(Sáng kiến kinh nghiệm) dạy phương pháp xét dấu để giải bất phương trình cho học sinh lớp 10a9 trường THPT sáng sơn năm học 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG SÁNG SƠN =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Dạy phương pháp xét dấu để giải bất phương trình cho học sinh lớp 10A9 trường THPT Sáng Sơn năm học 2018-2019 Tác giả sáng kiến: Triệu Văn Hải Mã sáng kiến: 18.52.01 Sông Lô, Năm 2019 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Bất phương trình đại số phần kiến thức quan trọng chương trình mơn Tốn cấp THPT, thường xuất tất đề thi mơn Tốn, từ thi học sinh giỏi đến thi THPT quốc gia Học sinh muốn học tốt phần bất phương trình phải nắm vững phương pháp giải từ năm lớp 10 Thực tế hầu hết giáo viên dạy phương pháp biến đổi tương đương giống kiến thức viết sách giáo khoa để giải bất phương trình Học sinh khó khăn học bất phương trình, nhiều học sinh – giỏi giải sai câu bất phương trình bất phương trình vơ tỷ Ngun nhân học sinh giải sai phương pháp biến đổi tương đương sách giáo khoa sách tham khảo trình bày thường phải biến đổi phức tạp, chia nhiều trường hợp dẫn đến kết hợp nghiệm sai (dẫn đến thiếu nghiệm, thừa nghiệm), học sinh hay mắc sai lầm logic toán học Việc thử lại nghiệm giải bất phương trình khơng khả thi nghiệm thường tập hợp tập số thực Sách giáo khoa Đại số lớp 10 có đề cập đến phương pháp xét dấu để giải bất phương trình tích, thương P ( x )  0, P ( x )  0, P ( x )  0, P ( x) 0 (*) Q(x) Q(x) Q(x) Q ( x) ( P x  ,Q  x tích nhị thức bậc tam thức bậc hai), ví dụ trình bày xét dấu cách lập bảng Do sách giáo khoa trình bày chưa đầy đủ, nên học sinh chưa hiểu đầy đủ phương pháp xét dấu, biết vận dụng phương pháp vào giải bất phương trình tích, thương đơn giản, bắt trước giống ví dụ sách đưa ra, khơng biết áp dụng phương pháp để giải toán giải bất phương trình phức tạp (như bất phương trình chứa căn, bất phương trình mũ, logarit…), kể với học sinh – giỏi Trong trình dạy học, móc nối mạch kiến thức mơn Tốn tồn cấp THPT tơi thấy: liên kết kiến thức hàm số liên tục chương trình Đại số - Giải tích lớp 11 số ví dụ sách giáo khoa Đại số lớp 10 có giới thiệu phương pháp xét dấu (sách không nêu thành phương pháp mà có tính chất giới thiệu, gợi mở cho học sinh giáo viên tìm tịi) để tổng hợp thành phương pháp xét dấu giải bất phương trình Phương pháp vận dụng để giải bất phương trình đại số cấp THPT lớp 10, 12 (cả cho phần bất phương trình mũ – logarit) Theo tơi biết chưa có sáng kiến hay sách viết hoàn chỉnh phương pháp xét dấu để giải bất phương trình Trong đáp án số đề thi Đại học – Cao đẳng mơn Tốn hình thức Tự luận của số trường Đại học – Cao đẳng trước năm 2002 gợi ý giải đề thi Đại học mơn Tốn Tự luận Bộ GD&ĐT đăng tải trang mạng Internet báo Tốn học tuổi trẻ có sử dụng phương pháp xét dấu giải số toán khó thuộc phần bất phương trình Sáng kiến hệ thống đầy đủ phương pháp xét dấu để giải bất phương trình đại số cách xác, khơng phải phân chia nhiều trường hợp, giúp học sinh tránh sai lầm thường gặp tiết kiệm thời gian phương pháp khác giải tập bất phương trình Điểm sáng kiến chỗ: Chuyển việc giải bất phương trình f ( x)  (hoặc f ( x)  ) việc giải phương trình f ( x)  , tìm nghiệm, xếp nghiệm theo thứ tự nhỏ đến lớn trục số, xét dấu f(x) khoảng chọn khoảng nghiệm thích hợp; nhờ kết hợp tính chất hàm số liên tục hàm số, cụ thể là: hàm số f(x) liên tục tập R đoạn (hoặc khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng) mà phương trình f(x) = vơ nghiệm (tức khơng cắt trục hồnh) f(x) giữ nguyên dấu tập (tức ln nằm phía phía trục hồnh theo cách diễn giải trực quan cho học sinh dễ hiểu) Lớp 10A9 trường THPT năm học 2018-2019 tơi dạy có lực học mơn Tốn yếu (điểm bình qn thi vào lớp 10 3,25 điểm) Nên trình dạy phần bất phương trình, nhờ sáng kiến mà em tự tin, nắm vững phương pháp giải phần bất phương trình Tên sáng kiến: Dạy phương pháp xét dấu để giải bất phương trình cho học sinh lớp 10A9 trường THPT Sáng Sơn năm học 2018-2019 Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Triệu Văn Hải - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Sáng Sơn, huyện Sông Lô, tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0987817908 E_mail: trieuvanhai.phtsonglo@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: tác giả sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: + Giáo viên dạy lớp 10,11,12, dạy ôn thi THPT quốc gia; dạy ôn thi học sinh giỏi + Học sinh lớp 10, học sinh lớp 11,12 ôn thi học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia (các câu hỏi vận dụng) Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 10/01/2019 Mô tả chất sáng kiến: - Dạy học sinh sử dụng phương pháp xét dấu để giải nhanh bất phương trình khó, phức tạp thuộc chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10,11,12; chương trình dạy ơn thi THPT quốc gia mơn Tốn a) Về nội dung sáng kiến: PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Dấu nhị thức bậc nhất: 1.1 Định nghĩa : Nhị thức bậc (đối với x) biểu thức có dạng f(x) = ax + b, b a, b số cho trước a  Số x0  a gọi nghiệm nhị thức bậc 1.2 Định lý dấu nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc f(x) = ax + b, ( a  ), dấu với hệ số a x lớn nghiệm trái dấu với hệ số a x nhỏ nghiệm 1.3 Trục xét dấu f(x) = ax + b ( a  ): X - b + a f(x) = ax + b f(x) trái dấu với a f(x) dấu với a 1.4 Sử dụng trục xét dấu: * Nếu a > ta có trục xét dấu: * Nếu a < ta có trục xét dấu : 1.5 Minh hoạ đồ thị : y a0 y y=ax+b y=ax+b + + b + + -a + - O x x + O -b a - - - - x - - b x + - - a f(x) - + f(x) + b a + - Dấu tam thức bậc hai 2.1 Định nghĩa : -Tam thức bậc hai (đối với x) biểu thức có dạng f (x )  ax  bx  c , a, b, c số cho trước a  -Số x (nếu có) thoả mãn ax  bx  c  gọi nghiệm tam thức bậc 0 hai nói 2.2 Định lý dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f ( x )  ax  bx  c ,  a  0 Nếu  f(x) dấu với hệ số a với x  Nếu  f(x) dấu với hệ số a với x  b 2a Nếu  f(x) có hai nghiệm x1, x2 (x1< x2) Khi f(x) trái dấu với hệ số a với x nằm khoảng (x1, x2) f(x) dấu với hệ số a với x nằm đoạn x1 ; x2  2.3 Minh hoạ đồ thị bảng xét dấu: * Nếu  y a>0 y Đồ thị a0 a0 Đồ thị a0 b ( f (b)0 ) (x )   x x1 ; x2  Ví dụ 1: Giải bất phương trình a) x  1 3 x  x    3x 11 0 x  4x  4x e) x  x2   Lời giải: c)  Đặt 4 f ( x )   x  1 3 x  x   1 x1 x2 x  d) 1 x 2x 1 b) + Cho x    x  1; 3x  7x     x 1 x  Ta có trục xét dấu - - -1 + - + - + Từ trục xét dấu suy  x  3x  7x   0      x  Nghiệm bất phương trình  ; 1  1;    x 1 1    Lưu ý: Có thể thể kết xét dấu dạng dòng sau: x f (x ) - -3 - + -1 + - + Nhận xét: Nếu đa thức P(x), Q(x) có nghiệm x1 , x2 , , xn đôi khác x1  x2   xn (nghĩa khơng có nghiệm bội) khoảng  ; x1 , x1 ; x2 , , xn ; tích P x  Q xhoặc Q x  thương   giữ dấu P x Q x  không đổi Áp dụng khẳng định trên, muốn xác định dấu P x  khoảng trên, ta cần tính giá trị phân thức điểm khoảng   Chẳng hạn, ví dụ trên, f ( x )  x  x  x  4 có nghiệm 1; 1;  Các nghiệm chia tập thành khoảng (-;  ),( ; -1), 3 (-1; 1) (1; +) Trên khoảng, f(x) nhận dấu xác định Ta lấy Ta có: - x =  x = 1, 20 1.1   51  x  x  x    51  x  x   x   x 1    1x0 51  x  x  1  x2  x 5  x    x 5 Ta có trục dấu f(x) sau: -1-2 13 -5 f ( x)  51  x  x  x 1 01 1x + -1+2 13  - 2 13  x 5 1  x 1  13  Vậy bất phương trình (10) có nghiệm  1  13  x 5 1  x 1  13 Nhận xét: dạng này, phương pháp xét dấu ưu việt hẳn Học sinh thường không bị sai giải theo cách xét dấu Ví dụ Giải bất phương trình: (11) x   x   x  Giải: Cách 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương: (11.1) x   x   x    x   x    x  x  3 - Nếu x = bất phương trình thỏa mãn Vậy x = nghiệm (a) - Nếu x    x  3thì 11.1  x    x  3  x    x  32  6x Kết hợp với x > suy x > nghiệm (11) - Nếu x    x   x   x    x  3  0  x2       x3   13   x  13 (b)  x 3   x x  x 3  2  x    x  3 21 x 3  x 3 x 3   x 13    13 3  x    13  x  c 6 x 13 Kết hợp (a), (b), (c) suy nghiệm bất phương trình (11)  x  Ghi chú: phương pháp học sinh phải chia nhiều trường hợp Cách 2: Dùng phương pháp xét dấu  x 2 Điều kiện x    11   x    x  x24x3 Xét dấu f ( x )   x    0  x24x3 x30x3 x 4 x3 0 x 3 x 4 x3  2 x  4 x 3   x  3   13  x   Ta có trục xét dấu: - f (x)     x   13 -2 - 13 2  x  x  Vậy bất phương trình (11) có tập nghiệm S  Ví dụ 10 Giải bất phương trình:  13  6  12x   ; 2x  2 2 x Giải: Cách 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương Điều kiện:  x  + + - 13 2 x   2  x   3; 9x2 16 (12) 22 Thực nhân liên hợp ta có:  x    x  4 12  x  4 4(2  x )   6x4   2x42 2x x  16 2x42 2x x2 16   3x2    3x2 9x x  16    (Nhân liên hợp lần 2)   2x4 2  x   9 x  x  32  16  x   x  82x2   2x 3x2 x2 82x 0  x x  (12.2) 8   2x   2 x      2x 8       x   0 x 2      2x  x       x   12.2  12.3  x 2  32 32 2x  0 (12.1)     x2      (Do  x   x  x   2; 2)   x   3x       2x  x  x   2x    12.1   3 x       x2  8  x      2x42 2x  16  x    x   2x x  16     x  32 x2 23  x    12.3 2  x      2x2   x  x     x   0         x  32  8x2   x     x   0 2  x     32 32 x Vậy bất phương trình (12) có tập nghiệm : S  2; 0x 2  x   2  32  3     ;2  Cách 2: Dùng phương pháp xét dấu 2 x   2  x  Điều kiện:  2  x  Bất phương trình cho tương đương với 12x  Xét dấu f (x )  2x   2  x   x  Ta có f(x) =    x  2x   2  x  12x   9x2 16 9x2 16 , trục xét dấu f(x) : 32 3 - + -2 + 32 3 Từ nghiệm bất phương trình cho S   2; 4x   2  3   2x  3x2  x 1 Ví dụ 11 Giải bất phương trình: Giải: Điều kiện x2     2   32  3 (13)  ;2  x 1 Cách 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương: 24 13   x   x  3      x      x     1  x 3x 3  x2 1   13.1  - Nếu 2 x     x  bất phương trình (13) hiển nhiên - Nếu x    x  2 x  3 13.1  10 x    x   (Vô nghiệm 2x - < 0)   x2 1 - Nếu x    x    2x    2x   0 x   13.1  10 x    2x  3  2x   1  x     x      x 1    x  x       x    22x  3 1   1x  3  x  x 1   1x2  11x  36x  28  2   Do x  32 nên   x 1 1  x  2  x    Kết hợp trường hợp suy nghiệm bất phương trình (13)   x 1 1  x  Ghi chú: giải theo phương pháp học sinh phải chia nhiều trường hợp phức tạp dễ mắc sai lầm Cách 2: Dùng phương pháp xét dấu Điều kiện: x2    x 1 x 1 25 13   x  2 x     x      x    3x23 x 1  Ta có: x 1   2 x  3  Xét dấu f x    x    1   2 x 3  1       x     x  2 x   x 1  1  2 x    x 2 x    1   3  x  x   x   x    36x  28   14 11x x  11  Trục xét dấu: + - -1    x  3 x  x + - 2 -2  2 x  3  Từ trục xét dấu suy f x    x     1   Vậy tập nghiệm bất phương trình (13) 1 x S Ví dụ 12 Giải bất phương trình:     ;   0x  ;1  1;2      1;2  1   x  2x 1 1 x   2x 1 Giải: Ta dùng phương pháp xét dấu (phương pháp biến đổi tương đương phức tạp này) 26     x  8x0  Điều kiện  x     x   2x    x   x   Khi đó, bất phương trình cho tương đương với  x  2x 1 10 8  x70 x x   2x  x   2x 1 Đặt f ( x)    x  ta xét dấu f(x) x x   x 1 x2    x  x    x  12 ; x   2x     x     Dấu f(x) sau: x -3 -7 f(x) - + 2 - +  Qua trục xét dấu cho ta nghiệm bất phương trình cho  2 x  x  10  x   7;  BÀI TẬP Giải bất phương trình:  x  x2   x 3 4  2  ;2   2x26x1x20 x2 1 1  x 1 x4     x  x   x 1 x  3x   x   x  21 2x2  3    2x x 1   x  x2 27 b) Về khả áp dụng sáng kiến: - Sáng kiến thân triển khai áp dụng dạy chuyên đề cho học sinh lớp 10A9 trường THPT Sáng Sơn, kết cho thấy, sau dạy thực nghiệm sáng kiến kỹ giải bất phương trình học sinh tiến nhanh Học sinh sai sót giải bất phương trình sau dạy nội dung sáng kiến Đặc biệt học sinh khơng cịn tâm lý “sợ” giải bất phương trình - Sáng kiến áp dụng cho tất học sinh lớp 10 trường THPT tỉnh Vĩnh Phúc, học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia, phát triển sáng kiến để dạy phần bất phương trình thuộc mơn Tốn cấp THPT - Đối với học sinh giỏi : giáo viên cần rèn luyện cho học sinh cách trình bày, vận dụng sáng kiến học sinh tiết kiệm thời gian, ngắn gọn, xác, tránh sai sót - Đối với học sinh giải đề thi Tốn hình thức trắc nghiệm (nhất thi THPT quốc gia) học sinh rút ngắn nhiều thời gian phát huy tối đa cơng dụng máy tính cầm tay giải câu bất phương trình Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: a) Đối tượng dạy học: - Học sinh phải nắm vững cách giải phần phương trình đại số; - Học sinh phải giới thiệu khái quát tính chất hàm số liên tục Nếu học sinh học kỳ phần hàm số liên tục hiểu sâu phương pháp b) Thời lượng dạy: c) Hình thức dạy: - Giáo viên dạy khóa, giới thiệu phương pháp xét dấu song song với phương pháp sách giáo khoa - Sáng kiến hiệu học sinh rèn luyện qua nhiều ví dụ, tập nên giáo viên có điều kiện dạy vào tiết luyện tập, tự chọn (các tiết luyện tập, tự chọn củng cố phương pháp xét dấu) 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: - Việc áp dụng sáng kiến giúp cho học sinh lớp 10 trường THPT Sáng Sơn giảm 30% thời lượng học chuyên đề bất phương trình cho 01 lớp có học lực trung bình-khá Nếu tính chi phí giảm khoảng 30.000đ/01 học sinh - Sáng kiến áp dụng để dạy học cho tất trường THPT tỉnh Từ đối tượng học sinh trung bình đến học sinh giỏi tiết kiệm thời gian tránh sai lầm giải toán bất phương trình 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: 28 - Nếu sáng kiến áp dụng rút ngắn thời lượng dạy học phần bất phương trình trung bình khoảng đến tiết dạy chuyên đề, ôn thi THPT quốc gia; học sinh tiếp thu dễ hiệu cao - Đối với giáo viên: Dạy theo phương pháp nêu sáng kiến dễ so với phương pháp khác - Về lợi ích kinh tế: sáng kiến triển khai, nội dung bất phương trình rút ngắn, giảm chi ngân sách nhà nước tiền thừa lên đến vài triệu đồng nhà trường THPT (tính theo mức thừa giờ); số tiết dạy thêm rút ngắn khoảng đến tiết, học sinh giảm 25.000đ đến 30.000đ 01 năm học 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: Số Tên tổ Địa TT chức/cá nhân Triệu Văn Hải Trường THPT Sáng Sơn, Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Mơn Tốn, lớp 10A9 trường Sơng Lô, Vĩnh Phúc THPT Sáng Sơn (phân hiệu 2) Sông Lô, ngày … tháng … năm 2019 Sông Lô, ngày 28 tháng 01 năm 2019 HIỆU TRƯỞNG TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Triệu Văn Hải 29 PHỤ LỤC Đánh giá tiến học sinh sau áp dụng sáng kiến 1.Các bước thực đánh giá - Bước 1: Đánh giá lực đầu vào học sinh lớp 10A9 (Điểm thi vào lớp 10 mơn Tốn chất lượng học mơn Tốn kỳ 1) - Bước 2: Dạy phần bất phương trình đại số lớp 10 (dạy theo sách giáo khoa, chưa dạy phương pháp xét dấu nên học sinh chưa áp dụng) - Bước 3: Khảo sát học sinh lần (sau dạy xong phần bất phương trình) Chấm điểm, phân tích, thơng báo kết - Bước Triển khai sáng kiến (dạy phương pháp xét dấu giải bất phương trình) - Bước Khảo sát học sinh lần (sau dạy xong sáng kiến) - Bước Chấm điểm, phân tích, tổng hợp, so sánh kết khảo sát lần lần ; thông báo kết Điểm khảo sát lần sau : TT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Họ tên Trần Thị Nguyên An Nguyễn Việt Anh Vũ Hoàng Anh Chu Thị Ngọc Ánh Lưu Hồng Ánh Lê Kim Dung Nguyễn Đức Duy Vũ Thị Thùy Dương Hà Thị Hải Nguyễn Hồng Hạnh Bùi Thị Hằng Nguyễn Thị Lệ Hồng Triệu Thị Huệ Trần Ngọc Lan Triệu Thị Lan Triệu Thị Liên Nguyễn Quang Linh Lê Thu Luyến Bùi Thị Cẩm Ly Khổng Thị Hương Ly Trần Thị Ban Mai Trần Hùng Mạnh Lộc Thị May Lê Công Minh Điểm khảo sát Trước Sau khi áp áp dụng Tăng/giảm dụng SK SK 6,25 0,25 4,75 6,5 1,75 5 4,5 6,25 1,75 5,25 0,75 6,25 2,75 3,5 5,5 4,25 6,25 3,75 4,75 4,25 4,5 0,25 4,5 0,5 3,75 0,75 7,25 0,75 3,5 5,5 2,5 3,75 1,25 4,75 5,5 0,75 5,5 0,5 5,25 5,5 0,25 6,25 6,75 0,5 3,75 1,25 6,25 2,25 4,5 4,75 0,25 Ghi 30 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Nguyễn Quý Mùi Nguyễn Thị Hằng Nga Trần Thị Hồng Ngọc Nguyễn Thị Hồng Nhung Nguyễn Thị Bích Phượng Hồng Thị Thảo Hà Đức Thắng Trần Thị Thu Thùy Lê Thị Hồng Thương Khổng Thị Huyền Trang Lê Quỳnh Trang Nguyễn Thị Thùy Trang Đỗ Thành Trung Trần Xuân Trường Nguyễn Anh Tú Lê Hà Anh Tuấn 3,25 5,25 3,75 5,25 3,75 3,25 4,25 5,25 5,75 3,75 4,25 6,25 5,25 4,54 3,25 -1,25 Lần vắng 5,75 5,75 5 5,5 6,75 3,75 4,5 4,25 8,25 6,5 5,62 0,5 1,25 1,75 2,75 0,25 0,25 -0,75 1,75 1,25 1,25 1,01 Phụ lục 2: Các đề khảo sát chất lượng tổ chức cho học sinh kiểm tra Đề lần 1: Kiểm tra học xong phần bất phương trình (chưa dạy sáng kiến) Đề lần Kiểm tra học sinh sau áp dụng sáng kiến SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SÁNG SƠN ĐỀ KHẢO SÁT LỚP 10A9 LẦN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN (Thời gian làm 45 phút, không kể thời gian giao đề) Giải bất phương trình: 3x  x   x   x  x3 1x x  3x  5 x    x2  2 x1 2x5  3 2x -Hết - SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SÁNG SƠN Giải bất phương trình: x  x ĐỀ KHẢO SÁT LỚP 10A9 LẦN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN (Thời gian làm 45 phút, không kể thời gian giao đề)   x2 x1  2x3 2x2 2x  5x  1 x 1 3   2x   10  x  x  21 -Hết 31 ... Tên sáng kiến: Dạy phương pháp xét dấu để giải bất phương trình cho học sinh lớp 10A9 trường THPT Sáng Sơn năm học 2018- 2019 Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Triệu Văn Hải - Địa tác giả sáng kiến: Trường. .. mở cho học sinh giáo viên tìm tịi) để tổng hợp thành phương pháp xét dấu giải bất phương trình Phương pháp vận dụng để giải bất phương trình đại số cấp THPT lớp 10, 12 (cả cho phần bất phương trình. .. áp dụng sáng kiến: - Sáng kiến thân triển khai áp dụng dạy chuyên đề cho học sinh lớp 10A9 trường THPT Sáng Sơn, kết cho thấy, sau dạy thực nghiệm sáng kiến kỹ giải bất phương trình học sinh tiến