Nguyễn Văn Tuyên : QV-BN đề luyện thi TUYN SINH vµo LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học : 2013 - 2014 Mơn: TỐN (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng tính thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức x x Tính giá trị biểu thức Q = x x x x 2013 x x x x 2013 Cõu (2,0 im) Giải phương trình : x x 1 x x x 1 x Câu (2,0 điểm) Giải hệ phương trình : 27 y x y x2 2 x y 72 y Câu (1,0 im) Tìm tất số nguyên dương a thoả mÃn đẳng thức sau : a a 3 a 1 a 2a a a a 3 a 1 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O), có AB < AC Hạ ng cao BE v CF AQ chúng cắt t¹i H , M giao điểm EF AH Vẽ đường kính AK cắt cạnh BC N Gọi S , R , T hình chiếu H cạnh EF , FQ , QE Gäi I , P theo thø tù lµ hình chiếu M H cạnh AK a) Chøng minh tØ sè : 671HS HR HT 2013 HR b) Chng minh đẳng thức : MI.AH2 = HP.AM2 Câu (1,0 điểm) Cho f ( x) ax bx c với x a,b,c nguyên dương ( b khác 1) Chøng minh r»ng : 3350a 1340c 4ac 2b 2014 b hết - C¸n bé coi thi không giải thích thêm đề thi! Họ tên thí sinh :Số báo danh : DeThiMau.vn Nguyễn Văn Tuyên : QV-BN Hướng dẫn giải tóm tắt đề lun thi TUYỂN SINH vµo LỚP 10 THPT CHUN Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức x x Tính giá trị biểu thøc Q = x x x x 2013 (a) x x x x 2013 x x x 3 x x x x x x x Ta cã : x x x x x x x x x x x x x x x x 2013 2014 => (b) x x x x 2013 2014 VËy tõ (a) vµ (b) => Q = Câu (2,0 điểm) Giải phương trình : x x 1 x x x 1 x Không tính tổng quát : Đặt a = x x > vµ b = x > Khi ®ã phương trình ban đầu trở thành : (I) 2a b 3a b 42 2a b 6a b 2 Mặt khác theo BĐT bunnhia ta có : ( 2a b ) 6a b (*) , dÊu ‘ = ‘ x¶y a b 2a b (1) Lại theo BĐT côsi ta có : ( 2a b ) 2 2a b 2a b 42 2a b (**) , dÊu ‘=’ x¶y 2a b a 2b (2) 2 VËy tõ (*) vµ (**) => 42 2a b ( 2a b ) 6a b (II) Vậy so sánh (I) (II) xảy dấu = (*) (**) xảy => cã (1) vµ (2) => 4a2 = a2 mµ a > => = ( v« lÝ ) => đẳng thức ( I ) => Phương trình ban đầu không xảy => Phương trình vô nghiệm Cõu (2,0 im) Giải hệ phương trình : Xét phương trình : 27 y x y x2 2 72 x y y x2 x y 72 y (*) DeThiMau.vn Nguyễn Văn Tuyªn : QV-BN x2 y (1) áp dụng BĐT bunnhia hai lần ta cã : ( x y ) 2x y 18 ,(dÊu’=’ x¶y =khi x =3y) x2 x2 y x y 18 y => ( x y ) 18 x2 x2 y x y 72 y (**) => x y 18 VËy tõ (*) vµ (**) => dÊu = xảy x =3y , đặt x =3y vào phương trình : 27 y x y x x x x 1 x y 3 KL : (x; y) = (1 ; 1/3) Câu (1,0 im) Tìm tất số nguyên dương a thoả mÃn đẳng thức sau : a a 3 a 1 a 2a a a a 3 a 1 Không tính tổng quát : Đặt x = a >0 vµ y = a 3 a 1 >0vµ z = a2 +1 >0 vµ t =1>0 Khi phương trình trở thành : x2 y2 z2 t x z y t (*) Mặt khác ta còng cã : x2 y2 z2 t x2 y2 z2 t x z 2 y t 2 (**) víi mäi x,y,z,t >0 x z 2 y t 2 x y z t x z x t y z y t x y z t 2( xz yt ) x z x t y z y t x z y t xyzt yz xt (luôn với x,y,z,t > 0) Vậy từ (*) (**) xảy yz = xt ( a 3 a 1 )(a2 + 1) = a 2 a 3 a 1 a (***) ( v× a2 + > 0) a 1 a ( v× a 12 ) , dÊu ‘=’ x¶y a =1 (****) a 1 2a 1 a 1 2 ( theo côsi) ,dấu= xảy a =1 (*****) a 2.2 Mà lại có : a 3 VËy tõ (***) vµ (****) vµ (*****) => a = giá trị nguyên dương cần tìm toán DeThiMau.vn ... dẫn giải tóm tắt ®Ị lun thi TUYỂN SINH vµo LỚP 10 THPT CHUN Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức x x Tính giá trị biÓu thøc Q = x x x x 2013 (a) x x x x 2013 x x x 3 x... x x x x x x x x x x x x x x 2013 2014 => (b) x x x x 2013 2014 VËy tõ (a) vµ (b) => Q = Câu (2,0 im) Giải phương trình : x x 1... Mà lại có : 2 a 3 VËy tõ (***) vµ (****) vµ (*****) => a = giá trị nguyên dương cần tìm toán DeThiMau.vn