KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI Năm học 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN - Lớp THCS Thời gian làm bài: 150 phút PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN TRƯỜNG THCS NGUYỄN HỒNG LỄ Đề thức 6x 3x 3x3 3x Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức: A 3 x x x x Rút gọn biểu thức A Tìm Min A với x Câu II (4,0 điểm) Giả sử a nghiệm phương trình: Hãy tính giá trị biểu thức A 2x x 2a 2a 2a 3 2a 2 x xy y x y Giải hệ phương trình: x2 y x y Câu III (4,0 điểm) Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c đôi khác thoả mãn điều kiện 20abc 30(ab bc ca ) 21abc 2.Tìm cặp số nguyên dương (x; y) cho x4 số nguyên dương x2 y Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm M nằm ngồi đường trịn Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A B tiếp điểm) Gọi D điểm di động cung lớn AB (D không trùng với A, B điểm cung) C giao điểm thứ hai đường thẳng MD với đường tròn (O; R) a) Giả sử H giao điểm OM với AB Chứng minh MH.MO = MC.MD, từ suy đường trịn ngoại tiếp tam giác HCD ln qua điểm cố định b) Chứng minh dây AD song song với đường thẳng MB đường thẳng AC qua trọng tâm G tam giác MAB ThuVienDeThi.com c) Kẻ đường kính BK đường tròn (O; R), gọi I giao điểm đường thẳng MK AB Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MBI theo R, biết OM = 2R Câu V (2,0 điểm) : ) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn: x + y + z 3Tìm giá trị lớn A x y z 3( x y z ) - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm đề khảo sát lần Câu Lời giải (vắn tắt) Ý I Ta có: 3x 3x 3x 0;1 3x 0, x , nên điều kiện để (4,0đ (2,5đ ) ) A có nghĩa 3x 3x 23x A 6x 3x 3x 3x x x x x 3x 3x A 3x 3x 3x A A x 0, x x x x 3x 3x 3x 3x 3x 2 0, 0,50 0,50 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x Điể m (0 x ) 0,5 0,5 2 x 1 x x = 3x (1,5đ A 3x 3x 3x ) 3x Dấu “=” xảy x=3 3x Vậy Min A =4 x=3 II (4,0đ (2,0đ Vì a nghiệm phương trình nên: 2a a ) ) 2a a * 2a a 2a Thay vào biểu thức A ta được: ThuVienDeThi.com 0,50 0,50 A = 2a a 4a 2a 2a a 2a 2 2a 2a a 2a 2 2 a 2a 2 (2,0đ ) 2a 2a a 2a 3 0,50 ( theo * a ) 0,5đ 2 2 x xy y x y 2 x xy x xy y y x y 2 x y x y40 x y x y 2 x y 2 2 x y 1x y x y x y x y20 x y x y40 x y x y Xét TH 0,75 x y x : 2 x y y 2 2 x 4 / x 2 x 1 x x x y x y y 13 / x y x y 1 x y x y x 2 x x x Xét TH : x 2 y 2 13 Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1; 1); ; - 5 0,50 0,50 0,25 III + Từ giả thiết suy ra: Khơng giảm tính tổng qt giả a b c 10 (4,0đ (2,0đ ) ) sử a b c Suy 2c c Do c {2;3} + Với c suy 0,50 1 1 1 1 (1) a b 10 a b b b Do b {7;11} 0,50 ThuVienDeThi.com + Với b từ (1) suy 1 a {19; 23; 29;31;37; 41} 42 a 35 + Với b 11 từ (1) suy