Chuyên đề Phân tích những sai lầm khi giải toán42776

GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà chuyên phân tích Sai lầm giải toán Chỉ sai lầm lời giải học sinh điều cần thiết song điều quan trọng phân tích đợc nguyên nhân dẫn đến sai lầm Việc thấy đợc sai lầm có ý nghĩa đặc biệt mặt phơng pháp chúng giúp học sinh chống lối hiểu hình thức, sâu vào chất vấn đề Những sai lầm hạn chế lực học toán học sinh, qua việc phân tích sai lầm, ngời giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện đợc sai lầm, thấy đợc nguyên nhân dẫn đến sai lầm Từ học sinh tránh đợc sai lầm, nắm kiến thức cách vững Chuyên đề phân tích sai lầm có tính điển hình mà học sinh thờng mắc 1.1 Những khó khăn sai lầm học sinh thờng mắc ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ * Do không nắm vững kiến thức có nhiều học sinh dùng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm số đà mắc sai lầm nh sau: Ví dụ Với toán: '' Tìm GTLN GTNN hàm số: y = x3 trªn [-2 ; 0] '' x +1 x (2 x + 3) + Mét sè häc sinh ®· gi¶i nh sau: y' = ( x + 1)2 Lập bảng biến thiên y với x [-2 ; 0] x -2 y' y - 3/2 - 0 + 27 Từ bảng biến thiên ta cã: y = 8; = max [ ] [ ] −2;0 −2;0 27 + Sai lÇm: Häc sinh đà quên không xét tập xác định hàm số đà lập sai bảng biến thiên Đây sai lầm thờng gặp học sinh lập bảng biến thiên hàm số dới dạng phân thức DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà + Lời giải đúng: Bảng biến thiên hàm số y = x -2 y' - y x3 Víi x ∈ [-2 ; 0] lµ: x +1 -1 + + +∞ 27 -∞ VËy GTLN vµ GTNN hàm số không tồn * Cũng có nhiều học sinh không hiểu định nghĩa nên sau đà lập đợc bảng biến thiên nhng kết luận lại sai Ví dụ Với toán: ''Tìm GTLN, GTNN cđa hµm sè: y = f(x) = x − x − '' + Cã häc sinh gi¶i nh sau: ⎧x ≥ ⇒ x≥5 ⎩x − ≥ §iỊu kiƯn ⎨ f'(x) = x−5 x < víi ∀x > x( x − 5) lim f(x) = lim x→+∞ x→+∞ x + x =0 Bảng biến thiên: x + f'(x) f(x) Do ®ã: f(x) = f(5) = max [ ] 5; +∞ 5; f(x) = [ ] 5;+ + Sai lầm: Học sinh không hiểu rõ định nghĩa, nhầm lẫn hai khái niệm minf(x) limf(x) nên bảng biến thiên lập nhng kết luận sai DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà +Lời giải Căn vào bảng biến thiên ta thÊy < f(x) ≤ víi ∀x ≥ GTLN f(x) GTNN f(x) không tồn * Khi sử dụng phơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm số không nắm vững khái niệm GTLN, GTNN nên nhiều học sinh nhầm lẫn khái niệm cực đại, cùc tiĨu víi GTLN, GTNN cđa hµm sè VÝ dơ Với toán : '' Tìm GTLN, GTNN cđa hµm sè: y = f(x) = x + x + đoạn [-1;1]'' + Cã häc sinh gi¶i nh sau: y' = x + x ⎡x = y' = x = Bảng biến thiên: x -1 y' + 0 - + 12 y Ta cã: f(x) = ; f(x) = max 12 [ ] [ ] −1;1 −1;1 + Sai lÇm: Häc sinh đà nhầm lẫn toán tìm GTLN, GTNN với toán tìm cực đại cực tiểu hàm số tơng ứng giá trị cực đại cực tiểu hàm số y [-1;1] nhng 12 GTLN, GTNN y [-1;1] Học sinh đà quên bớc quan trọng không so sánh cực trị f(x) với giá trị f(-1) f(1) DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà + Lời giải đúng: Xét hàm số y = f(x) = x + x + liªn tơc trªn ®o¹n [-1;1] ⎡ x = ⇒ f (0) = ⎢ f'(x) = x + x ; f'(x) = ⇔ ⎢ ⎢ x = −1 ⇒ f ( −1) = ⎢⎣ 12 2 Bảng biến thiên: x -1 - f'(x) + 0 - + 12 f(x) 17 6 VËy 1 f(x) = max [ ] −1;1 17 ; f(x) = [ ] −1;1 * Mét sai lÇm điển hình mà nhiều học sinh thờng mắc chuyển đổi không tơng đơng toán cần phải đổi biến số để tìm GTLN, GTNN Ví dụ Với toán : + sin x + cos x '' '' Tìm GTLN GTNN cđa hµm sè y = + sin x + cos x + Mét sè häc sinh gi¶i nh sau: sin4 + cos4x = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x = - sin2 2x sin6x + cos6x = (sin2x)3 + (cos2x)3 = sin4x + cos4x - sin2xcos2x =1- sin22x − sin 2 x 3sin 2 x − VËy y = = 2sin 2 x − sin 2 x Đặt t = sin22x ta cã y = f(t) = 3t − xác định với t 2t DeThiMau.vn f'(t) = GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà −8 ( 2t − 8) < ⇒ f(t) nghịch biến khoảng (- ; 4) (4; +) Bảng biến thiên: - x + f'(x) - + f(x) +∞ -∞ VËy kh«ng tồn GTLN, GTNN f(t) không tồn GTLN, GTNN y + Sai lầm: Học sinh đà chuyển toán không tơng đơng cho GTNN, GTNN cđa f(x) trïng víi GTLN, GTNN cđa g(t) víi t R nên sau đổi biến đà không tìm miền xác định f(t) + Lời giải đúng: Biến đổi nh ta đợc y = 3sin 2 x − 2sin 2 x − Đặt t = sin22x t [0; 1] Ta cã: f(t) = f'(t) = 3t − liªn tục đoạn [0; 1] 2t 8 ( 2t − 8) < víi ∀ t ∈ [0; 1] f(t) nghịch biến [0; 1] Ta lại có: f(0) = f(1) = Bảng biến thiên: t - + f'(t) f(t) Từ bảng biến thiên ta có: max f ( x) = f (0) = ; f ( x) = f (1) = R R DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà * Ngoài sai lầm điển hình giải toán tìm GTLN, GTNN phơng pháp đạo hàm học sinh hay mắc sai lầm không nắm vững nội dung kiến thức liên quan nên thờng bỏ xót trờng hợp Ví dụ Với toán: '' Cho hµm sè y = x − 2mx + víi m > T×m GTNN cđa y với x [0; m]'' +Có học sinh đà giải nh sau: ⎡x = ⎢ y' = ⇔ ⎢ x = m ⎢x = − m ⎣ y' = 4x ( x − m ) ; B¶ng biÕn thiªn: x -∞ y' - m - 0 + +∞ m - + y VËy y= y( m ) = - m2 [0;m] + Sai lầm: Học sinh đà cho với m > m < m nên đà bỏ xót trờng hợp < m m m + Lời giải đúng: Sau lập đợc bảng biến thiên cần xét hai trờng hợp: - NÕu m ≤ m ⇔ < m ≤ th× y = y(m) = m [ ] - 2m3 + 0;m - NÕu m > m ⇔ m > th× y = y( [ ] m ) = - m2 0;m VËy kÕt là: m - 2m3 + < m ≤ y = ⎨ [0;m] ⎪⎩ - m ⇔ m > KÕt ln Nh− vËy chóng ta thÊy r»ng sư dơng phơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm số học sinh thờng mắc sai lầm cha hiểu rõ định nghĩa GTLN, GTNN DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà cha nắm cách tìm GTLN, GTNN công cụ đạo hàm; nhầm lẫn khái niệm cực đại, cực tiểu với GTLN, GTNN hàm số Đặc biệt với toán tìm GTLN, GTNN hàm số mà phải tiến hành đổi biÕn häc sinh th−êng bá qua bíc quan träng lµ tìm miền xác định hàm số sau đổi biến Học sinh mắc sai lầm không nắm vững kiến thức toán học liên quan đến toán tìm GTLN, GTNN Ngoài sai lầm đợc phân tích sử dụng phơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN học sinh gặp số khó khăn lúng túng giải toán tìm GTLN, GTNN đợc cho dới dạng hình học hay tình thực tiễn Ví dụ nh toán: " Chứng minh hình chữ nhật nội tiếp hình tròn bán kính R hình vuông hình có chu vi lớn '', hay nh toán " Nhà máy cá hộp sản xuất hộp hình trụ tròn xoay kín hai đầu mà thể tích V cm3 Muốn tốn vật liệu làm hộp kích thớc hộp phải nh nào?'' 1.2 Những khó khăn số sai lầm học sinh ứng dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức * Khi sử dụng phơng pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức học sinh thờng gặp khó khăn sau : - Để giải đợc toán chứng minh BĐT phơng pháp đạo hàm học sinh cần phải nắm kiến thức đạo hàm ứng dụng (nh xét tính đơn điệu, tìm cực trị hàm số, xét chiều biến thiên hàm số, xét tính lồi lõm đồ thị hàm số,) Trong kiến thức hoàn toàn học sinh nên vËn dơng chóng häc sinh cßn rÊt lóng tóng - Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số sư dơng GTLN, GTNN cđa hµm sè hay sư dơng định lý Lagrange để chứng minh BĐT việc xác định đợc hàm số toán công việc khó khăn nhiều học sinh Sau lµ mét sè vÝ dơ minh häa VÝ dơ Cho n số nguyên n Chứng minh r»ng: nn+1 > (n+1)n Gi¶i: Ta sÏ sư dơng tính đơn điệu hàm số để chứng minh BĐT Nhng BĐT cha thấy xuất hàm số f(x) Việc xác định hàm số f(x) tơng đối khó khăn với học sinh DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà Để xác định đợc hàm số f(x) ví dụ cần phải thực sè b−íc biÕn ®ỉi: Ta cã: nn+1 > (n+1)n ⇔ (n+1) lnn > nln(n+1) Vậy xác định đợc hàm sè f(x) = n +1 n > ln(n + 1) ln n x víi x ≥ ln x XÐt tính đơn điệu hàm số suy ®iỊu ph¶i chøng minh VÝ dơ Chøng minh r»ng nÕu < b < a th×: a −b a a −b (1) < ln < a b b Gi¶i: Với toán ta sử dụng định lý Lagrange để chứng minh đẳng thức (1) điều quan trọng phải nhận đợc hàm số f(x) học sinh gặp khó khăn trớc hết cần phải hiểu rõ định lý Lagrange biết đối chiếu BĐT cần phải chứng minh với điều kiện định lý Lagrange để nhận hàm số f(x) Để dễ nhận đợc hàm số f(x) học sinh cã thĨ biÕn ®ỉi nh sau: (1) ⇔ 1 (a − b) < ln a − ln b < ( a b) a b Từ xác định đợc hàm số f(x) = ln(x) với x > Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange để rút điều phải chứng minh Ví dụ Cho a, b tháa m·n ®iỊu kiƯn a + b = Chøng minh r»ng a4 + b4 ≥ Trong nh÷ng toán chứng minh BĐT có từ hai biến trở lên học sinh khó khăn xác định hàm số Đây toán chứng minh BĐT có tới hai biÕn, hai biÕn nµy rµng bc víi theo điều kiện đà việc xác định