Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS Năm học 2010 2011 môn thi: Toán Đề 410449

MA TRẬN Mức độ Chủ đề Thông hiểu Vận dụng thấp TNKQ TNTL TNKQ TNTL Vận dụng cao TNKQ TNTL C2 Số học C5ab 3.5 C3 Hình học C4 Đại số Tổng Tổng 4 DeThiMau.vn C5c 1.5 C1 6.5 11 9.5 20 PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (4điểm) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x - xy  3y  x  2008,5 Câu 2: (4 điểm) Cho hai số a, b thỏa mãn a3 + b3 = Chứng minh rằng: (a + b)2 ≤ Câu 3: (3điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y  xy  18  x  y   73  Câu 4: (4điểm) Chứng minh đẳng thức: abc  bc 4 a a với a > 0, b >  a abc  abc  Câu 5: (5điểm) Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB = 2R Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt Ax D cắt By E a) Chứng minh rằng:  DOE tam giác vuông b) Chứng minh rằng: AD  BE = R c) Xác định vị trí điểm M nửa đường trịn (O) cho diện tích tứ giác ADEB nhỏ Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh Cán coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NM HC 2010-2011 MễN THI : TON Ni dung Đặt x  a; y  b víi a, b  0, ta cã: Điểm 0.5 P = a  2ab  3b2  2a  2008,5 0.5 Câu = a  2a  b  1  3b  2008,5 2 = a  2a  b  1   b  1  2b2  2b  2007,5 0.5 =  a - b -1  b2  b  2007,5 0.5 1    a - b -1   b2  b    2007,5  4  0.5   1    a - b -1   b    2007  2007 2  0.5 1  V×  a - b -1  vµ  b    a, b 2   a  b  a    Nªn P = 2007    b  b     x x    Vậy P đạt GTNN 2007    y1 y    2 2 Ta có: a3 + b3 >  a3 > –b3  a > – b  a + b > (1) 2 3 (a – b) (a + b) ≥  (a – b )(a – b) ≥  a + b – ab(a + b) ≥  a3 + b3 ≥ ab(a + b)  3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b)  4(a3 + b3) ≥ (a + b)3  ≥ (a + b)3  a + b ≤ (2) Từ (1) (2)  < a + b ≤ => (a + b)2 ≤ (đpcm) + Phương trình cho tương đương với: 0.5 0.5 0.5 1 0.25 0.25 x2  x  y  9   y  9   y 2   x  y  9   y2 (*) + Pt (*) có nghiệm nguyên (8 – 2y2 ) ≥ (8 – 2y2 ) số phương y y   y  { 0, - 1, 1, -2, } Mà (8 – 2y2 ) phải số phương nên y {-2,2} DeThiMau.vn 1 - Với y = -2 => x = 11 - Với y = => x = Vậy nghiệm nguyên phương trình (11,-2) (7,2) abc  bc 4 a a với a > 0, b >  abc  a Chứng minh đẳng thức: abc  bc 4 a a = abc  VT =   a abc    abc  abc   abc a abc  2 abc   abc   a ( abc  2) a Ýa, + Hình vẽ (câu a): 0.5 + Theo giả thiết: DA DM hai tiếp tuyến cắt D, nên OD tia phân giác góc AOM Tương tự: OE tia phân giác góc MOB ฀ ฀ ฀ + Mà AOM MOB hai góc kề bù, nên DOE  900 0.5 Vậy tam giác DOE vuông O Ý b) + Tam giác DOE vuông O OM  DE nên theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có: DM  EM  OM  R (1) + Mà DM = DA EM = EB (định lí tiếp tuyến cắt nhau) (2) + Từ (1) (2) ta có: DA  EB  R Ý c) + Tứ giác ADEB hình thang vng, nên diện tích là: S 1 AB  DA  EB    R   DM  EM   R  DE 2 0.5 0.5 0.5 + S nhỏ DE nhỏ Mà DE đường xiên hay đường vng góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ DE = DH (DH vuông góc với By H) 0.5 Khi DE song song với AB nên M điểm nửa đường tròn (O) (hoặc OM  AB) Giá trị nhỏ diện tích là: S0  R Ghi chú: Nếu học sinh khơng tìm giá trị nhỏ diện tích cho điểm tối đa DeThiMau.vn ... tên thí sinh: Số báo danh Cán coi thi không giải thích thêm DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010- 2011 MÔN THI :...PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010- 2011 MƠN THI : TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4điểm) Với x, y... 9? ??   y  9? ??   y 2   x  y  9? ??   y2 (*) + Pt (*) có nghiệm nguyên (8 – 2y2 ) ≥ (8 – 2y2 ) số phương y y   y  { 0, - 1, 1, -2, } Mà (8 – 2y2 ) phải số phương nên y {-2,2} DeThiMau.vn