ð nh Lý Ptolemy1 “Ptolemy’s Theorem2” – Dr Kin-Yin LI Khoa Toán, ðH Khoa H c K Thu t Hong Kong Gi i thi u N u cho b n m m t ph ng, kh chúng th ng hàng ho c thu c m t đư ng trịn r t Vì th , có m t s u ki n ñ c bi t cho nh ng ñi u x y M t nh ng ñi u ki n đ nh lý Ptolemy ð nh lý Ptolemy Cho b n ñi m phân bi t A, B, C , D thu c m t m t ph ng Khi AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD ð ng th c x y ch A, B, C , D th ng hàng ho c A, C tương ng v i B, D thu c m t ñư ng trịn M t ch ng minh r t đơn gi n c a ñ nh lý s d ng s ph c Gi s a , b, c, d s ph c tương ng v i m A, B, C , D Vì (b − a)( d − c) +( d − a)(c − b) = (c − a)(d −b) , đó, s d ng b t ñ ng th c tam giác, ta có AB.CD + AD.BC = b − a d − c + d − a c − b ≥ c − a d − b = AC.BD T b t ñ ng th c tam giác, ta có đ ng th c x y ch (b − a)(d − c) = t (d − a)(c − b) , t m t s th c dương Trong trư ng h p này, ( d − a) (b − a ) m t th a s dương c a (d − c) (c − b) Do arg {(d − a ) (b − a )} = arg {(d − c) (c − b)} hay DAB = 1800 − DCB Nghĩa A, B, C , D th ng hàng ho c A, C tương ng v i B, D thu c m t đư ng trịn ð nh lý Ptolemy có hai h qu quan tr ng sau ñây H qu Cho ABCD t giác n i ti p, v i ABC tam giác đ u Khi BD = AD + CD Ch ng minh Vì t giác ABCD n i ti p nên AB.CD + AD.BC = AC.BD Do AB = BC = CA nên t ñ ng th c ta thu ñư c BD = AD + CD H qu Cho ABCD t giác n i ti p ABC = ADC = 900 Khi BD = AC sin BAD ( ) Ch ng minh Ta có AC sin BAD = AC sin BAC + DAC = ( BC AD + AB.CD ) AC = BD Ta s nêu m t s ví d minh h a cho vi c áp d ng ñ nh lý Ptolemy h qu c a M t s ví d Bài toán [IMO 1995] Cho ABCDEF m t l c giác l i có AB = BC = CD, DE = EF = FA BCD = EFA = 600 Gi s G H hai ñi m bên l c giác cho AGB = DHE = 1200 Ch ng minh r ng AG + GB + GH + DH + HE ≥ CF L i gi i G i X , Y m n m ngồi l c giác cho tam giác ABX , DEY ñ u Khi l c giác ABCDEF đ ng d!ng v i DBXAEY CF = XY Ta có AXB + AGB = DYE + DHE = 1800 Do đó, AXBG DHEY t giác n i ti p S d ng h qu 1, ta có AG + GB + GH + DH + HE = XG + GH + HY ≥ XY = CF Ngư i d ch: Cao Minh Quang, GV THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long, Vi t Nam E-mail: kt13quang@yahoo.com Kin –Yin LI, “Ptolemy’s Theorem”, Mathematical Excalibur, Vol.2, No.4, 1996 DeThiMau.vn Bài toán [IMO 1996] Cho P m t ñi m n m tam giác ABC cho APB − ACB = APC − ABC G i D , E l"n lư t tâm đư ng trịn n i ti p c a tam giác APB, APC Ch ng minh r ng ñư ng th ng AP, BD, CE ñ ng quy L i gi i Ta c"n ch ng minh ñư ng phân giác c a góc ABP, ACP c#t AP t!i m t ñi m G i X , Y Z l"n lư t chân đư ng vng góc h! t ñi m P xu ng BC , CA, AB Khi đó, AZPY , BXPZ , CYPX t giác n i ti p Ta có APB − ACB = YAP + XBP = YZP + XZP = YZX Tương t ta ch ng minh ñư c APB − ABC = XYZ T ñó suy XZ = XY S d ng h qu 2, ta có BP sin ABC = XZ = XY = CP sin ACB Do BP CP = sin ACB sin ABC = AB AC hay AB BP = AC CP T tính ch t v ñư ng phân giác, suy BD CE c#t t!i m t ñi m thu c AP Bài tốn [B t đ ng th c Erdos - Mordell] Cho P m t ñi m tam giác ABC d a , d b , d c kho ng cách t P ñ n BC , CA, AB Ch ng minh r ng PA + PB + PC ≥ (d a + db + dc ) ð ng th c x y ch ABC tam giác ñ u P tâm c a tam giác L i gi i G i X , Y , Z l"n lư t chân đư ng vng góc h! t P xu ng BC , CA, AB S d ng h qu ho c ñ nh lý sin đ nh lý cosin, ta có PA sin BAC = YZ = db2 + dc2 − 2db dc cos (1800 − A) = db2 + dc2 − 2db dc cos ( B + C ) 2 = (db sin C + dc sin B) + (db sin C − d c sin B) ≥ db sin C + dc sin B Suy PA ≥ db sin C + d c sin B Ch ng minh tương t ta có sin A PB ≥ d a sin C + d c sin A d sin B + d b sin A , PC ≥ a sin B sin C C ng b t ñ ng th c trên, ý r ng x +1 x ≥ v i m i x > , ta ñư c sin B sin C + ≥ ( d a + db + d c ) PA + PB + PC ≥ ∑ d a sin C sin B cyc ð ng th c x y ch A = B = C d a = db = d c hay ABC tam giác ñ u P tâm c a tam giác Bài toán [IMO 1991] Cho P m t ñi m tam giác ABC Ch ng minh r ng nh t m t góc PAB, PBC , PCA nh% ho c b ng 300 L i gi i Gi s r ng khơng có góc ba góc nh% ho c b ng 300 N u m t ba góc l n 1500 hai góc cịn l!i đ u nh% 300 , mâu thu&n Do đó, ta có th gi s ba góc l n 300 nh% 1500 G i d a kho ng cách t P đ n BC , 2d a = PB sin PBC > PB sin 300 = PB Tương t , ta có 2db > PC , 2d c > PA C ng b t ñ ng th c này, ta thu ñư c (d a + db + dc ) > PA + PB + PC (mâu thu&n v i b t đ ng th c Erdos – Mordell) Tóm l!i, nh t m t góc PAB, PBC , PCA nh% ho c b ng 300 DeThiMau.vn ... G i X , Y , Z l"n lư t chân đư ng vng góc h! t P xu ng BC , CA, AB S d ng h qu ho c ñ nh lý sin ñ nh lý cosin, ta có PA sin BAC = YZ = db2 + dc2 − 2db dc cos (1800 − A) = db2 + dc2 − 2db dc cos...Bài toán [IMO 1996] Cho P m t ñi m n m tam giác ABC cho APB − ACB = APC − ABC G i D , E l"n lư t tâm... B cyc ð ng th c x y ch A = B = C d a = db = d c hay ABC tam giác ñ u P tâm c a tam giác Bài toán [IMO 1991] Cho P m t ñi m tam giác ABC Ch ng minh r ng nh t m t góc PAB, PBC , PCA nh% ho c