hàm số để xét chiều biến thiên tơng đối khó với học sinh Với toán đặt: x = a b = - x Xác định đợc hàm số f(x) = x4 + (2 - x)4 R Từ bảng biến thiên hàm số f(x) mà rút đợc điều phải chứng minh * Ngoài khó khăn trên, sử dụng phơng pháp đạo hàm vào chứng minh BĐT học sinh hay mắc số sai lầm không nắm vững kiến thức đạo hàm DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà liên quan đến việc xét tính đơn điệu, tìm cực trị hàm số, hay dùng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN hàm sốVà chí mắc sai lầm không nắm vững số tính chất BĐT Sau số ví dụ thể sai lầm Ví dơ Chøng minh r»ng víi ∀ x > sinx < x + Một số học sinh giải nh sau: XÐt f(x) = x - sinx víi x > Ta cã: f'(x) = - cosx ≥ ⇒ f(x) ®ång biÕn víi ∀ x > Tõ x > ⇒ f(x) > f(0) ⇒ x - sinx > - sin0 = VËy sinx < x víi ∀ x > + Sai lÇm: f(x) đồng biến miền ( 0; + ) không chứa 0, nên so sánh f(x) f(0) x > + Lời giải là: Xét f(t) = t - sint trªn R f'(t) = 1- cost ≥ víi ∀ t ∈ R ⇒ f(t) đồng biến R Mà x > f(x) > f(0) ⇒ x - sinx > - sin0 = ⇒ x > sinx +Chó ý: VËy qua sai lầm cần ý cho học sinh: Nếu f(x) đồng biến với x [a;b] a x1 < x2 ≤ b th× f(x2) > f(x1) VÝ dơ Chøng minh r»ng nÕu x > -1 th× xex > −1 e + Cã häc sinh gi¶i nh sau: Ta cã: f1(x) = x vµ f2(x) = ex hàm số đồng biến R f(x) = xex tích hai hàm số đồng biến nên đồng biến R Từ x > -1 f(x) > f(-1) ⇒ xex > −1 e +Sai lÇm: Học sinh đà mắc sai lầm cho tích hai hàm đồng biến hàm đồng biến + Lời giải đúng: Xét hàm số f(x) = xex với x > -1 Ta cã f'(x) = ex(x+1) DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà Bảng biến thiên: x -∞ +∞ -1 f'(x ) - + +∞ f(x) + - e Từ bảng biến thiên ta có: x > -1 th× f(x) > f(-1) ⇒ xex > e + Chú ý: Qua sai lầm cần ý cho học sinh rằng: hàm đồng biến nhận giá trị dơng kết luận đợc tích hai hàm số ®ång biÕn lµ mét hµm sè ®ång biÕn VÝ dơ Chøng minh r»ng nÕu x ≥ y > th× x + y ≥ y+ x + Mét sè häc sinh gi¶i nh sau: Víi x ≥ y > ta cã x ≥ y vµ x≥ y Trõ tõng vÕ ta cã: x − x ≥ y − y ⇒ x + y ≥ y+ x + Sai lầm: Học sinh đà mắc sai lầm trừ vế hai BĐT chiều + Lời giải đúng: XÐt f(t) = t - t víi t > f'(t) = - t = t −1 > Do ®ã f(t) ®ång biÕn víi t > t Mµ x ≥ y > nªn f(x) ≥ f(y) ⇒ x − x ≥ y − y ⇒ x + y ≥ y+ x + Chú ý: Qua sai lầm cần ý cho häc sinh: ⎧a ≥ b ⇒ a−c ≥ b−d ⎨ c d * Ngoài sai lầm khó khăn nguyên nhân dẫn đến việc học sinh không giải đợc toán tìm GTLN, GTNN chứng minh BĐT phơng pháp đạo hàm mắc sai lầm bớc tính đạo hàm, giải phơng trình, thực phép biến đổi đồng 10 DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 1.3 Sai lầm giải toán tam thức bậc hai Ví dụ1: Tìm m để phơng trình: (m-1)m2 + (2m-1)x + m + = cã hai nghiƯm ph©n biƯt Lêi giải >0 Phơng trình có hai nghiệm phân biÖt ⇔ (2m-1)2-4(m-1) (m+5)>0 ⇔ - 20m +21>0 ⇔ m< 21 20 Ví dụ 2: Tìm m để biểu thức (m + 1) x − 2( m − 1) x + 3m − cã nghÜa víi mäi x Lêi gi¶i BiĨu thøc cã nghÜa víi mäi x ⇔ f(x) = (m+1)x2-2(m-1)x+3m-3 ≥ 0∀x ⎧m > −1 ⎧m > −1 ⎧a > ⎪ ⇔ ⎨⎡m ≥ ⇔ m ≥ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩2(m − 1)(m + 2) ≥ ⎩∆ ' ≤ ⎪⎢m ≤ −2 ⎩⎣ VÝ dô 3: ⎧x + y = m BiÕt r»ng (x;y) nghiệm hệ phơng trình 2 ⎩ x + y = −m + T×m GTLN vµ GTNN cđa F = xy-6(x + y) Lêi gi¶i 2 2 Ta cã x + y = −m + ⇔ ( x + y ) − xy = −m + ⇔ xy = m − Do ®ã: F = m − 6m − = (m − 3) − 12 ≥ −12 VËy MinF = -12 ⇔ m=3 F GTLN F hàm bậc hai víi hƯ sè a = 1>0 VÝ dơ 4: Tìm m cho phơng trình: x (2m + 1) x + m = chØ cã nghiệm thoả mÃn x > Lời giải Cách 1: Phơng trình có nghiệm = Khi phơng trình có nghiệm x1 = x = S Do phơng trình cã mét nghiÖm x > ⎧∆ = ⎪ ⇔ ⎨S ⎪⎩ > ⎧(2m + 1) − 4m = ⎪ ⇔ ⎨ 2m + >3 ⎪ ⎩ ⎧4 m + = ⎪ ⇔⎨ ⎪⎩m > ⎧ ⎪⎪m = − ⇔⎨ ⎪m > ⎩⎪ Vậy giá trị m thoả mÃn yêu cầu toán Cách 2: Xét hai trờng hợp 11 DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà ⎧(2m + 1) − 4m = m=− ⎧∆ = ⎧4 m + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ TH1: 33 ⎪m > ⎪⎩ > ⎪ ⎪⎩m > Suy giá trị m thoả mÃn trờng hợp m − m + ≤ ⎧af (3) ≤ ⎪ TH2: x1 ≤ < x2 ⇔ ⎪⎨ S ⇔ < m ≤ 3+ ⇔⎨ ⎪⎩ > ⎪m > ⎩ VËy víi < m ≤ + th× phơng trình có nghiệm thoả mÃn x >3 Cách đúng, cách sai? Nguyên nhân cách khắc phục? Ví dụ 5: Tìm m cho phơng trình mx2 - 2(m+1) x + m + = nghiệm khoảng (-1; 1) Lời giải Phơng trình nghiệm khoảng (-1; 1) ⇔ −1 < x1 ≤ x2 < ⎧m ≥ −1 ⎪ ⎧(m + 1) − m(m + 1) ≥ ⎧∆ ≥ ⎪ ⎡m > ⎪ ⎪af (−1) > ⎪⎢ ⎪⎪m(4m + 3) > ⎪⎪ ⎪ ⎢m < − ⇔ ⎨⎣ ⇔ −1 ≤ m < − ⇔ ⎨af (1) > ⇔ ⎨m(−1) > 4 ⎪m < ⎪ ⎪ S m + ⎪ ⎪− < < ⎪− < 0 s 95 + 96 + 97 - 95 =1> -95 = Suy 95< x1< x2 (§PCM) 1.4 Sai lầm giải phơng trình bất phơng trình Ví dụ1: Giải phơng trình 3x3- 6x2- 9x = 9(x2- 2x- 3) (*) Lêi gi¶i 2 PT(*) ⇔ 3x( x − x − 3) = 9( x − x − 3) 12 DeThiMau.vn GV:TrÞnh Quang Hoµ-THPT HiƯp Hoµ ⇔ 3x = ⇔ x = Ví dụ2: Giải phơng trình x + 3x − + x + = Lêi gi¶i ⎧− x + x − ≥ ⎧( x − 1) ( x + 2) ≤ ⎧x + ≤ §iỊu kiƯn để thức có nghĩa là: x ≥ −1 ⎩x + ≥ ⎩ x Vậy không tồn giá trị x để hai thức đồng thời có nghĩa nên phơng trình vô nghiệm Ví dụ3: Giải phơng trình x − - x + =x+1 Lêi gi¶i ⎧x − ≥ ⎧( x − 1)( x + 1) ≥ ⎧x − ≥ ⇔ x ≥1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩x + ≥ ⎩x + ≥ ⎩x + ≥ Khi phơng trình có dạng ( x 1)( x + 1) - x + = x+1 V× x ≥ nªn x + >0,chia hai vÕ Điều kiện thức có nghĩa: phơng trình cho x + ta cã: x − -1< x + Vì x nên x − ≤ x + Suy x − -1< x + Vậy phơng trình vô nghiệm Ví dụ4: Giải biện luận phơng trình a-5+ 2a + =0(*) theo tham sốa x2 Lời giải Điều kiƯn x ≠ Khi ®ã (*) ⇔ (a − 5)( x − 2) + 2a + = ⇔ (5 − a )( x − 2) = 2a + ⇔ (5-a)x = 15 NÕu a ≠ x= 15 5a Nếu a=5 phơng trình vô nghiệm Vậy toán giải hay sai?Nguyên nhân cách khắc phục nó? Ví dụ5: Giải phơng trình : 2x+ x =16(*) Lời giải Điều kiện x ≥ Ta cã: ⎡x = (*) ⇔ x − =16 - 2x ⇔ x-3 = 256 - 64x + 4x ⇔ 4x - 65x + 259 =0 ⇔ ⎢ 37 ( tho¶ m·n ⎢x = 37 x 3).Vậy phơng trình có nghiệm x=7 x= Ví dụ6: Giải phơng trình: x − + x − =1 Lời giải 13 DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 PT ⇔ ( x − + x − ) =1 ⇔ 3x-2+3 x − x − ( x − + x − )=1 ⇔ 3x - +3 ( x − 1)(2 x − 1) =1(v× x − + x − =1) ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) =-(x-1) ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) = −( x − 1) ⇔ x ( x − 1) = 3 3 3 ⎡x = ⇔⎢ ⎣x = VÝ dơ7: Gi¶i bất phơng trình x 2x < (*) x+5 Lêi gi¶i BPT(*) ⇔ x + < x − x − ⇔ ( x + 5) < x − x − ⇔ 12 x + 28 < ⇔ x < Ví dụ8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm x + + − x + ( x + 1)(4 − x) =m(*) Lời giải Đặt t= x + + x (t ≥ 0), ta cã ( x + 1)(4 x) = Khi phơng trình (*) viết thành t+ t2 −5 t2 −5 =m ⇔ t + 2t − − 2m = (**) §Ỉt f(x)=t2+2t-5-2m.PT(*)cã nghiƯm ⇔ PT(**)cã nghiƯm ≤ t1 ≤ t ⎧ ⎪∆' ≥ ⎪ ⇔ ⎨af (0) ≥ ⇔ ⎪s ⎪ ≥0 ⎩2 ⎧2m + ≥ ⎪ ⎨− − 2m ≥ V« nghiệm Vậy giá trị m để phơng trình vô nghiệm Vậy toán giải hay sai? Nguyên nhân cách khắc phục nó? Vậy phơng trình có nghiệm x=2 Ví dụ9: Giải phơng trình log2x2=2log2(3x+4) (*) Lời giải x ⎧x > ⎪ §iỊu kiƯn: ⎨ ⇔⎨ ⎩3 x + > ⎪⎩ x > − Khi ®ã PT (*) ⇔ log x = log (3 x + 4) ⇔ log x = log (3x + 4) ⇔ x = 3x + ⇔ x = −2 14 DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà Giá trị không thoả mÃn điều kiện đà đặt nên phơng trình vô nghiệm Ví dụ10: Tìm m để phơng trình lg(x2+2mx)- lg(x-1) = 0(*) có nghiệm Lời giải Cách1: PT (*) ⇔ lg( x + 2mx) = lg( x − 1) ⇔ x + (2m − 1) x + = (**) Phơng trình có nghiệm nhÊt ⇔ PT(**) cã nghiÖm nhÊt ⇔ ∆ = ⇔ (2m − 1) − = ⇔ 4m − 4m − = ⇔ m = − hc m = 2 C¸ch 2: ⎧x > PT(*) ⇔ lg( x + 2mx) = lg( x − 1) ⇔ ⎨ ⎩ x + (2m − 1) x + = (**) Phơng trình có nghiệm PT(**)cã nghiÖm nhÊt x>1 ⎧⎡ ⎧⎡ 1 ⎪⎢m = − ⎪ ⎢m = − ⎪⎢ ⎪⎢ ⎧∆ = ⎪ ⎪⎢ ⎪ 3 V« nghiƯm ⇔ ⎨s ⇔⎨ m= ⇔ ⎨ ⎢m = 2 ⎪⎩ > ⎪⎢⎣ ⎪⎢⎣ ⎪1 − 2m ⎪ > ⎪m < − ⎪ ⎩ Vậy cách đúng?Cách sai? Nguyên nhân cách khắc phục? Ví dụ11: Giải bất phơng trình x.ex> (1) Lời giải Ta có f1(x)=x f2(x) = exlà hàm đồng biến R f(x) = x.ex tích hai hàm đồng biến nên đồng biến R Ta có f(-1) = -1(e-1) = −1 Do ®ã(1) ⇔ f(x)> f(-1) e ⇔ x>-1 1.5.Sai lầm tính tích phân Ví dụ12 CMR: F(x) = - (1+x)e-x nguyên hàm hàm số f(x) = xe-x? Từ hÃy tìm nguyên hàm hàm số g(x) = (x-1)e-x? Bạn A làm nh sau: ’ F (x) = -e-x+(1+x)e-x = x.e-x = f(x) F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Ta cã: ∫ g ( x)dx = ∫ ( x − 1)e − x dx = ∫ x.e − x dx − ∫ e − x dx = [− (1 + x)e − x + c ] - ⎣− e x + c = -(1+x)e-x+e-x=-xe-x Vậy toán sai đâu? Nguyên nhân cách khắc phục? 15 DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà Phân tích:Sai lầm lời giải tơng tự nh sai lầm giải hệ phơng trình