Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS Năm học 2010 2011 môn thi: Toán Đề 941825

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MƠN THI : TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu 1(4đ): Chứng minh rằng: M = a4 + 6a3 + 11a2 + 30a Chia hết cho 24 với số nguyên a Câu 2(4đ): a) Giải phương trình  x  1 x  x  x y z    12  b) Giả sử hệ phương trình  có nghiệm  x; y; z  x  y  z 1  10 Chứng tỏ x  y  z không đổi Câu 3(4đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y  x có đồ thị (G) Trên đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hồnh độ 1 a) Vẽ đồ thị (G) viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A B b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d Câu 4(6đ): a) Cho điểm P ngồi đường trịn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn Từ trung điểm B đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm B D) Các đường thẳng PC PD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E F Chứng minh DCE = DPE + CAF tam giác PBC đồng dạng với tam giác DBP b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB Trong tam giác ABC lấy điểm O tùy ý Gọi I, J, K hình chiếu vng góc điểm O đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh rằng: OI + OJ + OK < BC x + y + z Câu 5(2đ): Giải hệ phương trình:  =1 2x + 2y - 2xy + z = Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh Cán coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MƠN THI : TỐN Nội dung Ta có: M = + + + 30a = a4 + 6a3 + 11a2 + 6a + 24a = a(a3 + 6a2 + 11a + 6) + 24a = a(a + 1)(a2 + 5a + 6) + 24a = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 24a Vì: a số nguyên => a; (a + 1); (a + 2); (a + 3) số nguyên liên tiếp => a(a + 1)(a + 2)(a + 3) chia hết cho 4! = 24 24a chia hết cho 24 với số nguyên a nên M chia hết cho 24 với số nguyên a Câu a) Điều kiện x  PT  x x  x     x    Câu Câu a4  6a3   x x 1 11a2  1,0đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ x 2 0 0,5đ 0,25đ 0,5đ Suy ra: x   0, x x    x  1; x  KL: Nghiệm PT x  1; x  3 x  y  z  12 (1) 10 x  y  z  30 (2) b) HPT   Trừ (2) cho (1) ta được:  x  y  z   18 KL : x  y  z  1,0đ 0,5đ Ta có: A  1;1 , B  3;3 0,5đ 0, 5đ 18 không đổi a) HS vẽ đồ thị y  x Câu Điểm 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ PT đường thẳng AB: y  x  1,0đ b) Nhận xét tam giác OAB vuông O 0,5đ 1   2 OH OA OB KL: Khoảng cách cần tìm 0,5đ Hạ OH vng góc với AB  1,0đ A Câu E B P F a) sđ DCE = 0,5đ O C D 1 sđ DE, sđ DPE = sđ(DE - CF), sđ CAF = sđ CF 2 2 Do sđ(DPE + CAF) = sđ(DE - CF + CF) = Vậy: DCE = DPE + CAF DeThiMau.vn sđ DE 0,5đ 0,5đ 0,25đ Ta có: BA2 = BC BD  Do đó: 0,5đ BC BA  BA = BP BA BD 0,5đ BC BP  ; PBC = PBD BP BD Vậy: tam giác PBC DBP đồng dạng 0,25đ A AK F F K J J E M O E M 0,5đ L L Câu I D Y C B X X I D Y C b) B Vẽ tia AO, BO, CO lần l;ượt cắt BC, CA, AB D, E, F ta có: (1) OI  OD ; OJ  OE ; OK  OF Qua O vẽ đường thẳng song song với AB AC cắt BC điểm X Y Qua X vẽ đường thẳng song song với CF cắt AB M; qua Y vẽ đường thẳng song song với BE cắt AC L Ta có kết sau: (2) OE = YL ( OELY hình bình hành); OF = XM (3) OXY   ABC  OX < OY < XY mà 2OD < OX+OY  OD < XY (4) MBX   FBC  MX < BX (vì FBC có cạnh BC lớn nhất) (5) LYC   EBC  YL < YC (vì EBC có cạnh BC lớn nhất) Từ kết suy luận ta được: OI + OJ + OK  OD + OE + OF < XY + YC + XM = BC Ta có hệ phương trình :  x+y+z=1   2x+2y-2xy+z =1  x+y = 1-z   2xy = z +2(x+y)-1 x + y = - z  2 2xy = z - 2z + = (1- z)  2xy = (x + y)  x + y2 =  x = y =  z = Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1) DeThiMau.vn 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ MA TRẬN ĐỀ Nội dung – Chủ đề Thông hiểu KQ TL Số học Mức độ Vận dụng thấp KQ TL C1 Vận dụng cao KQ Tổng TL C2a,C3a Đại số C3b C2b,C5 C4a Hình học C4b Tổng DeThiMau.vn 3 10 20 ...HƯỚNG DẪN CHẤM PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010- 2011 MƠN THI : TỐN Nội dung Ta có: M = + + + 30a = a4 + 6a3 + 11a2 + 6a... nghiệm nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1) DeThiMau.vn 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ MA TRẬN ĐỀ Nội dung – Chủ đề Thông hiểu KQ TL Số học Mức độ Vận dụng thấp KQ TL C1 Vận... Mức độ Vận dụng thấp KQ TL C1 Vận dụng cao KQ Tổng TL C2a,C3a Đại số C3b C2b,C5 C4a Hình học C4b Tổng DeThiMau.vn 3 10 20