Đề khảo sát học sinh giỏi lần 2 năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán 715553

TRƯỜNG THCS BỒ LÝ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3 điểm) Cho đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 16 a Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) b Tính giá trị M(x) x =  0, 25 c Có giá trị x để M(x) = không? Câu (6 điểm) y  z 1 x  z  y  x     x y z x yz x  x  x  x 1    b Tìm x: 2010 2011 2012 2013 a Tìm số x; y; z biết rằng: c Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x2 + 2014x Câu (4 điểm) x 1 Tìm số nguyên x để A số nguyên x 3 x  15 b Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x 3 a Cho A  Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a AC = EB AC // BE b Gọi I điểm AC; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng ฀ ฀ c Từ E kẻ EH  BC H  BC  Biết HBE = 50o; MEB =25o ฀ ฀ Tính HEM BME Câu (2 điểm) Từ điểm I tùy ý tam giác ABC, kẻ IM, IN, IP vng góc với BC, CA, AB Chứng minh rằng: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS BỒ LÝ Câu Nội dung Điểm Câu a M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + – 2(x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3) + x4 + 4x3 + 3x2 0,5 – 8x + 16 = (2x5 -2x5) + (x4 + 4x4) + (– 4x3 +4x3) + (x2 – 2x2 +3x2) + (-2x +10x-8x) + 2- + = 5x4 + 2x2 + 16 0,5 16 b Tính giá trị M(x) x =  0, 25 Thay x =  0, 25 vào biểu thức M(x) ta được: 5.(  0, 25 )4 + 2(  0, 25 )2 + = 0,3125 + 0,5 + 16 16 0,5 0,5 =1 c Ta có: M(x) = 5x4 + 2x2 + 16 1  5( x  x    25) 16 1  5( x  )  80 1 M(x) =  5( x  )  =0 80  x2   ( Vơ lí ) 20 Vậy khơng có giá trị x để M(x) = 0,5 0,5 a Theo tính chất dãy tỉ số ta có : Câu y  z 1 x  z  y  x     x y z x yz y  z   x  z   y  x  2( x  y  z )  2 = x yz x yz ( Vì x+y+z  0) Do x+y+z = 0,5 Thay kết vào đề ta có: 0,5  x  0,5  y  0,5  z  1,5  x 2,5  y 2,5  z    tức   2 x y z x y z 5 Vậy x  ; y  ; z  6 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 x  x  x  x 1    2010 2011 2012 2013 x4 x3 x2 x 1  1 1  1 1 2010 2011 2012 2013 1 1  ( x  2014)(    )0 2010 2011 2012 2013  x  2014   x  2014 b 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy giá trị x cần tìm : x = -2014 c Ta có : x2+2014x = x(x+2014) x x+2014 x(x+2014) 0,5 - -2014 + + - 0,5 + + + Vậy x2+2014x > x < -2014 x > x 3 4  1 x 3 x 3 Để A số nguyên x  ước 4, tức a A  x 1  x 3 0,5 x   1; 2; 4 Vậy giá trị x cần tìm : ; ; 16 ;25 ;49 b B = Câu   x  15 x   12 12 = =1+ 2 x 3 x 3 x 3  0,5 0,5 Ta có: x  Dấu ‘ =’ sảy x = 0,5  x +  ( vế dương )  12 12 12 12     1+  1+ x 3 x 3 x 3 0,5  B  Dấu ‘ =’ sảy x = 0,5 Vậy Max B =  x = Câu Vẽ hình A I 0,5 M B C H K E ThuVienDeThi.com Câu Câu Câu Nội dung Điểm a Xét AMC EMB có : AM = EM (gt ) ฀AMC = EMB ฀ (đối đỉnh ) 0,5 BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c )  AC = EB ฀ ฀ 0,5 Vì AMC = EMB  MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE ) 0,5 Suy AC // BE b Xét AMI EMK có : AM = EM (gt ) ฀ ฀ MAI = MEK ( AMC  EMB ) AI = EK (gt ) 0,5 Nên AMI  EMK ( c.g.c ) ฀ Suy ฀AMI = EMK ฀ Mà ฀AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) 0,5 ฀ ฀  EMK + IME = 180o 0,5  Ba điểm I;M;K thẳng hàng ฀ = 90o ) có HBE ฀ c Trong tam giác vuông BHE ( H = 50o ฀ ฀ 0,5  HEB = 90o - HBE = 90o - 50o =40o 0,5 ฀ ฀ ฀ ฀  HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o ฀ ฀ ฀ Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác ) Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vng NIA NIC ta có: AN2 =IA2 – IN2; CN2 = IC2 – IN2  CN2 – AN2 = IC2 – IA2 (1) Tương tự ta có: AP2 - BP2 = IA2 – IB2 (2) MB2 – CM2 = IB2 – IC2 (3) Từ (1); (2) (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 Lưu ý: Nếu học sinh có cách làm khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 ... – 2B(x) + C(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + – 2( x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3) + x4 + 4x3 + 3x2 0,5 – 8x + 16 = (2x5 -2x5) + (x4 + 4x4) + (– 4x3 +4x3) + (x2 – 2x2 +3x2) + (-2x +10x-8x) + 2- + = 5x4 + 2x2...  CN2 – AN2 = IC2 – IA2 (1) Tương tự ta có: AP2 - BP2 = IA2 – IB2 (2) MB2 – CM2 = IB2 – IC2 (3) Từ (1); (2) (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 Lưu ý: Nếu học sinh có cách làm khác cho... x3 x? ?2 x 1  1 1  1 1 20 10 20 11 20 12 2013 1 1  ( x  20 14)(    )0 20 10 20 11 20 12 2013  x  20 14   x  ? ?20 14 b 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy giá trị x cần tìm : x = -20 14 c Ta có : x2 +20 14x