Đề tài Kinh nghiệm dạy toán bằng cách “quy lạ về quen” qua loại toán giải hệ phương trình cho học sinh lớp 1040765

1 SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH Trường:thpt Hồng Lam CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Hồng Lĩnh tháng năm 2013 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM  ĐỀ TÀI KHOA HỌC: KINH NGHIỆM DẠY TOÁN BẰNG CÁCH “QUY LẠ VỀ QUEN” QUA LOẠI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 Bộ Mơn : Tốn THPT Mã đề tài: Họ tên: Nguyễn Tiến Minh Năm học : 2012- 2013 DeThiMau.vn A PHÂN MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1.Những năm gần chương trình mơn học nói chung mơn tốn nói riêng nội dung kiến thức đánh giá tải với học sinh Hơn áp lực thi cử ,học thêm nhiều Học sinh thường học toán theo lệnh ,lắp ráp máy móc kiến thức có sẵn mà thiếu chủ động nghiên cứu tìm tịi tốn hạn chế Sự say mê tìm hiểu kiến thức để hiểu sâu nhớ kỹ đặc biệt vận dụng kiến thức chủ động tự giác cịn hạn chế 2.Loại tốn giải hệ phương trình ln chủ đề đề cập phổ biến qua kỳ thi Đại học Cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi bậc THPT Nhưng loại toán lại khơng trình bày cách thống sách giáo khoa mà trình bày tài liệu tham khảo đề thi 3.Khi trình bày đáp án giải khơng thể phân tích đầy đủ sở lời giải gây cho học sinh học theo kiểu chạy theo số lượng mà khơng có chủ động sáng tạo tìm tịi vượt qua rào cản Với lý Chúng viết đề tài :” KINH NGHIỆM DẠY TOÁN BẰNG CÁCH “QUY LẠ VỀ QUEN” QUA LOẠI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 nhằm bổ sung thêm kho tàng phong phú đa dạng loại toán giải hệ phương trình II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Cách giải hệ phương trình bậc gồm phương trình chứa ẩn số trường hợp với giải pháp thích hợp III.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài:” KINH NGHIỆM DẠY TOÁN BẰNG CÁCH “QUY LẠ VỀ QUEN” QUA LOẠI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10” có mục đích: - Rèn luyện phương pháp giải Hệ phương trình - Rèn luyện tính linh hoạt tư giải tốn - Kích thích tìm tịi sáng tạo và khả độc lập nghiên cứu theo lược đồ sau: 1.Từ tảng kiến thức số kiến thức phương trình dạng phương trình Đưa tốn hệ phương trình mà địi hỏi học sinh qua hướng dẫn Thầy hướng đưa kiến thức để giải Đặt tình số hệ phương trình mà bước đầu phải có khả sáng tạo biết lĩnh hội sâu sắc kiến thức vận dụng Đưa tình hệ phương trình với cách giải có sẵn chưa tìm ngun nhân lý giải Như vấn đề có tính phương pháp dạy nghiên cứu để từ học sinh tự tìm lời giải đưa kiến thức Đưa hệ phương trình ngồi khn mẫu nói u cầu học sinh tự tìm chọn lựa cách giải hợp lý nguồn kiến thức Đề xuất hướng tự nghiên cứu cách giải cho số hệ phương trình có dạng tổng quát ( Với kiến thức đề tài ta ghi lại mà khơng trình bày chi tiết) DeThiMau.vn B NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC CHỨA BIẾN I Phương trình bậc đẳng cấp có biến dạng: AX  BXY  BY  0( A  0) (*) Đây kiến thức dùng kiến thức phương trình bậc quen thuộc cách giải Từ học sinh có thể: I Giải hệ phương trình ( vế đa thức biến đẳng cấp) có dang:  ax  bxy  cy  d (1) ( I)  / / / / a x  b xy  c y  d (2) Giáo viên hướng dẫn cho học sinh tiếp cận theo mức độ sau: a ) d d /  học sinh giải dễ dàng hai phương trình x cách sử dụng phương trình bậc với ẩn t= ( với ý ( 0;0) nghiệm hệ y Từ hệ giải nhờ phương pháp quen thuộc d 0 b )  / cách nhân vế (1) với d / ( ) với d trừ cho d   ax  bxy  cy  d (1) Khi hệ (I )   / / / / 2 d (a x  b xy  c y )  d (ax  bxy  cy )  0(3) Khi phương trình (3 ) lại có dạng (*) giải Và cần thay x = ty vào (1) phương trình bậc với biến Tức phép giải hệ ( I ) hoàn tất phương pháp II.NGHIÊN CỨU CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ẨN HAI BIẾN BẬC  Ax  Bxy  Cy  Dx  Ey  F  0(1) Xét hệ : ( II )  / / / / / /  A x  B xy  C y  D x  E y  F  0(2) Liệu có cách giải cho hệ cách đưa hệ hay khơng? Chúng ta bắt đầu với ví dụ sau II MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP RIÊNG x  y  2x  y   Ví dụ 1: Giải hệ sau:  ( Trích đề thi học sinh giỏi lớp 10 năm  y  xy  x   học 2011-2012 Hà Tĩnh) Nhận xét 1: Rõ ràng hệ hệ thường gặp hệ đối xứng loại I loại II nhận xét x bậc phương trình thứ nên dùng phép x từ phương trình thứ thay vào phương trình đầu Thế rốt bạn thu phương trình bậc có nghiệm khơng phải hữu tỷ khó khăn tìm chúng : y  12 y  y  32 y  28  0! Rõ ràng ví dụ trường hợp đặc biệt hệ ( II) chưa có dạng ( I ) Kiếm tìm cách giải: để khơng tăng bậc hệ ta dùng phép đổi biến sau DeThiMau.vn x  a  m Đặt :  ( với a b ẩn ) Thay vào ta thu hệ sau : y bn a  b  2a (m  1)  2b(1  n)  n  m  2m  2n  Hệ trở thành có dạng hệ  2 b  ab  a (  n )  b ( n  m )   n  mn  m   (I) ta có hệ số ẩn có bậc triệt tiêu Tức : m    (**)  n    m  n  Chúng ta gặp may mắn ! Bây xem lời giải  mn  tường minh sau mà phép đặt ẩn phụ lời giải sau sáng tỏ sở : x  a  Lời giải : Đặt  hệ cho trở thành : y  b 1  a  2b   2    a b 2 2 a     a  b  3  a  b  3       a b  5a  6ab  8b  b  2ab  5 b     2 a  b  3 đầu có nghiệm : 4   x   x       5 y  1 y  1   3 Từ hệ ban Nhận xét : + Rõ ràng hệ xác định m n ( hệ *) mà vô nghiệm cách giải bế tắc Bạn x  a  m đọc tự kiểm chứng với hệ sau dùng phép đổi biến  hệ sau y bn  x2  y2  không đưa hệ dạng ( I ) :  2  x  y  xy  x  y Đến phải trả lời câu hỏi sau : « Khi hệ ( II ) giải cách chuyển hệ ( I ) phép đổi biến x  a  m »?  y bn II Bài toán tổng quát : Với điều kiện tồn số thực m n để với phép x  a  m đổi biến  hệ dạng (II) đưa hệ dạng ( I ) ? y bn Ta xét : ( II )  Ax  Bxy  Cy  Dx  Ey  F   / / / / / /  A x  B xy  C y  D x  E y  F  DeThiMau.vn Bằng cách thay x  a  m vào hệ (II ) ta có hệ ẩn a b:  y bn ( III ):  Aa  Bb  Cab  (2 Am  Cn  D)a  (2 Bn  Cm  E )b   Am  Bn  Cmn  Dm  Fn  F  / / / / / / / / / / / / / /  A a  B b  C ab  (2 A m  C  D )a  (2 B n  C m  E )b   A m  B n  C mn  D n  F Hệ có dạng (II ) khi:  2 Am  Cn  D  ( )     Cm  Bn  E  ( *** )  / / /     A m C n D  ( )  C / m  B / n  E /  Đây hệ phương trình để xác định m n Ta gọi   (C  AB) ; định thức hệ (  ) Và   (C /  A / B / ) định thức hệ (  ) ( ta gọi biệt thức phương trình tương ứng hệ (II ) ) Kết luận : CE  BD  m     1  Nếu  hệ (  ) có nghiệm :  hệ (  ) có  CD AE   n  1   C / E /  2B / D / m    2 nghiệm nhất:  / / / / từ ta đến: n  C D  2A E  2 Kết I :   1) Nếu   hệ (***) vơ nghiệm Do hệ ( III ) khơng đưa hệ dạng ( I )   1    2   / / / /  CE  BD C E  B D   2) Nếu   hệ (***) vơ nghiệm Do hệ (III) không đưa 1 2  / / / /  CD  AE C D  A E   1 2   ( I ) DeThiMau.vn 