lợng giác lớp 11: ⎧ x = + kπ ⎧ x + y = kπ ⎪ ⎧sin( x + y ) = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ k∈z ⎨ π − = cos( ) x y π − = + x y k π ⎩ ⎪⎩ ⎪ ⎪⎩ y = − hệ trên, viết chung ký hiệu k với k z cho hai phơng trình nên trừ vế hai phơng trình đà làm triệt tiêu số hạng k dẫn tới nghiệm hệ Đối với việc lấy nguyên hàm vậy, c¸c em hay viÕt h»ng sè C cho mäi phÐp tính nguyên hàm nên dẫn tới sai lầm Ta cần sửa lại đoạn cuối lời giải Lời giải ®óng: ∫ g ( x)dx = ∫ ( x − 1)e − x dx = ∫ x.e − x dx − ∫ e − x dx = [− 1(1 + x)e − x + C1 ]- [− e − x + C ] =-1(1+x)e-x+C1- C2= -xe-x+C (víi C = C1 - C2 ) VÝ dơ13: TÝnh tÝch ph©n I= dx x Bạn B làm nh sau: Theo c«ng thøc Newton- Leibnitz: 2 dx d ( x − 1) =∫ = Ln x − = Ln − Ln − = Ta cã I = ∫ x −1 x −1 Vậy toán sai đâu? nguyên nhân cách khắc phục? Phân tích: gián đoạn x=1 [0;2] nên không sử dụng đợc công thứcNewtonx 1 Leibnitz để tính tích phân nh đợc Vì đoạn [0;2] hàm số f(x)= không liên tục x dx không tồn tích phân I = ∫ x −1 Hµm sè f(x) = VÝ dơ14: TÝnh tÝch ph©n I = ∫ ( x + 1) dx Bạn C làm nh sau: §Ỉt u = (x+1) ⇒ du = 2( x + 1)dx ⇒ dx = du du = 2( x + 1) u Víi x=-2 th× u = -1 −2 udu = ∫ u du=0 21 u Víi x= th× u=1 Do ®ã I = ∫ ( x + 1) dx = Vậy toán sai đâu? Nguyên nhân cách khắc phục? Phân tích : Nhận thấy u =(x+1)2 hàm số đơn điệu đoạn [ 2;0] nên đổi biến, đổi cận nh lời giải đợc 16 DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà Hơn lời giải sai lÇm viÕt dx = du du = 2( x + 1) u Nh− vËy ®· tõ u = (x+1)2 suy x+1= u ,điều viết đợc x Lời giải đúng: 0 C¸ch 1: Ta cã I= ∫ ( x + 1) dx = I = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) = −2 −1 −2 −2 −2 −1 ( x + 1) 1 = + = −2 3 C¸ch 2:Ta cã I= ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x + 1) dx −1 XÐt I1= ∫ ( x + 1) dx, ®Ỉt u= (x+1)2 −2 ⇒ du = 2( x + 1) dx Do x ∈ [− 2;−1] nªn x+1 ≤ du Khi x=-2 th× u = -1; Khi x=-1 th× u= −2 u −1 udu u u u1 =∫ = du = Do ®ã I1= ∫ ( x + 1) dx = − ∫ 3 −2 u VËy x+1 = - u ⇒ dx = XÐt I2= ∫ ( x + 1) dx T−¬ng tù nh− trªn ta cã I2= −1 VËy I=I1+I2= 3 VÝ dơ15: XÐt tÝch ph©n I = ∫π cos x − cos xdx − Bạn D làm nh sau: ;0 I ≥ ⎣ ⎥⎦ HiĨn nhiªn, ta cã: cos x − cos x ≥ ∀x Mặt khác I= cos x − cos x dx= − = ∫ −π ∫π cos x − (2 cos x − 1) dx − − cos x dx = ∫ sin xdx = − cos x − π = −1 −π 2 Vậy -1 (!) Vậy toán sai đâu? Nguyên nhân cách khắc phục? Phân tích: Lời giải sai lầm biến đổi biểu thức cos x =sinx Nhí r»ng: A = A Lêi giải đúng: Ta có :I= cos x − cos x dx= ∫π cos x − (2 cos x − 1) dx 17 DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà = ∫ −π − cos x dx= ∫ sin x dx = ∫ sin xdx = cos x − π = −π −π 2 0 Chú ý: toán tơng tù: π 2π ∫ 1 + sin xdx 2 ∫ π − sin x dx −π ∫ + cos x dx VÝ dơ16 : XÐt tÝch ph©n I = ∫ cot gxdx Khi tÝnh tÝch ph©n I = ∫ cot