Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS Năm học 2010 2011 môn thi: Toán Đề 214298

MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI-CẤP HUYỆN Môn : Toán Năm học: 2010 - 2011 Chủ đề Số học Đại số Hình học Tổng MỨC ĐỘ Thơng hiểu Vận dụng thấp C3a,b C2 C6a C6b,c DeThiMau.vn 11 Tổng Vận dụng cao C1 3 C4 20 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TỐN Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ ĐỀ ĐỀ XUẤT Câu 1: (3 điểm)   22  Chứng minh 11 2n chữ số số phương n chữ số Câu 2: (3 điểm)Cho biểu thức: M = x  4( x  1)  x  4( x  1) x  4( x  1) (1  ) x 1 a.Tìm điều kiện x để M có nghĩa b.Rút gọn M Câu (4 điểm) a Chứng minh với số tự nhiên n, giá trị biểu thức 4n M   3n  2n  n  số tự nhiên b Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y  xy  18  x  y   73  Câu (4 điểm) a.Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh 1   1 3 a  b  b  c  c  a3  Đẳng thức xảy nào? b.Tìm giá trị nhỏ của: A =  với < x < 2 x x Câu6: (3 điểm) Cho đường tròn (O, 15cm) dây BC = 24cm Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt A gọi H giao điểm OA BC a, Chứng minh HB=HC b,Tính độ dài OH c, Tính dộ dài OA Họ tên thí sinh: Số báo danh Cán coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TỐN PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HỐ Đáp án Câu Đặt Thang điểm 11  k n chữ số   22  = k.10n + k -2k Ta có 11 2n chữ số (3đ) n chữ số = k(10n-1) = k.9k = (3k)2 = (33 3)2 n chữ số số phương 2n chữ số n chữ số  x  4( x  1)    x  4( x  1)    x  4( x  1)   x 1  a) M có nghĩa khi:  < x < x > b) (4đ)  0.75 11   22  Vậy 0.25 1.25 0.75 M ( x   1)  ( x   1) x   x 1 ( x  2) x 1 1  x 1 1 x  x2 x 1 1 x 1  x 1 1 x  2  2 x x 1 1 x x 1 1 x 1 1 x  2  x2 x 1 x 1 - Với < x < 2, ta có: M  -Với x > 2, ta có: M  0,5 0.75 0.75 a Ta có M = = 4n   3n  1 n  1 n  4n  3n  4n    3n  1 n  1 3n  Giả sử M số tự nhiên với số tự nhiên n Suy ra: (4n–1)  (3n–1), n (4đ)  (12n –3)  (3n – 1), n Mặt khác: (12n – 4)  (3n – ) , n Suy ra: [(12n –3) - (12n – 4)]  (3n -1),n Hay  (3n – 1) , n (vô lý) Vậy M số tự nhiên (đpcm) DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 b Phương trình cho tương đương với: x2  x  y  9   y  9   y 2 0.5   x  y  9   y2 (*) Pt (*) có nghiệm nguyên khi: y, – 2y2 ≥  y y  0.5  y  { 0, - 1, 1, -2, } + Với y = 0, ta có: ( x + y – )2 = ( loại ) + Với y = ± 1, ta có: ( x + y – )2 = ( loại ) + Với y = ± 2, ta có: ( x + y – )2 = - Nếu y = x = (thỏa mãn) - Nếu y = -2 x = 11 (thỏa mãn) Vậy nghiệm nguyên (x; y) cần tìm: ( 7; 2) , (11; - 2) 0.5 0.5 a Ta có: a2 – ab + b2 ≥ ab, a, b ≥  (a+b)( a2 – ab + b2) ≥ ab(a+b), a, b ≥  a3+b3+1 ≥ ab(a+b+c), a, b, c ≥ (vì abc = 1) a+b+c 3  , a, b, c ≥  a  b 1  (vì abc = 1) c  c  a  b 1 a  b  c 0.25 0.25 (1) 0.25 + Tương tự, ta chứng minh được: a  b  c 1 a  b  c b 3  c  a 1 a  b  c (2) (3) 0.25 + Cộng vế theo vế (1), (2) (3): 1   1 3 a  b  b  c  c  a3  0.25 (3đ) Đẳng thức xảy a = b = c =1 b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski: ( a2 + b2 ) (x2 + y2 )  (ax +by )2 Ta có: 2      2A =        x   x       2 x => 2A    1   2 0.25 2 0.25 Suy ra: 2A =  2   x  x 2 x x   2 2  x x  2x  x  4x   x2  4x     x    2 x  x   x  2 x     0.25 DeThiMau.vn 0.25 0.25   x  2   x   Vì < x <  x  2 2 Vậy A = 1,5   x  2  0.25 0.25 Vẽ hình, ghi Gt,kl : O C H B (6đ) A ฀ a Tam giác OBC cân O có OH đường phân giác BOC nên HB= HC b OH = OB  HB = 152  122  9cm c Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam tam giác OBA ta có OB2 OB 152   25(cm) = OH.OA => OA = OH DeThiMau.vn 2 ...KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010- 2011 MƠN THI : TỐN Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) PHỊNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ ĐỀ ĐỀ XUẤT Câu 1: (3 điểm)... dộ dài OA Họ tên thí sinh: Số báo danh Cán coi thi không giải thích thêm DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010- 2011 MƠN THI : TỐN PHỊNG GD&ĐT... , n (vô lý) Vậy M số tự nhiên (đpcm) DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 b Phương trình cho tương đương với: x2  x  y  9? ??   y  9? ??   y 2 0.5   x  y  9? ??   y2 (*) Pt (*) có nghiệm nguyên khi: