y y xy y x (2) x y x a) ĐK: x, y 2 Giải (2) 6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0,25 ® 0,25 ® 3y 3y 16 y 2 2x 3y x * NÕu Thay vào (1) ta đợc 0,25 đ 3y 23 (phơng trình vô nghiệm) 2y 3x 2y x * Nếu Thay vào (1) ta đợc y y 3 0,25 ® 0,25 ® - Víi y x (thoả mÃn điều kiƯn) - Víi y 3 x 2 (thoả mÃn điều kiện) 0,25 đ Vậy hệ phơng trình cã hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) x 2x y x 1 y x y b) Đặt Phơng trình đà cho trë thµnh: y 1 y 1 m (y 0) (*) 0,25 ® y 5y m (1) DeThiMau.vn Tõ (*) ta thấy, để phơng trình đà cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có 0,25 đ nghiệm dơng phân biệt 4m S 5 P m 0,25 ® m 4 m m 4 m phơng trình có nghiệm phân biệt Vậy với 0,25 đ Bài 3: (2,0 điểm) 2 a) Vì k > suy k 5; k 16 2 - XÐt k 5n (víi n ) k 25n 10n k k không số nguyên tố 2 - XÐt k 5n (víi n ) k 25n 20n k 16 k 16 không số nguyên tố 2 - XÐt k 5n (víi n ) k 25n 30n k 16 k 16 không số nguyên tố 2 - XÐt k 5n (víi n ) k 25n 40n 16 k k không số nguyên tố Do k 5 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® a b c a b c2 a, b, c b) Ta chøng minh: Víi th× (*) 2 2 2 ThËt vËy (*) a b c 2ab 2bc 2ca 3a 3b 3c 0,5 ® (a b)2 (b c)2 (c a)2 (luôn đúng) áp dụng (*) ta có: pa pb pc Suy 3p a b c 3p 0,5 ® p a p b p c 3p (đpcm) Bài 4: (3,0 ®iĨm) DeThiMau.vn N D J I O C A B M a) XÐt MBC vµ MDB cã: BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) BMC BMD 0,5 ® Do MBC MDB đồng dạng MB MD MB.BD MD.BC BD Suy BC b) Gọi (J) đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC BJC MBC hay 180 BJC BCJ cân J CBJ O BJC 180 BJC 90 O MB BJ MBC CBJ 2 Suy 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB c) Kẻ đờng kính MN (O) NB MB Mµ MB lµ tiÕp tuyÕn đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC Chứng minh tơng tù I thuéc AN 0,5 ® Ta cã ANB ADB 2BDM BJC CJ // IN Chøng minh t¬ng tù: CI // JN Do tứ giác CINJ hình bình hành CI = NJ Suy tỉng b¸n kÝnh cđa hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bài 5: (1,0 điểm) 0,5 đ DeThiMau.vn A E F a B b h G c M H g K d f D e J I C Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h số hữu tỉ dơng) Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có số đo là: 0,25 đ (8 2).180O 135O Suy góc hình cạnh là: 180O - 135O = 45O Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông c©n h b d f MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = h b f d a e 2 Ta có AB = CD nên: 0,5 đ (e - a) = h + b - f - d NÕu e - a ≠ th× 2 h bf d ea (điều vô lý số vô tỉ) 0,25 đ Vậy e - a = e = a hay EF = IJ (®pcm) 10 DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH Đề thức KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN NĂM HỌC 2009-2010 Mơn thi:Tốn (chun) Ngày thi:19/06/2009 Thời gian:150 phút Bài 1(1.5điểm) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác.Chứng minh rằng: a b c + + 0 a< b+c ,b< a + c , c < a+b a a+ a 2a < = Nên ta có b + c a + b + c a + b + c a a > Mặt khác b + c a + b + c a a 2a < < (1) a + b + c c + b a + b + c Vậy ta có b b 2b < < (2); Tương tự a + b + c c + a a + b + c c c 2a < < (3) a+ b+ c b+ a a+ b+ c Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh Bài 2: ĐK: x ¹ m, n, p PT cho Û (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = Û 3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1) ' Ta có Δ = (m + n + p ) - 3(mn + mp + np ) = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp-3np = m2+n2+p2 –mn-mp-np = [(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0 Đặt f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np Ta có f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p) ¹ = >m,n,p khơng phải nghiệm pt(1) Vậy PT cho ln có hai nghiệm phân biệt Bài n+ 1- n n+ 1- n = = Ta cã : 2n + 4n2 + 4n + (2n + 1) n + n + ( < n+ 1- n 4n2 + 4n = ) n +1 - n n + n = ỗổ1 ỗ ỗỗố n ữ ữ ÷ ÷ n + 1ø 12 DeThiMau.vn C a E O b D c A B Do Bài 3: Sn < 1æ 1 1 + + + ỗỗỗ1 2ố 2 n 1ổ ữ ữ = ỗỗỗ1 ữ ữ 2ố n + 1ứ ÷ ÷< ÷ ÷ n + 1ø · · Ta có BAD = CAE ( Do cung EB = cung EC) · · Và AEC = DBA ( Hai góc nội tiếp chắn cung AC) nên ΔBAD BA AE Þ = Þ AB AC = AE AD(1) AD AC · · · · Ta cú ADC = BDC(Đối đỉnh) CAD = DBE EAC (2 góc nội tiếp chắn cung CE) nên ΔACD ΔBDE AD DB Þ = Þ AD.DE = DB.DChay DC DE AD(AE-AD) = DB.DC Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1)) DC DB DC + DB DC DB hay = = = = b c b+ c 4b)Theo tính chất đường phân giác ta có AC AB a b+ c DC DB a a a bc = Þ DB.DC = b c b+ c b+ c (b + c) bc AD2 theo câu a ta có = AB.AC – DB.DC = ỉ a2 ữ ỗ ữ ị AD = bc ỗỗ1 ữ ỗỗ (b + c)2 ữ ữ ố ứ Bi 5: m m số hữu tỉ 2là số vô tỉ nên n Vỡ n Ta xet hai trường hợp: a bc (b + c) æ a2 ữ ỗỗ ữ = bc ỗ1 ữ ỗỗ (b + c)2 ÷ ÷ è ø 13 DeThiMau.vn m > Khi ®ã m > n Þ m ³ n + hay m ³ a) n Từ suy : m n 2n + n ³ 2= 2+ n2 2n + 1 - n2 = ³ ỉ 1 ÷ 2ỗ ữ n + + n ỗỗ + + ữ ữ n ỗố n ø 2+ 2= m < Khi ®ã m < n Þ m £ n - hay m £ n b) Từ suy : m n = = 2- m n ổ ỗ 2+ n2 ỗ ỗ ỗ è 2- 1ư ÷ ÷ ÷ ÷ n ø 2n - = n 2- ³ 2- 2- ( 3+ ) 2n - 1 = n2 2- 2+ 2+ n2 2- n2 n ( 3+ ) ************************************************ 14 DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ————————— (Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm) 1 x y x y xy xy a) Giải hệ phương trình: b) Giải biện luận phương trình: | x | p | x | (p tham số có giá trị thực) Câu 2: (1,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt a2 b2 c2 2 2 ( b c ) ( c a ) ( a b ) Chứng minh Câu 3: (1,5 điểm) A Cho x x B 2x x2 x Tìm tất giá trị nguyên x cho C 2A B số nguyên Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB