Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học: 2014 2015 môn thi: Toán lớp 12 THPT42982

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số: y  KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học: 2014-2015 Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT Ngày thi 24/03/2015 Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang, gồm 05 câu x2 có đồ thị (C) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Cho điểm A(0; a) Tìm điều kiện a để từ điểm A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh Câu II (4,0 điểm) Giải phương trình:   sin 2x  cos2x  5sinx +  cosx + + 2cos x  1 20  x  17  y  x  x  y  y   x, y  ฀  Giải hệ phương trình:  2 x  y   3 x  y  11  x  x  13 Câu III (4,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh : 3 a b c    2 b c 2 c a 2 a b 2 5 x  xy  y   Tìm m để hệ  m có nghiệm thực 2 x xy y     m 1  Câu IV (4,0 điểm) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập số tự nhiên có chữ số, mà chữ số đơi khác hai chữ số kề không số lẻ? Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) hình chiếu vng góc A lên BD Điểm M ( ;3) trung điểm cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A  ADH : x  y   Viết phương trình đường thẳng BC Câu V (4,0 điểm) Cho tứ diện SABC có SA  a, SB  b, SC  c SA  SB, SA  SC , SB  SC Gọi R , V theo thứ tự bán kính mặt cầu ngoại tiếp thể tích tứ diện SABC Tính 972V 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A 1; 2; 1, B 0; 4;0  diện tích tam giác ABC theo a, b, c chứng minh rằng: R  mặt phẳng (P) có phương trình: x  y  z  2015  Viết phương trình mặt phẳng Q  qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng P  góc nhỏ ……………………………… HẾT…………………………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 Mơn thi: TỐN LỚP 12 THPT Hướng dẫn chấm Đề thức Câu Ý I (4.0) (2.0) (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 07 trang ) Nội dung Khảo sát vẽ đồ thị C  hàm số y  Điểm x2 x 1 * Tập xác định: D  ฀ \  * Sự biến thiên: y '   0.25 x  1  0x  D 0.25 lim y  , lim y  , lim y   ; lim y   , 0.25 Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y =1 0.25 x  x  x 1 x 1 Bảng biến thiên - x _ y’ y + 0.5 – - + - Hàm số nghịch biến khoảng ;1, 1;  ; * Đồ thị :  fx = x+2 x gx = hy = 0.5 15 10 5 Đồ thị cắt trục tung điểm (0;-2), cắt trục hoành (-2;0) Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I(1; 1) làm tâm đối xứng ThuVienDeThi.com 10 15 Tìm điều kiện a để từ điểm A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp (2.0) điểm tương ứng nằm phía trục hoành Xét thấy đường thẳng x = qua A không tiếp xúc với đồ thị (C) Phương trình đường thẳng d qua A(0; a) có hệ số góc k: y  kx  a 0,25 x 2  kx  a   x 1 d tiếp tuyến (C)  Hệ PT  có nghiệm 3 k   ( x  1)2  0.25  PT: f(x) = (1  a) x  2(a  2) x  (a  2)  (1) có nghiệm x  Để qua A có tiếp tuyến (1) phải có nghiệm phân biệt x1, x2 khác a  a    '  3a     a  2  f (1)   Khi ta có: x1  x2  0.25 0.25 (*) 3 2(a  2) a2 y1   ; y2   ; x1x2  x1  x2  a 1 a 1 0.25 Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh y1.y2    x x  2( x  x )   2  1  0  1  0  x x  x  x (   x x 1 2) 1     3a    a   0.25  a   Kết hợp với điều kiện (*) ta được:  a  II (4.0) (2.0) Giải PT lượng giác: Điều kiện: cos x   PT  0,25 0,25   sin 2x  cos2x  5sinx +  cosx + + 2cos x  3  (1) 0.25   s in2x  cos2x  5sin x   cosx + +  cos x  0.25  s in2x  cos2x  5sin x  3cosx + =  3cosx 2sinx  1+ 2sin x  5sin x + = 0.25  3cosx 2sinx  1+ 2sinx  1sin x   = 0.25    2sin x  1 3cosx + sinx  =  s inx =   sin  x        3 0.25 0.25 ThuVienDeThi.com    x   k2  5  k2  x     x    k2  0.25  So sánh với đk, kết luận nghiệm pt là: x   k2, k  ฀ (2.0) Giải hệ phương trình : 20  x  17  y  x  x  y  y  1  2  2 x  y   3 x  y  11  x  x  13 0.25 2.00  x, y  ฀  Điều kiện: x  6; y  5; x  y   0; x  y  11  20  3x   x  17  y   y  3 6  x     x  3 5  y    0.25 0.25 3 5 y Xét hàm số f t   3t   t với t  , ta có 0.25 3t  f ' t   t   0, t  t Kết hợp với 3 ta có f 6  x   f 5  y    x   y  y  x  0.25 Thay vào phương trình 2  hệ, ta x   x   x  x  13 , với x   2  III (4.0) (2.0)  3x   x  2  5x   x  3 x 2 x x  1 3x   x    3 x x  1 x   x  3 0.25 x 0.25  x2  x    x x  1   1   3x   x   x   x  3      với x thuộc TXĐ)  x  0; x  1 (vì 3x   x   x   x  3 0.25 Với x   y  1 Với x  1  y  2 Thử lại ta thấy nghiệm hệ phương trình cho x; y  0; 1; 1; 2  0.25 Cho số thực a, b, c  thỏa : ab  bc  ca  CMR: a b c 3    2 b c 2 c a 2 a b 2 ThuVienDeThi.com (*) Có ab  bc  ca  nên b  c   a  b  c  2(ab  bc  ca)  a  (a  b  c)  a  S  a 0.25 S  a  b  c S  (a  b  c)  3(ab  bc  ca )   S  a b c 3    2 b c 2 c a 2 a b 2 a b c 3   2 2 S a S b S c Khi aS bS cS 3   2 2 S S a S b S c  a3 b3 c3 3  a   b  c  S 2 2 2 S a S b S c a3 b3 c3 3   2  2 S  S S a S b S c a4 b4 c4 3    S  S 3 aS  a bS  b cS  c Lại có theo Cauchy-Schazw a4 b4 c4 (a  b  c )2    aS  a bS  b3 cS  c3 S (a  b  c)  (a  b3  c3 ) S (a  b  c )2 S ( S  2) S ( S  2)    S  (a  b  c)(a  b3  c3 ) S  ( S  2) 4S  0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (Vì (a  b  c )  ( a a  b b3  c c3 )  (a  b  c)(a  b3  c3 ) ) Ta chứng minh S ( S  2) 3 ( S  2) 3  S  S  1  S 2 4( S  1) 4( S  1) 0.25  S  3S  3   ( S  3)(2 S  3S  3)   ( S  3) (2 S  3)  (luôn S  3) Vậy BĐT (*) chứng minh, dấu "=" xảy a  b  c  5 x  xy  y  (1)  (2.0) Tìm m để hệ  có nghiệm thực m (2) 2 x  xy  y  m 1  Có 5 x  xy  y  5 x  xy  y  2m   2   x  xy  y      m m 2 m 1 m 1 2 x  xy  y  4 x  xy  10 y  m 1  m 1  +) Điều kiện cần: Giả sử ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ  x0  x0 y0  y0  ( x0  y0 )   m  1 m 1 Do m  1 điều kiện cần để hệ cho có nghiệm 5 x  xy  y  (1) m +) Điều kiện đủ: m  1   1  , nên hệ  2 m 1 m 1 (2) 2 x  xy  y  ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 5 x  xy  y   có nghiệm ( x0 ; y0 ) ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ  m 2 x  xy  y   m 1  2 2 5 x  xy  y  5 x  xy  y    ( x  y)2   x  y Xét hệ   2 2 x  xy  y  4 x  xy  10 y  Thay x  y vào (1) ta y  1 3  y    ( x; y )  ( ; ); ( x; y )  ( ;  ) 25 5 5 Vậy m  1 giá trị cần tìm 0.25 0.5 0.25 IV Có số tự nhiên gồm chữ số khác hai chữ số kề khơng (4.0) (2.0) số lẻ? Gọi số A  a1a2 a3 a4 a5 a6 Từ giả thiết suy A có hoặc chữ số lẻ 0.25 TH1: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Số số A C51 P5  600 0.25 +) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Số số A 4.