1    2   / / / /  CE  BD C E  B D   3) Nếu :   hệ (***) có nghiệm ( m; n ) Do 1 2  CD  AE C / D /  A / E /   1 2   hệ (III) đưa ( I ) 4) trường hợp (***) vô số nghiệm bạn dễ kiểm tra hệ ( II ) vô nghiệm có vơ số nghiệm dạng vơ định phương trình hệ (II ) tương đương ) Bài toán tổng quát giải Như hệ ( ***) rơi vào trường hợp 1) 2) kết I tốn giải hệ ( II ) theo cách nói bế tắc Ta tiếp tục lấp lỗ hổng số ví dụ cụ thể III TÌNH HUỐNG MỚI Ví dụ  x  y  xy  x  y Giải hệ sau:  x2  y2    x  y  xy  x  y  Hệ viết lại:  x2  y2    - Xét phương trình thứ với   (C  AB) = tức theo kết luận hệ giải theo kiểu đưa hệ ( II ) - Bây ta để ý đến phép giải hệ ví dụ sau đặt ẩn phụ đưa hệ ẩn a b ta tính được:  x  2 y  a  2b   Các đẳng thức liên hệ x y chứng tỏ :  x  (4 y  1)  a  b  Ta tính x qua y biểu thức bậc ( y tính qua x biểu thức bậc nhât ) Như ta cách làm điều phép giải hệ phép dẫn đến phương trình bậc hai quen thuộc Từ hệ giải mà khơng phải đưa hệ đẳng cấp dạng ( I ) tức ta có hướng nghiên cứu nhằm tìm lời giải cho ví dụ IV GIẢI PHÁP DÙNG ĐIỀU KIỆN TRIỆT TIÊU CỦA BIỆT THỨC   B  AC Ta có kết sau: Kết Điều kiện để tam thức bậc f ( x)  AX  BX  C ( A> ) trở thành bình phương nhị thức bậc là:   B  AC = f ( x)   f ( x; y )    Kết Hệ :  ( Với k  0)  g ( x; y )   f ( x)  k g ( x; y )  DeThiMau.vn Từ ý tưởng x qua y biểu thức bậc ( y tính qua x biểu thức bậc ) từ hệ ta làm sau: Gọi k số khác ta có:  x  y  xy  x  y   x2  y2     2 2 x2  y2     x  y  xy  x  y  k ( x  y  3)   x2  y2    2 (1  k ) x  x( y  1)  (1  k ) y  y  3k  Để định ý ta chọn k > -1 Do phương trình thứ phương trình bậc nên để hy vọng tính x qua y theo biểu thức dạng hửu tỷ dạng x =   y biệt thức Đen-ta cua x phải có dạng bình phương nhị thức bậc Vậy ta cần chọn số k >-1 cho  x  (4k  3) y  2(3  2k ) y  12k  12k  bình phương nhị thức bậc y    3 4 k   k     k    k 1    / 2   y  4k  4k  3k  4k   (k  1)(k  1)(2k  1)   Ta có lời giải tường minh sau : Lời giải : (cho ví dụ 2)  x  y  xy  x  y   x2  y2    Cộng phương trình ta có hệ  x 1 (v.n)   2 2  x  y 3  x  y 3 x  x  y2           2x  y   y 1  x  12 x  y  3  2 x  x( y  1)  y     2 2  y  x Đó nghiệm hệ - Đây lời giải đẹp dùng điều kiện triệt tiêu biệt thức Đen-Ta tam thúc bậc cho ví dụ Như phần khắc phục cho hệ ví dụ không đưa hệ dạng ( I ) Bạn đọc áp dụng cách giải cho ví dụ thấy giải theo phương pháp Nhận xét 3: Trong kết không tồn tai số k  để thỏa mãn kết kết cần thận trọng xét phương trình hệ lại thỏa mãn hai kết hay khơng  x  x  y  10  Ví dụ : Giải hệ phương trình :   y  10 y  x  20  Đây hệ dạng ( II ) không đầy đủ -Ta thấy phương trình đầu có   C  AB  nên đưa hệ (II ) DeThiMau.vn Lời giải1 : Dùng Biệt thức Đen-Ta cho phương trình bậc  x  x  y  10   x  x  y  10  Trừ vế ta có hệ      y  10 y  x  20   x  11x  y  30  Xét phương trình thứ hệ : x  11x  y  y  30  có :   (2 y  1) Từ ta tính x  y   x   y  Từ ta đễ dàng suy nghiệm cách giải    x  12  9( y  5)  36  x 1  a ( Lời giải2 : Hệ   Đặt hệ trỏ thành :  y   b  y  5  9( x  1)  36 a  9b  36 hệ đối xứng trừ vê  b  a  36   a  9b  36 a3 Từ hệ có nghiệm :  x; y   4;2    b  3 a  b a  b    Bằng cách ta giải hệ có dạng sau :  x  2ax  by  c  thõa mãn điều kiện : a  bm  c  m  ab  d )   y  2my  bx  d  Nhận xét : Như để dùng phương pháp ‘’ Biệt thức đen-ta’’ thực để giải hệ Ta thực theo lược đồ sau :  Ax  Bxy  Cy  Dx  Ey  F  0(1) Xét hệ:  / / / / / /  A x  B xy  C y  D x  E y  F  0(2) Bước 1: +Thử phương trình (1) xem (1) có biệt thức  biến x ( biến y) có dạng bình phương hay khơng + Thử phương trình (1) xem (2) có biệt thức  biến x ( biến y) có dạng bình phương hay khơng Nếu phương trình khơng thõa mãn thì: Bước 2: Tìm k cho biểu thức  biến x ( y) phương trình (2) hệ f ( x)   f ( x; y )   ( Với k  0) thõa mãn điều kiện kết    g ( x; y )   f ( x)  k g ( x; y )  0(2) Để kết thúc ví dụ xin mời bạn giải nhóm tập sau  x2  2y2  x  2y  Nhóm Giải phương trình sau :  2 x  xy  y  x  y     x  y 2  y  3  2  x  xy  y  x  13 y  4 x  y  xy  x  11   2  x  y  xy  x  20  Nhóm giải hệ sau :  xy  x  y  16  2  x  y  x  y  33 DeThiMau.vn 9  x  xy  x  y   2 2 x  xy  y  y   x  y  20  3 2  x  y  x  12 y  x  32 y x  x  y  y  3  x  y 9 V KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI : Toán học phong phú đa dạng Hơn khơng có phương pháp chung để giải cho tất tốn dạy tốn u cầu ngày cao Trên suy nghĩ cách dạy cho học sinh lớp 10 rèn luyện kỹ giải lớp hệ phương trình bậc chứa biến số trường hợp khéo léo đưa kiến thúc quen thuộc suy nghĩ mà tác giả cho có lý có hiệu thực tế giảng dạy.Theo ý chủ quan tác giả cho đề tài làm điều sau giảng dạy : -Huy động kiến thức -Tạo tình hứng thú tìm tịi có tính chất phương pháp nhằm tạo chủ động tích cực cho học sinh nghiên cứu hay tiếp cận vấn đề -Từ trường hợp riêng giải cách đưa ( I ) cách đổi biến dùng giải pháp biệt thức  ta tạo cách giải lớp hệ phương trình biến bậc phong phú -Mở đối tượng nghiên cứu đưa cách giải cho hệ phương trình bậc biến dạng đầy đủ mà đề tài cịn chưa có điều kiện giải cách triệt để hệ biến có bậc cao tập nhóm mà đề tài chưa thể mà chúng tơi có dịp trao đổi tiếp tục VI ĐỀ XUẤT HƯƠNG NGHIÊN CỨU Phương trình đẳng cấp bậc hai biến nghiên cứu tương tự phương trình đẳng cấp bậc hai biến ta thu kết ? 2.Có thể khẳng định dùng phương pháp ‘‘biệt thức Đen-Ta’’ để giải trọn vẹn ‘’ lỗ hổng’’ hệ (II ) không đưa hệ ( I ) hay không ? 3.Các hệ bậc hai đối xứng loại I loại II có mối liên quan cách giải hay khơng ? 4.Nghiên cứu cách giải với hệ ẩn có bậc bậc kết có tương tự hay khơng ? Chúng ta trao đổi đề tài vào dịp khác Lời kết : Mặc dầu cố gắng chắn đề tài cịn có thiếu sót hạn chế định Tác giả đề tài mong nhận góp ý từ đồng nghiệp u thích mơn xem chia q báu cơng việc dạy tốn Tác giả xin chân thành cảm ơn mong muốn nhận ý kiến đóng góp đồng nghiêp! Hồng Lĩnh tháng năm 2013 DeThiMau.vn Nguyễn Tiến Minh 10 DeThiMau.vn ... viết đề tài :” KINH NGHIỆM DẠY TOÁN BẰNG CÁCH “QUY LẠ VỀ QUEN” QUA LOẠI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 nhằm bổ sung thêm kho tàng phong phú đa dạng loại toán giải hệ phương trình. .. CỨU Cách giải hệ phương trình bậc gồm phương trình chứa ẩn số trường hợp với giải pháp thích hợp III.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài: ” KINH NGHIỆM DẠY TOÁN BẰNG CÁCH “QUY LẠ VỀ QUEN” QUA LOẠI TỐN GIẢI... CỦA ĐỀ TÀI : Toán học phong phú đa dạng Hơn khơng có phương pháp chung để giải cho tất tốn dạy tốn u cầu ngày cao Trên suy nghĩ cách dạy cho học sinh lớp 10 rèn luyện kỹ giải lớp hệ phương trình