Thông tin tài liệu
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI - LẦN Năm học: 2016 - 2017 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang, 06 câu) ĐỀ BÀI Câu (4,0 điểm) 1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x: A= x ( x 6) x 3 2( x x 3)(2 x ) x 10 x 12 x x Điều kiện x , x 4; x ; x 2) Rút gọn biểu thức: B = 2 2 2 2 Câu 2: (3,0 điểm) Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = (d) a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m b) Tính giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn Câu 3: (4,0 điểm) 2 17 Với x a 38 14 Tính giá trị biểu thức: B = 3 x3 x 2015 b Tìm tất cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > cho (3x+1) y đồng thời (3y + 1) x Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a) SABC = AB.BC.sinB AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD b) tanB.tanC = HD c) H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF HB.HC HC.HA HA.HB d) AB.AC BC.BA CA.CB Câu 5: (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x y y z z x 2015 x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T yz zx xy Câu 6:(2,0 điểm) Cho tam giác ABC, I điểm nằm tam giác Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB tai M, N, K Chứng minh rằng: IA IB IC 3 IM IN IK Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ Tên thí sinh: .Lớp: SBD: Phòng ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI -LẦN Mơn thi: Tốn PHỊNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN Thời gian làm : 150 phút Ngày 29/ 10/ 2016 Bài Câu 1) Tóm tắt cách giải 6x (x 6) x 3 A 2(x x 3)(2 x ) 2x 10 x 12 x x A (4đ) 6x (x 6) x 3 2(2 x )( x 3)( x 1) 2( x 3)(2 x) (2 x )( x 0,75 2điểm Do x 0; x 1; x 4; x A= x ( x 6) x 3( x 1) 2( x 3) 2( x 1)( x 3)(2 x ) A = 6x x x x x x 2( x 1)( x 3)(2 x ) A = (2 x x ) 2( x 3) x( x 3) x ( x 3) 2( x 1)( x 3)(2 x) A = 2) 2điểm (3đ) Điểm ( x 1)( x 3)(2 x) 2( x 1)( x 3)(2 x) = => ĐPCM B 2 2 2 2 3 3 2 42 2 42 0,75 0,5 1,0 B (2 3)(3 3) (3 3)(2 3) 0,75 (3 3)(3 3) B 1 B 0,25 a Điều kiện cần đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = (1,5đ) (d) qua điểm cố định N(xo,yo) là: (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với m mxo – 2xo + myo – yo – = 0, với m (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = với m xo 1 xo y o yo 2 x o y o Vậy đường thẳng (d) qua điểm cố định N (1; 1) b + Với m = 2, ta có đường thẳng y = (1,5đ) khoảng cách từ O đến (d) (1) ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ + Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1 khoảng cách từ O đến (d) (2) + Với m ≠ m ≠ Gọi A giao điểm đường thẳng (d) với trục tung Ta có: x = y = 1 , OA = m 1 m 1 0,5 đ Gọi B giao điểm đường thẳng (d) với trục hoành Ta có: y = x = 1 , OB = m2 m2 0,5 đ Gọi h khoảng cách Từ O đến đường thẳng (d) Ta có: 1 (m 1) (m 2) 2m 6m 2(m ) 2 2 h OA OB Suy h2 2, max h = m = (3) Từ (1), (2) (3) suy Max h = (4đ) m = 2 2 2 2 3 a Ta có x (3 5) 3 1,25 Từ tính B = - 0,75 b Dễ thấy x y Khơng tính tổng qt, giả sử x > y Từ (3y + 1) x y p.x p N * Vì x > y nên 3x > 3y + = p.x p < Vậy p 1; 2 (6đ) 0,5 đ Với p = 1: x = 3y + 3x + = 9y + y y Mà y > nên y 2; 4 + Với y = x = + Với y = x = 13 Với p = 2: 2x = 3y + 6x = 9y + 2(3x + 1) = 9y + Vì 3x + y nên 9y + y suy y , mà y > nên y = 5, suy x = Tương tự với y > x ta giá trị tương ứng Vậy cặp (x; y) cần tìm là: (7;2);(2;7);(8;5);(5;8);(4;13);(13;4); a(2,0đ) A E F H ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 * Ta có: SABC = BC.AD ABD vng D có AD =AB.sinB, SABC = 1,0 BC.AB.sinA ABE vng E có AE = AB.cosA BFC vng F có BF = BC.cosB ACD vng D có CD = AC.cosC Do AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD AD b(1,5đ) Xét ABD có tanB = ; ACD có tanC = BD CD AD suy tanB.tanC = (1) BD.CD Do HBD (cùng phụ với ACB ) nên BDH ADC (g.g) CAD DH BD BD.DC = DH.DA DC AD AD AD Kết hợp với (1) tanB.tanC = DH.AD DH ABC c(1,5đ) Chứng minh AEF ABC (g.g) AEF CBA CED Tương tự CED nên AEF mà BE AC DEB AEB CEB = 900 Từ suy FEB EH phân DEF Tương tự DH, FH phân giác DEF nên H giao ba đường phân giác DEF d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC CH CE Dễ thấy CHE CAF(g.g) CA CF HB.HC HB.CE 2.SBHC SBHC AB.AC AB.CF 2.SABC SABC HC.HA SCHA HA.HB SHAB Tương tự có ; BC.BA SCBA CA.CB SCAB HB.HC HC.HA HA.HB SBHC SCHA SAHB Do đó: 1 AB.AC BC.BA CA.CB SBAC SCBA SACB (1đ) Đặt a x y ; b y z ;c z x a; b;c 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 a b c 2015 Ta có: a b c2 2(x y z ) a b c 2 a b c 2 a b c ;y ;z 2 x2 a b2 c2 Do đó: (y z)2 2(y z ) 2b y z 2b yz 2b x2 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 y2 a b2 c2 z a b c , zx xy 2c 2a a b2 c2 b a b2 c2 c a b2 c2 a T 2b 2 2c 2 2a 2 1 1 a bc (a b c ) 2 a b c 1 2015 (a b c) 2 a b c 1 2015 (a b c)(a b c) 2 a b c 2015 2015 2015.9 2 2 2015 Dấu đẳng thức xảy a b c 2015 2015 Vậy T x y z 2 Tương tự: (2đ) 0,25 0,25 Đặt S BIC x , SCIA y , S AIB z S ABC x y z 0.25 A K N I B C M AM S ABC x y z AI y2 z2 AI y z 1 IM S BIC x2 IM x2 IM x2 IA IM 0.5 y2 z2 x Chứng minh tương tự ta có: IB IN z x2 , y IC IK IA IB IC IM IN IK x2 y z y2 z2 x2 y z x2 x y z yz zx x y y z z x x y 3 2.x y 2.z 2x x y y z z IA IB IC Vây 3 IM IN IK ThuVienDeThi.com 0.25 1.0 ...HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI -LẦN Mơn thi: Tốn PHỊNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN TRƯỜNG THCS NGA THI? ??N Thời gian làm : 15 0 phút Ngày 29/ 10 / 2 016 Bài Câu 1) Tóm tắt cách giải 6x ... a b c 1 2 015 (a b c) 2 a b c 1 2 015 (a b c)(a b c) 2 a b c 2 015 2 015 2 015 .9 2 2 2 015 Dấu đẳng thức xảy a b c 2 015 2 015 Vậy T... qua điểm cố định N (1; 1) b + Với m = 2, ta có đường thẳng y = (1, 5đ) khoảng cách từ O đến (d) (1) ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ + Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1 khoảng cách từ O đến
Ngày đăng: 31/03/2022, 10:25
Xem thêm:
