SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn Tốn Thời gian: 150 phút Ngày thi: 5/4/2017 (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu) Câu (3 điểm): Cho a, b, c số thực dương thỏa : a b c 2abc Tính giá trị biểu thức: P a 1 b 1 c b 1 a 1 c c 1 b 1 a abc Câu (4 điểm): Giải phương trình: a) x 12 x b) x x Câu (5 điểm): a) Cho a, b hai số thực , x, y hai số thực dương a b a b Chứng minh rằng: x y x y b) Cho x, y hai số thực dương cho x + y = Chứng minh rằng: x y 2 1 x 1 y Câu (5 điểm): Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = a) Gọi G, I trọng tâm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: IG//BC b) Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh: A, M, I, N nằm đường tròn Câu (3 điểm) Cho tam giác vng có độ dài ba cạnh số nguyên Chứng minh rằng: Bán kính đường tròn nội tiếp số nguyên - Hết - Giáo viên: Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp – Tân Phú ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN – TỈNH ĐỒNG NAI 2016 – 2017 Câu (3 điểm): Cho a, b, c số thực dương thỏa : a b c 2abc Tính giá trị biểu thức: P a 1 b 1 c b 1 a 1 c c 1 b 1 a abc Giải: Theo ra: a b c 2abc Suy ra: a 2abc b c ; b 2abc c a ; c 2abc b a Ta : P a b c b a c c b a abc = a c b b c b c a a c c a b a 2b abc = a a 2abc b c b b 2abc a c c c 2abc a 2b abc =a a bc b b ac c c ab abc = a(a+bc)+b(b+ac) + c(c+ab) abc (a, b, c >0) a b c 2abc Câu (4 điểm): Giải phương trình: a) x 12 x b) x x Giải: a) x 12 x x 18 x 81 12 x x 18 x 81 36 x 12 x x 6 x 1 2 x2 6x x2 x x 2; x = x 6 x x x 10 ( x 3) (vn) Vậy phương trình có hai nghiệm: x = or x = b) x x ĐKXĐ: x 2 1 x x x x x x 4 1 x2 x 2 1 1 2 x x (1) x2 x 2 2 x x x x (2) 2 Giải phương trình (1): x x (x 0) x x x x x 1 (L); x = (N) Giải phương trình (2): x x (2) ( x 1 ) Giáo viên: Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp – Tân Phú ThuVienDeThi.com 1 ( L) x 2 x 2x 1 x x x 1 1 (N ) x 1 Vậy phương trình có nghiệm: x =2; x Câu (5 điểm): c) Cho a, b hai số thực , x, y hai số thực dương a b a b Chứng minh rằng: x y x y d) Cho x, y hai số thực dương cho x + y = Chứng minh rằng: x y 2 1 x 1 y Giải: a) a b a b x y x y a ( x y) b2 ( x y) (x, y >0) a b x y a y b2 x a2 y b2 x a b a b 2ab 0 x y x y 2 a y b x (đúng với x, y >0) x y a b a b Vậy: x y x y với x, y >0 b) Ta có: Với x>0, y >0 với x + y = x = – y y = – x; x y x y x y 2 1 x 1 y 1 x 1 x (1 y )(1 y) y(1 x) x(1 y) Do x>0, y> 0, Áp dụng Côssi cho số dương: x y x y 2 y(1 x) x(1 y) y(1 x) x(1 y) x y 1 2 2 2 y(1 x) x(1 y) (1 x)(1 y ) x y xy xy x y xy Do (1) xy 4 xy xy 3 Từ (1) (2) suy ra: 2 x y 2 1 x 1 y Giáo viên: Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp – Tân Phú ThuVienDeThi.com Câu (5 điểm): Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = c) Gọi G, I trọng tâm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: IG//BC d) Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh: A, M, I, N nằm đường tròn a Gọi D, E, F chân đường phân giác góc A, góc B, góc C Gọi T trung điểm BC Do AD đường phân giác tam giác ABC nên: BD CD BD CD BD CD AB AC 57 12 BD 2,5 ; CD = 3,5 Tam giác ABD có BI đường phân giác nên : AI BA (1) ID BD 2,5 Do G trọng tâm tam giác ABC nên Từ (1) (2) suy ra: AG (2) GT AI AG 2 ID GT Suy ra: IG//DT hay IG//BC MBI b) Cách 1: BMI = BDI (c.g.c) vì: BD = BM = 2,5; DBI ; BI cạnh chung; Suy BMI BDI A Chứng minh tương tự: CNI= CDI (c.g.c) CDI Suy CNI CDI 1800 nên Mà BDI F 1800 suy AMI ANI 1800 K M N BMI CNI E Nên tứ giác AMIN nội tiếp G I Cách 2: Gọi K giao điểm MN AI Ta có: Theo cơng thức độ dài đường phân giác: AD AB AC BD.CD 5.7 2,5.3,5 105 B D T C Do MN đường trung bình tam giác ABC nên MN//BC, suy K trung điểm AI Do MK đường trung bình tam giác ABD nên MK = Và NK = 1 BD 2,5 2 1 CD 3,5 2 3 Ta có DI AI DI AD 105 105 Giáo viên: Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp – Tân Phú ThuVienDeThi.com 105 105 1 105 105 ; AK KD AD 2 105 105 105 Suy KI KD ID 12 105 105 105 35 35 ; KM KN Ta có: AK KI 12 48 16 4 16 AK MK Suy AK.KI=KM.KN KN KI INK Suy AKM NKI suy MAK suy tứ giác AMIN nội tiếp AI 2.DI Câu (3 điểm) Cho tam giác vng có độ dài ba cạnh số nguyên Chứng minh rằng: Bán kính đường trịn nội tiếp số ngun Giải: Gọi đường tròn (I) đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn (I) với AC, CB, BA Theo tính chất đường trịn nội tiếp ta có: AD AF= bca Mà tứ giác ADIF hình vng nên ID AD AF= bca bca r 2 Ta cần chứng minh (b + c – a) chia hết cho Thật vậy: Theo Py – ta – go: b c a b c 2bc a 2 b c a 2bc b c a (b c a ) 2bc Do b c a (b c a) 2b 2c nên (b + c - a) (b + c +a) có tính chẵn lẻ mà b c a (b c a) 2bc số chẵn nên (b + c - a) (b + c + a) số chẵn Suy r bca Z Giáo viên: Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp – Tân Phú ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN – TỈNH ĐỒNG NAI 2016 – 2017 Câu (3 điểm): Cho a, b, c số thực dương thỏa : a b c 2abc ... (N) Giải phương trình (2): x x (2) ( x 1 ) Giáo viên: Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp – Tân Phú ThuVienDeThi.com 1 ( L) x 2 x 2x 1 x x x 1 1 (N ) x ... xy 3 Từ (1) (2) suy ra: 2 x y 2 1 x 1 y Giáo viên: Đào Văn Tuấn – THCS Đồng Hiệp – Tân Phú ThuVienDeThi.com Câu (5 điểm): Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = c) Gọi G, I trọng