Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Yên Định môn: Toán44091

Phòng giáo dục đào tạo yên định kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008 - 2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) đề thi thức Câu 1: (4,0 điểm) 2x   x-2 x-3 x - 5x  a) T×m ®iỊu kiƯn x ®Ĩ P cã nghÜa vµ rót gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P nguyên Cõu 2: (5,0 im) 3x Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d): y - 3x (d') : y cắt C cắt trục Ox A, B a) Tìm tọa độ điểm A, B, C b) Tìm diện tích chu vi tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trục Cho biểu thøc : P  lµ cm Câu 3: (4,0 điểm) a, Cho số dương a,b,c thoả mÃn a  b  c  Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: 1 1   a b c abc b, Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 25 y ( y 6) Cõu 4: (5,0 im) Cho đường tròn tâm O đường kính AB; Từ A B ta vẽ hai dây cung AC BD cắt N Hai tiếp tuyến Cx, Dy đường tròn cắt M Gọi P giao điểm hai đường thẳng AD BC a, Chứng minh PN vuông góc với AB b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng Câu 5: (2,0 ®iĨm) Chøng minh r»ng: 2000 3 HÕt - Häc sinh kh«ng sử dụng tài liệu Cán coi thi không gii thích thêm DeThiMau.vn Phòng giáo dục đào tạo yên định kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008 - 2009 Đáp án hướng dẫn chấm Môn: Toán Hướng dẫn chấm có trang Câu ý Nội dung x  ; x  §iỊu kiƯn :  x - 5x    x  vµ x  2x   x-2 x-3 x - 5x  a) 2x(x - 3)   (x - 2) 2x - 7x  = = (x - 2)(x - 3) (x - 2)(x  3) (2x - 3)(x - ) 2x - = = (x - 2)(x  3) x 3 2x - VËy : P = víi x  , x  x 3 2x - (2x - 6)  3 Ta cã P = = =2 + x 3 x 3 x 3 nªn P nguyªn nguyên x - ước x 3 b) x -  x  x -  x     x -  -  x    x -  - x ( loại ) Điểm 0,5 P Vậy giá trị cần tìm x = ; x = ; x = DeThiMau.vn 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 C©u ý  C giao điểm d a) 2y 3x    2y  - 3x d/ Nội dung nên tọa độ C tháa m·n hÖ :  2y  3x  x    4y  12 y    VËy C(1 ; 3) §iĨm 1,0  Phương trình trục Ox y = nên tọa ®é A tháa m·n hÖ :  2y  3x  x  -     y0 y  VËy A(- 1; 0) täa ®é B tháa m·n hÖ : b) 0,5 0,5  2y  - 3x x      y0 y  VËy B(3 ; 0)  Gọi H hình chiếu C trục Ox CH đường cao tam giác CAB CH = cm ( tung ®é cđa ®iĨm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = + = (cm) 1  dt(ABC) = AB.CH = 2 4.3 = (cm2)  HA = HO + OA = + = (cm)  HB = AB - AH = (cm)  HA = HB = 2(cm)  tam gi¸c CAB cân C (CH vừa đường cao vừa trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có : y y= 3x+3 C -1 A O H x B y= CA  AH  HC  1,5 9-3x 2  32  1,5 13 (cm)  chu vi ABC lµ : AB + BC + CA =  13 (cm) C©u a Ta cã a  b  c   a  b  c  2(ac  bc  ab)  1  ac  bc  ab  (a  b  c )    2 ac  bc  ab (do a, b, c > 0)   abc abc 1 1     a b c abc b Tõ x  25  y ( y  6) Ta cã : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Để ý phương trình chØ chøa Èn sè x víi sè mị b»ng , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy sè ( y+3+x ) vµ (y+3-x) cïng tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 - 16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trÞ (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 0.5 Vì phương trình đà cho cã c¸c nghiƯm ( x,y) = (  5,  ;  5, 6  ;  4, 3 0.5 a Trong tam gi¸c PAB ta cã AC BD đường cao nên N trực tâm tam giác Do PN đường cao lại nên vuông góc với cạnh AB b Gọi I trung điểm PN IC trung tuyến tam giác vuông PAC nên IPC cân I Do : IPC ICP Tam giác OAC cân O nên : CAO ACO 0,5 Câu Câu 0,5 Mặt khác CAO IPC (do có cạnh tương ứng vuông góc) nªn ACO  ICP 0.5 Ta cã AC  PC nên OC IC Do IC tiếp tuyến C đường tròn 0.5 Tương tự , ID tiếp tuyến D đường tròn 0.5 Chøng tá I trïng víi M nªn P,M,A thẳng hàng 0.5 2000 1999.2001  1998 20002   1998.2000  1997 19992   1997.1999   2.4  Hết -DeThiMau.vn 1,0 1,0 ... trùng với M nên P,M,A thẳng hàng 0.5 2000  199 9.2001  199 8 20002   199 8.2000  199 7 199 92   199 7. 199 9   2.4  Hết -DeThiMau.vn 1,0 1,0 ...Phòng giáo dục đào tạo yên định kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008 - 20 09 Đáp án hướng dẫn chấm Môn: Toán Hướng dẫn chấm có trang Câu ý Nội dung x ;... 3 x 3 nên P nguyên nguyên x - ­íc cđa x 3 b) x -  x  x -  x     x -  -  x    x -  - x  ( lo¹i ) Điểm 0,5 P Vậy giá trị cần tìm x = ; x = ; x = DeThiMau.vn 0,5 1,0