MATHVN.COM | www.mathvn.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010- 2011 - Đề thức ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 05 tháng 11 năm 2010 (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu ( điểm ) Câu ( điểm) Giải phương trình: (6 sin x – sin 3x +1)3 = 162 sin x - 27 ( + )= − + Giải hệ phương trình: ( + ) = − + − + ( + ) = ( ( ( ) ) ) Câu ( điểm) Cho dãy số (un) xác định a) Chứng minh b) =∑ = + = + = + + = ( ) dãy tăng không bị chặn = →∞ Câu ( điểm) Hình chóp n- giác có góc tạo mặt bên mặt đáy α , góc tạo cạnh bên mặt đáy β Chứng minh rằng: α− Câu ( điểm) Xét x, y ∈ thỏa mãn điều kiện: π β≤ − Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ bỉểu thức + = = + + − − Câu ( điểm) Cho đa thức f(x) có bậc 2010 thỏa mãn: ( )= với n = 1, 2, 3, …2011 Tính f(2012) Hết Họ tên thí sinh: ………………………… Số báo danh: …………………… www.mathvn.com – book.mathvn.com DeThiMau.vn MATHVN.COM | www.mathvn.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN - Câu ( điểm ) Giải phương trình: (6 sin x – sin 3x +1)3 = 162 sin x - 27 (1) Lời giải chi tiết Điểm (1) ⇔ (1) ⇔ (8 sin3 x +1)3 = ⇔ + = Đặt: sin x = t ( O,5đ O,5đ ≤ − ) O,5đ + = − + = − Ta có hệ: + = Phương trình trở thành: Đặt: = O,5đ Giải ta t = u Với t = u: ta có phương trình: t3 – t + = Khi đó, theo cách đặt, ta có: sin3 x +1 = ⇔ sin 3x = π π ⇔ sin 3x = ⇔ Câu ( điểm ) = = + ⇔ = π + ( ( ( + + + )= ( )= ( )= ( Lời giải chi tiết + + + () ( ) ( ) g(t) = O,5đ π Giải hệ phương trình: Điều kiện: x, y, z ∈ + + = Hệ trở thành + + = + = + Đặt: f(t) = t3 +2 t2 + t, t∈ O,5đ − − − )+ )+ )+ Điểm 0, đ + , t∈ 0,5 đ www.mathvn.com – book.mathvn.com DeThiMau.vn MATHVN.COM | www.mathvn.com ( )= ( ) Hệ trở thành: ( ) = ( ) ( )= ( ) Ta có: f’(t) = t2 + t + > ∀ t∈ g’(t) = t2 ≥ ∀ ∈ Nên f, g hàm số đồng biến Giả sử (x; y; z) nghiệm hệ , không giảm tính tổng quát giả sử x ≥ y Từ (1) (2) ta có: g(y) ≥ g(z) suy y ≥ z nên từ (2) (3) ta có: g(z) ≥ g(x) suy z ≥ x Từ ta có: x = y = z Thay vào hệ phương trình ta hệ có nghiệm: (1; 1; 1); − − − Câu ( điểm) = Cho dãy số (un) xác định + = + + = a) Chứng minh =∑ b) 1,5 đ ( ) dãy tăng không bị chặn = + = 0,5 đ →∞ Điểm Lời giải chi tiết a) u n + u n + ) − u n = ( u n − ) ≥ ; ∀n = 1, 2, ( 5 dãy tăng Từ đó, un ≥ u1 = ∀n = 1, 2, + Ta có u n +1 − u n = 0, đ + Vậy ( u n ) + Mặt khác dãy ( u n ) bị chặn có giới hạn Giả sử lim u n = a n →+∞ ( a ≥ 3) 1 + nlim u n +1 = lim ( u 2n + u n + ) ⇒ a = ( a + a + ) ⇔ a = n →+∞ →+∞ Điều khơng thể xảy a ≥ Vậy dãy ( u n ) không bị chặn 0,5 đ = b) Theo a) Vậy nlim u n = +∞ ⇒ →+∞ + ( u k + u k + 4) ⇔ + − = − 5 1 ⇔ = = − ( u k ≥ ; ∀k ≥ 1) ⇔ u k +1 − ( u k − )( u k + 3) u k + u k − u k +1 − + Ta có u k +1 = + Do ! =∑ = + = − 0,5 đ − + − www.mathvn.com – book.mathvn.com DeThiMau.vn Vậy lim = 1,0 đ 0,5 đ MATHVN.COM | www.mathvn.com Câu ( điểm) Hình chóp n- giác có góc tạo mặt bên mặt đáy α , góc tạo cạnh bên mặt đáy β Chứng minh rằng: α− π β≤ S S A2 M E β α A1 Lời giải chi tiết + Gọi hình chóp n-giác S.A1A2…An + Xét hình chóp S.OA1M, đó, O tâm đa giác đáy, M trung điểm cạnh A1A2 Khi đó, SO ⊥ (OA1M) ; OM ⊥ A1A2 + Góc tạo mặt bên mặt đáy ∠ =α =α + Góc tạo cạnh bên mặt đáy ∠ Ta có: ∠" #$ = ϕ = O Điểm 1,0 đ π Đặt OA1 = a; OM = b; OS = h Gọi OE phân giác góc ∠" #$ www.mathvn.com – book.mathvn.com DeThiMau.vn 1,0 đ MATHVN.COM | www.mathvn.com α= Khi đó: % β= % +' ϕ % % + $& $& + " & $" $& " & = = = = nên +' +' ' ' Ta cần chứng minh: − % +' % ⇔ % ≤ % + ( ) −' π = $& ' −' +' () % = 1,0 đ 2,0 đ −' ( + ') ≤ ( % + ' )( % + ) ( ⇔ ( % + )( % + ' ) ≥ % ⇔( '−% ) ≥ −' + ') ( + ') Dấu xảy ⇔ ' = % ⇔ *# = #" #$ Câu ( điểm) Xét x, y ∈ thỏa mãn điều kiện: − Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ bỉểu thức + = = + + − − Điểm ≥+ Điều kiện : − ⇔ + + Lời giải chi tiết ,≥+ = + = − + + + = Đặt: = ( ≥− Ta được: + = ≥− ( 0,5 đ 0,5 đ ) + + + ) Gọi T tập giá trị P1 = + , ta có: a ∈ P1 ⇔ a ∈ cho hệ phương trình ẩn (X; Y) sau có nghiệm: www.mathvn.com – book.mathvn.com DeThiMau.vn MATHVN.COM | www.mathvn.com + = ( + + Đặt: + = + = )= + ( (I) ≥ = ⇒ ) = − − 0,5 đ + = + (II) Hệ trở thành: + = Ta tìm a để hệ phương trình (II) có nghiêm (u; v) với u, v ≥ Phương trình ẩn t: t2 – a t + a2 - a - 12 = có nghiệm khơng âm 0,5 đ − − ≤ ⇔ ≥ − − ≥ 0,5 đ ⇔ ≤ ≤ + Do đó: Max P1 = + ; Min P1 = Và vì: P = P1 – nên: 0,5 đ + Max P = + khi: u = v = ⇔ = ⇒ = = + ⇔ + = − − ( ); = = − ! = , = ⇔ ⇒ = = Min P = ! = , = − Câu ( điểm) Cho đa thức f(x) có bậc 2010 thỏa mãn: ( )= với n = 1, 2, 3, …2011 Tính f(2012) Điểm Lời giải chi tiết www.mathvn.com – book.mathvn.com DeThiMau.vn MATHVN.COM | www.mathvn.com ( )− Xét phương trình: ( )= Do = ( )− = có 0,5 đ khơng đa thức nên xét: g(x) = x f(x) – (1) 0,5 đ với n = 1, 2, 3, …2011 nên phương trình: nghiệm: 1, 2, …, 2011 ( )− Nhưng Do deg f(x) = 2010 nên deg g(x) = 2011 g(x) có nghiệm: 1, 2, …, 2011 Nên g(x) = a (x – 1).(x – 2)…(x – 2011) (2) Từ (1) ta có: g(0) = - Từ (2) ta có: - = g(0) = a (-1)2011 2011 ! Suy ra: ⇒ / / = - Như vậy: − = = ⇔/ = = - ( ( − − )( - )( − ) ( − ) ( ) − − 0,5 đ )= = HẾT _ www.mathvn.com – book.mathvn.com DeThiMau.vn 0,5 đ ...MATHVN.COM | www.mathvn.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - Câu ( điểm ) Giải... với n = 1, 2, 3, ? ?2011 nên phương trình: nghiệm: 1, 2, …, 2011 ( )− Nhưng Do deg f(x) = 2010 nên deg g(x) = 2011 g(x) có nghiệm: 1, 2, …, 2011 Nên g(x) = a (x – 1).(x – 2)…(x – 2011) (2) Từ (1)... − Câu ( điểm) Cho đa thức f(x) có bậc 2010 thỏa mãn: ( )= với n = 1, 2, 3, ? ?2011 Tính f(2 012) Điểm Lời giải chi tiết www.mathvn.com – book.mathvn.com DeThiMau.vn MATHVN.COM | www.mathvn.com (