BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC : I Chứng minh n N * ta ln có đẳng thức sau : n(n 1) n(n 1)(2n 1) 12 22 n n (n 1) 3 n n(4n 1) 12 32 (2n 1) (2n 1) n n 1.4 2.7 n.(3n 1) n(n 1) 1 n 1.2 2.3 n(n 1) n 1.2 2.5 3.8 n(3n 1) n (n 1) 2n (2n 1) n n2 10 1 n 1.2.2 2.3.2 n((n 1).2 (n 1).2n 2n(n 1).(2n 1) 11 22 42 (2n) * II Chứng minh n N ta ln có : n 2n chia hết cho n 13 chia hết cho 3 n 11n chia hết cho 2n 14 chia hết cho n 10 chia hết cho n 16 15n chia hết cho 225 n 15n chia hết cho n 10 18n 28 chia hết cho 27 2n n2 n 3 3 chia hết cho 11 2n 2 n 1 10 7.2 3 chia hết cho 3n n 1 11 5.2 3 chia hết cho 19 12 n 6n 11n 6n chia hết cho 24 13 4.32 n 32n 36 chia hết cho 64 2n 14 1 chia hết cho 35 n2 n 15 5n chia hết cho 25 n 1 n4 n 1 16 2 2 chia hết cho 23 n 17 3n chia hết cho n 1 18 40n 67 chia hết cho 64 NĂM HỌC 2009 - 2010 DeThiMau.vn BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM 19 n 3n 6n n 5n 2n chia hết cho 24 20 n.(2n 3n 1) chia hết cho n 1 n 1 21 11 12 chia hết cho 133 III Cho số thực x k 2 , k Z Chứng minh n N * , ta ln có : nx (n 1) x sin 2 sin x sin x sin nx x sin (n 1) x nx sin cos 2 cos x cos x cos nx x sin IV Cho số thực x 1 Chứng minh rắng : (1 x) n nx , n N * sin V Chứng minh với số ngun dương n, ta ln có bđt : 1 2 n n 1 1 n 1 n 3n 1 2n 1 2n 3n 1 VI Chứng minh với số nguyên dương n , ta ln có : n 1 1 1 1 .1 1 2n 4 9 n VII Cho n số nguyên lớn Hãy chứng minh bđt : 1 13 n 1 n 2n 24 IX Chứng minh với số tự nhiên n , ta ln có đẳng thức : a b (a b) a n 1 a n 2b a.b n b n 1 X Chứng minh với số tự nhiên n , ta có : n 2n XI Chứng minh với số tự nhiên n , ta có : 1 n n 1 1 N n 1 1 XII Chứng minh với số nguyên : 33n 26n 27 chia hết cho 169 XIII Tính tổng : S n Tính tổng : S n 1 a (n 1).(a n) a.(a 1) (a 1).(a 2) 2 2n a2 a2 a4 a 2n NĂM HỌC 2009 - 2010 DeThiMau.vn BAI TẬP TOÁN LỚP 11 BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ : NGUYỄN THANH LAM I Tìm số hạng dãy số sau : 2n n n với un sin Dãy số un với un Dãy số un Dãy số un với un (1) n 4n II Tìm số hạng dãy số sau : Dãy số (un ) với un 3n 2n 3n n3 n 2n III Cho dãy số (un ) với un sin cos Hãy điền số thích hợp Dãy số (un ) với un vào ô trống sau : n un IV Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số y 2x có đồ thị (C) 2x2 Với số nguyên dương n, gọi An giao điểm (C) với đường thẳng d : x n Xét dãy số (un ) với un tung độ điểm An Hãy tìm cơng thức xác định cơng thức tổng qt dãy số V Hãy xét tính đơn điệu dãy số sau : Dãy số ( un ) với un 2n3 5n Dãy số (un ) với un 3n n n n 1 3n Dãy số (un ) với un n 1 3n 2n Dãy số (un ) với un n 1 Dãy số (un ) với un Dãy số (un ) với un n n n 1 1 n n n 1 Dãy số (un ) với un 2n Dãy số (un ) với un NĂM HỌC 2009 - 2010 DeThiMau.vn BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM VI Xác định số thực a để dãy số (un ) với un Một dãy số tăng an : 2n1 2 Một dãy số giảm VII Chứng minh : dãy số (un ) với un n2 dãy số bị chặn 2n 7n dãy số tăng bị chặn 5n n n IX Cho dãy số (un ) với un sin cos Hãy tính : u1 , u2 , u3 , u4 , u5 VIII CMR : dãy số (un ) với un Dự đoán công thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức phương pháp quy naïp u1 X Cho dãy số (un ) xác định : n u u u n n n 2 Hãy tính : u2 , u3 , u4 , u5 Dự đoán công thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức phương pháp quy naïp u1 n un 1 un XI Cho dãy số (un ) xác định : Hãy tính : u2 , u4 , u6 Dự đoán công thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức phương pháp quy nạp u1 n un 1 3un 2n XII Cho dãy số (un ) xác định : Hãy tính : u2 , u3 , u4 , u5 Dự đoán công thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức phương pháp quy nạp XIII Cho dãy số (un ) với un sin(2n 1) n 1 Chứng minh : un un Hãy tính 17 số hạng dãy số cho NĂM HỌC 2009 - 2010 DeThiMau.vn BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG : I Cho cấp số cộng (un) có : u1 =1 u2 = Hãy tìm cơng sai d cấp số cộng cho Tính u3, u4, u5 u6 II Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? Hãy xác định công sai cấp số Dãy số (an) xác định a1 = an+1 = + an với n Dãy số (bn) xác định b1 = bn+1 = bn – n với n Dãy số (cn) mà cn+1 = cn + với n III Trong mặt phẳng toạ độ, cho đồ thị (C) hàm số y = 3x – Với số nguyên dương n, gọi An giao điểm đồ thị (C) đường thẳng x = n Xét dãy số (un) với un tung độ giao điểm An Chứng minh dãy số un cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng IV Xét dãy số (un) xác định u1 = a un+1 = – un với n , a số thực Hãy xác định tất gía trị a để dãy số (un) cấp số cộng V Cho cấp số cộng có số hạng Biết số hạng thứ hai số hạng thứ tư Hãy tìm số hạng cịn lại VI Một cấp số cộng có số hạng mà tổng số hạng thứ ba số hạng thứ năm 28, tổng số hạng thứ năm số hạng cuối 140 Hãy tìm cấp số cộng VII Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = công sai d = -3 Trên mặt phẳng tọa độ, lấy điểm A1, A2, cho với số nguyên dương n, điểm An có toạ độ (n, un) Chứng minh tất điểm An, ( n = 1,2,3,,,,) nằm đường thẳng Hãy cho biết phương trình đường thẳng VIII Cho cấp số cộng có số hạng với công sai duơng số hạng thứ tư 11 Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số cộng đó, biết hiệu số hạng thứ ba số hạng thứ năm IX Cấp số cộng (un) có u17 – u20 = (u17)2 + (u20)2 = 153 Hãy tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng NĂM HỌC 2009 - 2010 DeThiMau.vn BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM X Cho cấp số cộng (un) có cơng sai d > 0, u31 + u34 = 11 (u31)2 + (u34)2 = 101 Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số cộng XI Cho cấp số cộng (un) cho số nguyên dương m, k với u u k m u k k m m < k Chứng minh rằng: Áp dụng: Hãy tìm cấp số cộng có số hạng mà số hạng thứ ba tổng số hạng đầu số hạng cuối 10 XII Hãy tính tổng sau : Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 102, số hạng thứ hai 105 số hạng cuối 999 Tổng tất số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 1 , số hạng thứ hai số hạng cuối 3 : -2007 XIII Cho cấp số cộng (un) có u5 + u19 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu (un) XIV Cho cấp số cộng (un) có u2 + u5 = 42 u4 + u9 = 66 Hãy tính tổng 346 số hạng cấp số cộng XV Cho cấp số cộng tăng (un) có u13 u153 302094 tổng 15 số hạng 585 Hãy tìm u1 cơng sai d cấp số cộng XVI Tìm số hạng a1 công sai d mổi trường hợp sau : a3 = -15 & a14 = 18 a2 + a5 – a3 = 10 & a4 + a6 = 26 a2 + a4 + a6 = 36 & a2 a3 = 54 a5 – a3 = – & a2 a4 = – a1 + a7 = & a32 + a72 = 122 S4 = 15 & S7 = 12 a3 + a5 = & S12 = 129 a4 a5 = 130 & S5 = 35 a1 a4 a7 a10 a13 a1 a7 a13 a19 a25 13 XVII Tính S10 Biết : u1 + u6 = 17 & u2 + u5 – u3 = 10 Tính S20 Biết : u7 = & u13 = 23 Tính S20 Biết : u3 = –15 & u14 = 18 NĂM HỌC 2009 - 2010 DeThiMau.vn BAI TẬP TỐN LỚP 11 Tính S30 Biết : u5 = 19 & u8 = 31 Tính S100 Biết : u9 – u4 = 10 & u3 u6 = 55 Tính tổng số hạng sau : a S = 1002 – 992 + 982 – 972 + + 22 – 12 b S = 105 + 110 + 115 + + 955 NGUYỄN THANH LAM XVIII Số đo góc tam giác lập thành cấp số cộng Góc lớn có số đo số đo góc nhỏ Tìm số đo góc XIX Giả sử a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh : a2 + 8bc = (2b+c)2 a2 + 2bc = c2 +2ab (a b c)3 a (b c) b (a c) c (a b) XX Gọi a, b, c A, B, C ba cạnh ba góc tam giác ABC Chứng minh : Nếu a, b, c lập thành cấp số cộng : tg A C tg 2 XXI Tìm x để ba số : 10 – 3x ; 2x2 +3 ; – 4x lập thành cấp số cộng Giải phương trình : (x+1) + (x+4) + (x+7) + + (x+28) = 155 XXII Thêm 20 số vào số 67 để cấp số cộng tìm số thêm XXIII Định m để phương trình sau có nghiệm lập thành cấp số cộng : x4 – 2mx2 + m + = x4 – 2mx2 + 2m – = x4 – 2(m+2)x2 + 2m + = x4 – 2(m+1)x2 + 2m + = NĂM HỌC 2009 - 2010 DeThiMau.vn BAI TẬP TOÁN LỚP 11 NGUYỄN THANH LAM BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN : I Cho cấp số nhân (un ) có u1 = & u2 = Hãy tìm cơng bội q cấp số nhân Hãy tính u3 ; u4 ; u5 u6 II Trong dãy số sau đây, dãy số cấp số nhân ? Hãy xác định công bội mổi cấp số nhân an n b Dãy số (bn) xác định b1=3 bn+1 = n n n Dãy số (cn) xác định c1=2 cn+1 = n Cn Dãy số (an) xác định a1=1 an+1 = Dãy số (dn) mà dn+1 = 3dn n III Cho dãy số (un) xác định u1 = un+1 = 4un + n Chứng minh dãy số (vn) xác định : = un + n cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu cơng bội cấp số nhân IV Xét dãy số (un)xác định u1= a un+1 = 12 un n a số thực khác Hãy xác định tất giá trị a để dảy số (un) cấp số nhân V Cho cấp số nhân có số hạng với cơng bội dương Biết số hạng thứ hai số hạng thứ tư Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số nhân VI Một cấp số nhân có số hạng với số hạng đầu công bội số âm Biết tích số hạng thứ ba thứ năm 5184, tích số hạng thứ năm số hạng cuối 746 496 Hãy tìm cấp số nhân VII Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng thứ tư số thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số nhân VIII Xác định cấp số nhân gồm số hạng với ba số hạng đầu 168 ba số hạng cuối 21 NĂM HỌC 2009 - 2010 DeThiMau.vn BAI TẬP TỐN LỚP 11 IX Tìm số hạng u1 công bội q , biết : u5 = 96 & u6 = 192 u4 – u2 = 72 & u5 – u3 = 144 u7 – u4 = – 216 & u5 – u4 = –72 u20 = 8u17 & u3 + u5 = 272 u1 – u3 + u5 = – 65 & u1 + u7 = – 325 u2 + u4 = 30 & u4 + u6 = 270 NGUYỄN THANH LAM X Cho cấp số nhân (un) có : 6u2 + u5 = & 3u3 + 2u4 = –1 Hãy xác định số hạng tổng quát công bội cấp số nhân XI Hãy tính tổng sau : Tổng tất số hạng cấp số nhân có số hạng đầu , số hạng thứ hai –2 số hạng cuối 64 Tổng tất số hạng cấp số nhân có 11 số hạng, số 81 số hạng cuối 256 XII Cho cấp số nhân (un) có 8u2 – 5 u5 = & u1 + u33 = 189 Hãy tính hạng tổng 12 số hạng cấp số nhân XIII Cho cấp số nhân (un) với cơng bội q (0 ;1) Hãy tính 25 số hạng cấp số nhân đó, biết : u1 + u3 = & u12 + u32 = XIV Cho cấp số nhân (un) có : 3 u2 + u5 = & u32 + u62 = 63 Hãy tính tổng : S = u1 u2 u3 u15 XV Xác định bốn số a, b, c, d Nếu chúng lập thành cấp số nhân a b c d 40 theo thứ tự : 2 2 a b c d 3280 u XVI Cho dãy số (un) xác định : n un 1 3un 10 Chứng minh dãy số (un) vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân NĂM HỌC 2009 - 2010 DeThiMau.vn ... thức phương pháp quy nạp u1 X Cho dãy số (un ) xác định : n u u u n n n 2 Hãy tính : u2 , u3 , u4 , u5 Dự đoán công thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức phương pháp. .. phương pháp quy nạp u1 n un 1 un XI Cho dãy số (un ) xác định : Hãy tính : u2 , u4 , u6 Dự đoán công thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức phương pháp quy nạp u1 n... minh công thức phương pháp quy nạp XIII Cho dãy số (un ) với un sin(2n 1) n 1 Chứng minh : un un Hãy tính 17 số hạng dãy số cho NĂM HỌC 2009 - 2010 DeThiMau.vn BAI TẬP TOÁN LỚP 11