Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2015 2016 môn thi: Toán lớp 9 THCS42079

KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI Năm học 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN - Lớp THCS Thời gian làm bài: 150 phút PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN HỒNG LỄ Đề thức  6x  3x    3x3    3x  Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức: A       3 x  x  x     x  Rút gọn biểu thức A Tìm Min A với x  Câu II (4,0 điểm) Giả sử a nghiệm phương trình: Hãy tính giá trị biểu thức A 2x  x   2a  2a  2a  3  2a 2 x  xy  y  x  y   Giải hệ phương trình:   x2  y  x  y   Câu III (4,0 điểm) Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c đôi khác thoả mãn điều kiện 20abc  30(ab  bc  ca )  21abc 2.Tìm cặp số nguyên dương (x; y) cho x4  số nguyên dương x2 y  Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm M nằm ngồi đường trịn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A B tiếp điểm) Gọi D điểm di động cung lớn AB (D không trùng với A, B điểm cung) C giao điểm thứ hai đường thẳng MD với đường tròn (O; R) a) Giả sử H giao điểm OM với AB Chứng minh MH.MO = MC.MD, từ suy đường trịn ngoại tiếp tam giác HCD ln qua điểm cố định b) Chứng minh dây AD song song với đường thẳng MB đường thẳng AC qua trọng tâm G tam giác MAB ThuVienDeThi.com c) Kẻ đường kính BK đường tròn (O; R), gọi I giao điểm đường thẳng MK AB Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, biết OM = 2R Câu V (2,0 điểm) : ) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z  3Tìm giá trị lớn A   x   y   z  3( x  y  z ) - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm đề khảo sát lần Câu Lời giải (vắn tắt) Ý I Ta có: 3x  3x   3x    0;1  3x  0, x  , nên điều kiện để   (4,0đ (2,5đ ) ) A có nghĩa  3x     3x  23x   A     6x   3x           3x 3x  x  x     x    x   3x  3x A  3x  3x  3x     A   A    x   0, x   x    x   x      3x  3x   3x       3x  3x  2   0, 0,50  0,50   3x  3x  3x  3x  3x    3x   3x Điể m  (0  x  ) 0,5 0,5 2 x  1  x     x    =   3x  (1,5đ A  3x  3x  3x  ) 3x     Dấu “=” xảy x=3 3x  Vậy Min A =4 x=3 II (4,0đ (2,0đ Vì a nghiệm phương trình nên: 2a  a   ) )  2a   a *  2a  a  2a  Thay vào biểu thức A ta được: ThuVienDeThi.com 0,50 0,50 A = 2a  a  4a    2a 2a  a    2a 2 2a  2a   a   2a 2 2  a   2a  2 (2,0đ )   2a   2a  a   2a  3  0,50 ( theo * a  ) 0,5đ 2 2 x  xy  y  x  y   2 x  xy  x  xy  y  y  x  y     2  x  y  x y40  x  y  x  y    2 x  y    2 2 x  y  1x  y     x  y  x  y     x y20  x  y  x y40     x  y  x  y    Xét TH 0,75  x     y  x  : 2 x  y    y     2 2   x  4 /  x  2 x  1  x  x    x  y  x  y      y  13 / x   y   x   y 1 x  y  x  y    x  2  x   x   x    Xét TH :  x 2 y 2  13 Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1; 1);   ; -  5  0,50 0,50 0,25  III + Từ giả thiết suy ra:     Khơng giảm tính tổng qt giả a b c 10 (4,0đ (2,0đ ) ) sử a  b  c  Suy   2c  c Do c  {2;3} + Với c  suy 0,50 1 1 1 1         (1)    a b 10 a b b b Do