(C C ) P5  2400 Tổng có: 600 + 2400 = 3000 số số A có chữ số lẻ 4 0.25 TH2: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 chẵn Vậy số số A 5.5.(C41C43 ) P4  9600 +) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ 0.25 a2 a3 a4 a5 a6 Vậy số số A 4.(C52 6.P2 ) A43  11520 Tổng có: 9600 + 11520 = 21120 số số A 0.25 TH3: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ a3 a4 a5 a6 Vậy số số A 5.5.(C42 3.P2 ) A42  10800 +) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn vị trí khơng kề số lẻ a2 0.25 a3 a4 a5 a6 Vậy số số A 4.(C 1.P3 ) A  2880 Tổng có: 10800 + 2880 = 13680 số số A 0.25 Tóm lại có: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số số A 0.25 Viết phương trình cạnh BC (2.0) Gọi K trung điểm HD Ta chứng minh AK  KM Thật gọi P trung điểm AH Ta có PK song song nửa AD  PK  AB Mà AH  KB P trực tâm tam giác ABK  BP  AK mà BPKM hình bình hành nên KM song song BP  AK  KM Phương trình đường thẳng KM: qua M ( ; 3) vng góc với AK: x  y   ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 nên MK có pt: x  y  15 0 0.25 Do K  AK  MK  Toạ độ K ( ; 2) Do K trung điểm HD mà H(1; 2) nên D(0; 2)  pt BD: y – = AH qua H(1; 2) vng góc với BD nên AH có PT: x - = A  AK  AH  A(1; 0) BC qua M ( ; 3) song song với AD nên BC có PT là: 2x + y – 12 = 0.25 0.25 V (4.0) (2.0) Tính dt(ABC), C/m : R  972V A a N I c S C b M B Ta có V  0.25 abc (1); Gọi h độ dài đường cao kẻ từ S hình chóp SABC ta có: Gọi diện tích tam giác ABC dt(ABC) ta có: dt ( ABC )  1 1    (2) h a b c 3V (3) h a 2b  b c  c a 2 Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC M , N trung điểm BC , SA Từ (1), (2), (3) ta có dt ( ABC )  1 SA  SB  SC   a  b2  c2 Khi R  IS  SN  SM  4 2 0.25 0.25 0.25 0.25 27 a 2b c Theo Cơsi ta có: R  (4) 0.5 972V Từ (4) (1) suy R  Vậy ta có điều phải chứng minh 0.25 ThuVienDeThi.com Viết phương trình mặt phẳng Q  qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng P  (2.0) góc nhỏ Mặt phẳng Q  qua điểm B nên có phương trình dạng ax  b  y    cz  Q  a, b, c  ฀ , a  b  c  0 2.00 0.25 Mà điểm A thuộc Q  nên a.1  b 2    c 1   a  2b  c 1 0.25  Một véctơ pháp tuyến mặt phẳng P  : nP  2; 1; 2   Một véctơ pháp tuyến mặt phẳng Q  : nQ  a; b; c  0.25 Gọi  góc tạo hai mặt phẳng P , Q  Khi ta có   nP nQ 2a  b  2c cos     2  nP nQ a  b  c 0.25 Thế a  2b  c 1 vào 2  ta cos  3b  b 5b  4bc  2c 5b  4bc  2c +) Nếu b   cos =0   =900 +) Nếu 1 1    b   cos  2 c c c c c  2   4   2   4     1  b b b b b  c Vậy góc  nhỏ cos    1  c  b, a  b Do phương trình mặt b phẳng Q  có dạng : x  y  z   Chú ý: 1) Nếu học sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực tổ chấm 3) Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.25 0.25 ...SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 Mơn thi: TỐN LỚP 12 THPT Hướng dẫn chấm Đề thức Câu Ý I (4.0) (2.0) (Hướng dẫn biểu điểm chấm... 4 0.25 TH2: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 chẵn Vậy số số A 5.5.(C41C43 ) P4  9600 +) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ 0.25 a2 a3... 4.(C52 6.P2 ) A43  11520 Tổng có: 9600 + 11520 = 2 1120 số số A 0.25 TH3: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ a3 a4 a5 a6 Vậy