Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2015 2016 đề thi môn: Toán học26865

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TỐN - THPT Thời gian: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu (2,5 điểm) a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x3  m  1 x  m  3 x  8m đồng biến khoảng 0;3 b) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y   x3  3mx  3m  có điểm cực đại, cực tiểu điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng x  y   Câu (2,0 điểm) cos x  cos3 x  a) Giải phương trình: cos x  tan x  cos x b) Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác Câu (1,5 điểm) x 1  x  x  ฀  Giải phương trình: x  4  x   x    x  Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  b a, b  , SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SA  2a Lấy điểm M thuộc cạnh SA cho AM  x với  x  2a a) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MBC ) b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A, I giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Biết điểm D 1;  1 , đường thẳng IG có phương trình x  y   điểm E có hồnh độ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn 1;9 x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y 1 y z      10 y  x  y  z z  x  -Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …… .…….….….; Số báo danh:……… ……… ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x3  m  1 x  m  3 x  8m đồng biến khoảng 0;3 b) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số 2,5 y   x3  3mx  3m  có điểm cực đại, cực tiểu điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng x  y   a TXĐ: ฀ y '  x  m  1 x  m  3 Do phương trình y '  có nhiều hai nghiệm ฀ , nên để hàm số 0,5 cho đồng biến khoảng 0;3  y '  0, x  0;3 x2  2x    m, x  0;3 2x  x2  2x  khoảng 0;3 2x  x  2x2  2x  ; ' g ' x   g x      2 x  1  x  2 loai  Xét hàm số g x   0,5 BBT x g ' x  g x   3  18 0,5 Từ BBT, g x   m, x  0;3  m  Vậy, m  hàm số cho đồng biến khoảng 0;3 b TXĐ: ฀ x  Hàm số cho có cực đại cực tiểu  y '  3 x  6mx; y '     x  2m phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt  m  ThuVienDeThi.com 0,5  Tọa độ hai điểm cực trị A 0;  3m  1, B 2m;4m3  3m  1 AB 2m;4m3  trung điểm AB I m;2m3  3m  1 I  d A, B đối xứng với qua đường thẳng d : x  y      AB  d 0,5 4m3  5m     m  1 (thỏa mãn) Vậy, m  1 4m  4m  cos x  cos3 x  a) Giải phương trình: cos x  tan x  cos x b) Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác  Điều kiện: x   l l  ฀  a Suy (1)  cos x  tan x   cos x  (1  tan x) 2,0 0,25 cos x  1  cos x   cos x  2cos x  cos x     cos x   0,25 +) cos x  1  x    k 2 k  ฀  0,25   x    k 2 k  ฀  Kết hợp với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x    k 2 , 0,25 +) cos x  x b   k 2 k  ฀  Số tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: C153  455 tam giác Số phần tử tập M là: M  455 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp đỉnh đa giác đối xứng với qua đường thẳng OA, hay có tam giác cân đỉnh A Như vậy, với đỉnh đa giác có tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân 15 Số tam giác có ba đỉnh đỉnh đa giác  tam giác Tuy nhiên, tam giác cân xác định có tam giác đều, tam giác cân ba đỉnh nên tam giác đếm ba lần Suy ra, số tam giác giác cân khơng phải tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: 7.15  3.5  90 Vậy, xác suất để chọn tam giác cân tam giác 90 18  từ tập M: P  455 91 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 x  4  x   Giải phương trình: Điều kiện:  x  1  x  4  x      x2  4 x   2 x2  4 x    x  x   x 1  x  1 x    x  x 1  x 1 x2  1,5 0,5 x 1 Xét hàm số: f t   t  2t , t  Có f ' t   2t   0t   hàm số đồng biến 0;  Suy phương trình (1) có dạng f    x2  4 x  f 0,5  x 1  x    x  x 1 11 Nghiệm tìm thỏa mãn 11 Vậy phương trình có nghiệm: x  3; x  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  b a, b  , SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) 2 x  4  x   x   x  3; x  SA  2a Lấy điểm M thuộc cạnh SA cho AM  x với  x  2a a) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MBC ) 0,5 2,0 b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích S N M H A D B a C Do BC / / AD  mặt phẳng (MBC) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN ( N  SD ) MN / / AD AD  SAB   MN  SAB   MN  BM Suy thiết diện hình chóp 0,5 S.ABCD cắt mặt phẳng (MBC) hình thang BCNM vuông B M b 2a  x  MN SM   MN  2a AD SA Diện tích thiết diện BCNM: BM  x  a , S BCNM  b 2a  x  a  x2 b   2a b 4a  x  a  x    4a ThuVienDeThi.com 0,5 b Kẻ AH  BM H, suy AH  BCNM  , AH  Do BCNM   SAB    d S , BCNM   d S , BCNM  d A, BCNM   ax a  x2 MS MA a 2a  x  0,5 a2  x2 Thể tích khối chóp S.BCNM: b 2a  x 4a  x  VS BCNM  d S , BCNM .S BCNM  12 Để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích nhau: VS ABCD  2VSBCNM  2a 2b b 2a  x 4a  x        x   a (lo¹i) 2  x  ax  a    Vậy x   a x   a  Cho tam giác ABC vng cân A, có trọng tâm G Gọi E, H trung điểm cạnh AB, BC; D điểm đối xứng với H qua A, I giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Biết điểm D 1;  1 , đường thẳng IG có  0,5  1,0 phương trình x  y   điểm E có hồnh độ Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC B H E G K A F C I D Gọi K trung điểm BI, suy HK / / CD  A trung điểm KI, HK  DI  IC ; AK  BK  GK / / AC  GK  AB  GB  GI  GC hay G tâm đường ฀  IBC ฀  90o , ID  IC  DE / / IG tròn qua ba điểm C, I, B CGI ThuVienDeThi.com 0,5 Phương trình đường thẳng DE: x  y    E 1;3 CE  IG , suy phương trình CE : x  y   Tọa độ G nghiệm  x  x  y    7 7   G  ;   C 5;1 hệ phương trình  3 3 6 x  y   y     DG  AG  A 1;1  B 1;5  Vậy, A 1;1, B 1;5  C 5;1 0,25 0,25 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn 1;9 x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  y 1 y z      10 y  x  y  z z  x  1,0 1    a  b  ab Với a, b dương thỏa mãn ab  ta có bất đẳng thức    1  a b ab   ab     a  b  ab Dấu xảy a  b ab  Thật vậy:    1 1  1  Áp dụng bất đẳng thức trên: P      x 2 z x x x 10  1   10  1  y y z y y  Đặt 0,25 0,25 x 1 đoạn 1;3  t  1;3 Xét hàm số f t    y 10  t  t 2t f ' t    ; f ' t    t  2t  24t  2t  100  10  t  1  t  t  t  24t  50   t  t 2 3  24t  50  t  1;3 BBT 0,25 t f ' t  f t   + 11 18 Suy Pmin x  y    z  x x  y    y z    z  y  x     y -Hết -5 ThuVienDeThi.com 0,25 ... PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015- 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN - THPT (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh. .. làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày... có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác  Điều kiện: x   l l  ฀  a Suy