b  {7;11} 0,50 ThuVienDeThi.com + Với b  từ (1) suy 1    a  {19; 23; 29;31;37; 41} 42 a 35 + Với b  11 từ (1) suy    a  13 ( a>b) 66 a 55 + Với c  từ giả thiết suy 0,50 1 11    (*)    b   b  ( a b 30 b b>c) Thay b  vào (*)  a  15  a  Vậy có ba (a;b;c) thoả mãn: (19;7; 2), (23;7; 2), (29;7; 2), (31;7; 2), (37;7; 2), (41;7; 2), (13;11; 2), (7;5;3) hốn vị 0,50 x 2 (2,0đ ) Đặt x y  = a Với a số nguyên dương x + = a(x y + 1) )  x2(x2- ay) = a - (1) 0,5 Xét trường hợp sau : TH1: Nếu a = từ (1) ta có : x2(x2- y) = -   x  1  y  1   x  0,50 y  TH2: Nếu a=2 từ (1) có x2(x2- 2y)=0, suy x2 =2y nên có x= 2k, y=2k2 với k số nguyên dương TH3: Nếu a > từ (1), có a – > (a – 2) chia hết cho x2 nên a –  x2  a  x2 + > x2 0,5 Từ  < x2- ay < x2- x2y  Điều không xảy Vậy: Cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn đề : (1; 2) (2k; 2k2) với k số nguyên dương ThuVienDeThi.com 0,5 IV 6,0đ (2.0 đ) K A I D C M H O E B Vì tam giác AOM vng A có AH  OM nên MH.MO  MA Mặt khác MAC  ADC nên  MAC đồng dạng  MDA (g.g), 0,5 MA MC   MC.MD  MA MD MA Vậy MH.MO  MC.MD MH MC  MD MO 0,5 Mà : MCH  OMD NÊN CMH Đồng dạng với OMD (c.g.c)  HCM  HOD  tứ giác CHOD nội tiếp 0,5 Vậy đường trịn ( CHD) ln qua O cố định 0,5 ThuVienDeThi.com Giả sử AC cắt MB E, CBE  EAB nên  EBC đồng dạng  0,50 EB EC   EA.EC  EB2 EA EB Vì AD // MB nên EMC  MDA  MAC Do  EMC đồng dạng  EAB Do 0,50 (2,0đ EAM EM EC   EA.EC  EM EA EM 0,50 Vậy EB = EM, tức E trung điểm MB Tam giác MAB có MH AE đường trung tuyến, nên AC 0,50 qua trọng tâm G  MAB I = 2R nên MAB tam giác (2.0 c) (2,0 điểm) Vì OM đ) MBA  60 đều, Kẻ đường kính MN đường trịn ngoại tiếp  BMI tam giác vng IMN M ta có IM IM 2IM  MN   MN sin 60 sinINM  (1) N Ta có AK // MO nên HIM đồng dạng IM MH AIK (g.g) Do  IK AK Dễ thấy OH  0,50 B R 3R IM 3IK nên AK = R MH  ,   IM  2 IK 2 (2) Mặt khác Vì AH  0,50 IH IH    IA AH R 3R R nên IH  , IA  10 Khi IK  2R 3R , IM  5 (3) Vậy đường trịn ngoại tiếp  BMI có bán kính R /  ThuVienDeThi.com R 21 1,0 Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky, ta được:  x  x  (1  1)(1  x  x)  2( x  1) Tương tự:  y  y  (1  1)(1  y  y )  2( y  1)  z  z  (1  1)(1  z  z )  2( z  1) V(1đ ) 1,0 Bởi A   x   y   x  3( x  y  z )  2( x  y  z  3)  2( x  y  z )  3( x  y  z )   (3  2)( x  y  z )  A  +(3- ) (1   1)( x  y  z )  +( - 0,50 )3= + (Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky giả thiết x + y + z  ) Vậy giá trị lớn A : + , x = y = z = ThuVienDeThi.com 0,50 ... x   y   z  3( x  y  z ) - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm đề khảo sát lần Câu Lời giải (vắn tắt) Ý I Ta có: 3x... b  {7;11} 0,50 ThuVienDeThi.com + Với b  từ (1) suy 1    a  { 19; 23; 29; 31;37; 41} 42 a 35 + Với b  11 từ (1) suy    a  13 ( a>b) 66 a 55 + Với c  từ giả thi? ??t suy 0,50 1 11   ...  b  ( a b 30 b b>c) Thay b  vào (*)  a  15  a  Vậy có ba (a;b;c) thoả mãn: ( 19; 7; 2), (23;7; 2), ( 29; 7; 2), (31;7; 2), (37;7; 2), (41;7; 2), (13;11; 2), (7;5;3) hốn vị 0,50 x 2 (2,0đ