a 13 ( a>b) 66 a 55 + Với c từ giả thiết suy 0,50 1 11 (*) b b ( a b 30 b b>c) Thay b vào (*) a 15 a Vậy có ba (a;b;c) thoả mãn: (19;7; 2), (23;7; 2), (29;7; 2), (31;7; 2), (37;7; 2), (41;7; 2), (13;11; 2), (7;5;3) hốn vị 0,50 x 2 (2,0đ ) Đặt x y = a Với a số nguyên dương x + = a(x y + 1) ) x2(x2- ay) = a - (1) 0,5 Xét trường hợp sau : TH1: Nếu a = từ (1) ta có : x2(x2- y) = - x 1 y 1 x 0,50 y TH2: Nếu a=2 từ (1) có x2(x2- 2y)=0, suy x2 =2y nên có x= 2k, y=2k2 với k số nguyên dương TH3: Nếu a > từ (1), có a – > (a – 2) chia hết cho x2 nên a – x2 a x2 + > x2 0,5 Từ < x2- ay < x2- x2y Điều không xảy Vậy: Cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn đề : (1; 2) (2k; 2k2) với k số nguyên dương ThuVienDeThi.com 0,5 IV 6,0đ (2.0 đ) K A I D C M H O E B Vì tam giác AOM vng A có AH OM nên MH.MO MA Mặt khác MAC ADC nên MAC đồng dạng MDA (g.g), 0,5 MA MC MC.MD MA MD MA Vậy MH.MO MC.MD MH MC MD MO 0,5 Mà : MCH OMD NÊN CMH Đồng dạng với OMD (c.g.c) HCM HOD tứ giác CHOD nội tiếp 0,5 Vậy đường trịn ( CHD) ln qua O cố định 0,5 ThuVienDeThi.com Giả sử AC cắt MB E, CBE EAB nên EBC đồng dạng 0,50 EB EC EA.EC EB2 EA EB Vì AD // MB nên EMC MDA MAC Do EMC đồng dạng EAB Do 0,50 (2,0đ EAM EM EC EA.EC EM EA EM 0,50 Vậy EB = EM, tức E trung điểm MB Tam giác MAB có MH AE đường trung tuyến, nên AC 0,50 qua trọng tâm G MAB I = 2R nên MAB tam giác (2.0 c) (2,0 điểm) Vì OM đ) MBA 60 đều, Kẻ đường kính MN đường trịn ngoại tiếp BMI tam giác vng IMN M ta có IM IM 2IM MN MN sin 60 sinINM (1) N Ta có AK // MO nên HIM đồng dạng IM MH AIK (g.g) Do IK AK Dễ thấy OH 0,50 B R 3R IM 3IK nên AK = R MH , IM 2 IK 2 (2) Mặt khác Vì AH 0,50 IH IH IA AH R 3R R nên IH , IA 10 Khi IK 2R 3R , IM 5 (3) Vậy đường trịn ngoại tiếp BMI có bán kính R / ThuVienDeThi.com R 21 1,0 Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky, ta được: x x (1 1)(1 x x) 2( x 1) Tương tự: y y (1 1)(1 y y ) 2( y 1) z z (1 1)(1 z z ) 2( z 1) V(1đ ) 1,0 Bởi A x y x 3( x y z ) 2( x y z 3) 2( x y z ) 3( x y z ) (3 2)( x y z ) A +(3- ) (1 1)( x y z ) +( - 0,50 )3= + (Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky giả thiết x + y + z ) Vậy giá trị lớn A : + , x = y = z = ThuVienDeThi.com 0,50 ... x y z 3( x y z ) - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm đề khảo sát lần Câu Lời giải (vắn tắt) Ý I Ta có: 3x... b {7;11} 0,50 ThuVienDeThi.com + Với b từ (1) suy 1 a { 19; 23; 29; 31;37; 41} 42 a 35 + Với b 11 từ (1) suy a 13 ( a>b) 66 a 55 + Với c từ giả thi? ??t suy 0,50 1 11 ... b ( a b 30 b b>c) Thay b vào (*) a 15 a Vậy có ba (a;b;c) thoả mãn: ( 19; 7; 2), (23;7; 2), ( 29; 7; 2), (31;7; 2), (37;7; 2), (41;7; 2), (13;11; 2), (7;5;3) hốn vị 0,50 x 2 (2,0đ