gxdx Mét häc sinh lµm nh− sau: cos x dx , áp dụng phơng pháp tìm nguyên hàm phÇn b»ng sin x cos x ⎧ ⎧ u = du = dx cách đặt sin x sin x ta đợc: dv = cos xdx ⎪⎩v = sin x Ta cã : I = ∫ cot gxdx = ∫ I= cos x sin x cos x sin x + ∫ dx.HayI = + I ⇒ = 1(!) dx = + ∫ sin x sin x sin x VËy toán sai đâu? Nguyên nhân cách khắc phục? Phân tích lời giải sai Vì nguyên hàm hàm số khác số, nên áp dụng phơng pháp tìm nguyên hàm phần mà không ý đến hằn số số dẫn tới điều vô lý 0=1(!) Chú ý: Tơng tự sai lầm em dẫn tới điều vô lý Mọi số tự nhiên Giả sử: F(x) nguyên hàm f(x).Ta cã I= ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Trong C số tuỳ ý, lần lợt cho C số tự nhiên tuỳ ý m, n ta đợc: I =F(x)+ m =F(x)+ n ⇒ m = n(!) VËy mäi sè tù nhiªn ®Ịu b»ng sao? VÝ dơ17: π TÝnh tÝch ph©n I = dx ∫ + sin x 2dt x 1+ t dx dt −1 −2 Do ®ã I = ∫ +C = 2∫ = 2∫ (1 + t ) − d (1 + t ) = +C = x 1+ t + sin x (1 + t ) + tg π π −2 −2 dx Theo c«ng thøc Newton- Leibnitz, ta cã: I = ∫ = = + x π + tg 0 + sin x + tg + tg 2 Ta lµm nh sau: Đặt t = tg dx= Vì tg không xác định nên tích phân cần tính không tồn Vậy toán sai đâu? Nguyên nhân cách khắc phục? 18 DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà Phân tích: Đây sai lầm nhiều em học sinh hay dùng công thức lợng giác ®Ĩ biĨu diƠn sinx, cosx, tgx qua tg π x Việc tg không xác định suy đợc tích phân đà cho không tính đợc phơng pháp Lời giải đúng: dx I= ∫ = + sin x ∫0 π dx (sin x x + cos ) 2 = ∫ 20 x π π π π dx = tg( − ) = tg − tg (− = x π 4) cos ( ) Ví dụ18: Xét hypebol xác định phơng trình:y2- x2 + = (H) TH1: Nếu cắt (H) đờng thẳng x = gọi giao điểm chúng M,N Thể tích V1 khối tròn xoay tam giác cong MAN quay xung quanh trục ox tạo thành 2 1 lµ: V1= π ∫ y dx = π ∫ ( x − 1)dx = π ( x3 − x) = π 3 TH2:B©y giê cắt (H) hai đờng thẳng x=-2, x=2 thể tích V2 khối tròn xoay tam giác cong MAN vµ M’A’N’quay xung quanh ox lµ : 2 −2 −2 V2= π ∫ y dx = π ∫ ( x − 1)dx = π ( x3 − x) = π −2 3 VËy Voi cịng b»ng KiÕn −? Ph©n tÝch: Tõ PT y2-x2+1= suy hàm số y không xác định với x < Nhê h×nh vÏ ta cã −1 −2 V= π ∫ y dx + ∫ y dx = = π 19 DeThiMau.vn ... = -(1+x)e-x+e-x=-xe-x Vậy toán sai đâu? Nguyên nhân cách khắc phục? 15 DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà Phân tích: Sai lầm lời giải tơng tự nh sai lầm giải hệ phơng trình lợng giác... mắc sai lầm không nắm vững kiến thức toán học liên quan đến toán tìm GTLN, GTNN Ngoài sai lầm đợc phân tích sử dụng phơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN học sinh gặp số khó khăn lúng túng giải. .. Vì tg không xác định nên tích phân cần tính không tồn Vậy toán sai đâu? Nguyên nhân cách khắc phục? 18 DeThiMau.vn GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà Phân tích: Đây sai lầm nhiều em học sinh hay