UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) x2 x 2x Cho biểu thức P x x 7x 10 x a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên Cho a + b + c = Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc Bài (2,0 điểm) Tìm x, y, z biết x2 + y2 + z2 + 2x – 4y + 6z = -14 Tìm số nguyên dương n để số p = n3 - n2 + n - số nguyên tố Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình 4x + 11y = 4xy Bài (2,5 điểm) 900 cho tia Ax cắt Cho hình vng ABCD Trên BC lấy điểm E, dựng EAx CD F Gọi I trung điểm FE, AI cắt CD M Qua E dựng tia Ey song song với DC cắt AI K a) Tam giác AFE cân A b) Tứ giác KFME hình thoi Bài (1,5 điểm) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB AC, theo thứ tự lấy điểm E D cho BE = CD Gọi N, Q theo thứ tự trung điểm BD CE Gọi G H giao điểm NQ với AB NQ với AC Chứng minh tam giác AGH cân Bài (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức M Hết ThuVienDeThi.com 8x 12 x2 UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Mơn thi: Tốn Đáp án Điểm 0,25 1a) ĐKXĐ : x ; x x2 x 2x P x x 7x 10 x x2 x 2x x (x 2)(x 5) x x x x (2x 4)(x 2) (x 2)(x 5) Bài (2,0 điểm) 0,25 x 8x 15 (x 5)(x 3) x (x 2)(x 5) (x 2)(x 5) x2 1b) Ta có P 0,25 x (x 2) 1 1 x2 x2 x2 Để biểu thức P có giá trị nguyên (x 2) x U(1) 1 có giá trị nguyên x2 0,25 Khi x – = x = (TMĐK) Khi x – = - x = (TMĐK) Vậy x 1 ; 3 biểu thức P có giá trị nguyên 0,25 2) (a + b + c)3 = (a + b)3 + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3 = (a + b)3 + 3(a + b)c.(a + b + c) + c3 = (a + b)3 + c3 0,25 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) a3 + b3 + c3 + 3ab(- c) ( a + b + c = nên a + b = -c) 0,25 a3 + b3 + c3 + 3ab(-c) = suy a3 + b3 + c3 = 3abc 0,25 1) x2 + y2 + z2 + 2x – 4y + 6z = -14 Bài (x 2x 1) (y 4y 4) (z 6z 9) 0,25 (x 1) (y 2) (z 3) 0,25 (2,0 điểm) Mà (x + 1)2 ; (y - 2)2 ; (z + 3)2 0,25 Suy : x = -1 ; y = ; z = -3 0,25 2) Phân tích p = (n - 1)(n2 +1) 0,25 ThuVienDeThi.com Nếu n = p = 0, khơng phải số ngun tố 0,25 Nếu n = p = 5, số nguyên tố Với số tự nhiên n n -1 2; n +1 10 p có ước lớn Suy p hợp số 0,25 Vậy n = giá trị phải tìm 0,25 4x + 11y = 4xy (4x – 11)(y – 1) = 11 0,25 Vì x, y số nguyên nên 4x – 11 y – ước 11 0,25 Ta có bảng giá trị: Bài (1,0 điểm) 4x – 11 - 11 -1 11 y–1 -1 - 11 11 x xZ xZ y -10 12 Vậy nghiệm nguyên phương trình : (x, y) = (0 ; 0), (3 ; 12) 0,25 0,25 Hình vẽ B A K y E I F x Bài (2,5 điểm) D M C a) - Chứng minh ABE = ADF (g.c.g) 0,5 Suy AE = AF hay AFE cân A 0,5 b) - Chứng minh IKE = IMF (g.c.g) Suy IK = IM 0,5 Ta có: IK = IM; IE = IF nên tứ giác KFME hình bình hành 0,25 Tam giác AFE cân nên trung tuyến AI đường cao tức AM FE Hình bình hành KFME có KM FE 0,5 Nên KFME hình thoi 0,25 ThuVienDeThi.com Hình vẽ A P E G N D Q H B Bài (1,5 điểm) C Gọi P trung điểm ED Có PN đường trung bình EDB 0,25 EB Tương tự PQ // CD PQ CD 0,25 PQN Do PN = PQ PNQ cân P PNQ 0,5 Suy NP // EB NP Mà BE = CD (GT) AGH; (hai góc đồng vị PN // EB) Lại có: PNQ AHG (hai góc đồng vị PQ // CD) PQN AHG suy AGH cân A Nên AGH Ta có : M Bài (1,0 điểm) 8x 12 (x 8x 16) (x 4) (x 4)2 1 x x2 x2 x 4 Do M = -1 x = - 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có : 8x 12 (4x 16) (4x 8x 4) 4(x 1) M 4 x x 4 x2 x 4 0,25 Do max M = x = 0,25 Chú ý : - Các cách giải khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com ...UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Môn thi: Toán Đáp án Điểm 0,25 1a) ĐKXĐ : x ; x x2 x ... phải tìm 0,25 4x + 11y = 4xy (4x – 11)(y – 1) = 11 0,25 Vì x, y số nguyên nên 4x – 11 y – ước 11 0,25 Ta có bảng giá trị: Bài (1,0 điểm) 4x – 11 - 11 -1 11 y–1 -1 - 11 11 x xZ xZ y -10 12 Vậy... P có giá trị nguyên (x 2) x U(1) 1 có giá trị nguyên x2 0,25 Khi x – = x = (TMĐK) Khi x – = - x = (TMĐK) Vậy x 1 ; 3 biểu thức P có giá trị nguyên 0,25 2) (a + b + c)3