Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 năm học 2011 2012 môn: Toán Học40245

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TỐN HỌC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài (4 điểm) Giải phương trình: 2   2sin x tan x  cot x Bài (4 điểm) u1   Cho dãy số  un  xác định  un1  un    2un Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số   n  N * Bài (4 điểm)   CAF  Cho tam giác nhọn ABC, cạnh BC lấy điểm E, F cho góc BAE , gọi M, N hình chiếu vng góc F đường thẳng AB AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Chứng minh tứ giác AMDN tam giác ABC có diện tích Bài (4 điểm) Cho tập hợp A  1;2;3; ;18 Có cách chọn số tập A cho hiệu hai số số khơng nhỏ Bài (4 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1   3  b2  c2  a Hết Họ tên : Số báo danh : DeThiMau.vn ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2011 - 2012 Bài Bài Giải phương trình: Lời giải 2   2sin x tan x  cot x cos x   Lời giải : Điều kiện : sin x   tan x  cot x   Điểm 1 2sin x  cos x Ta có : tan x  cot x   sin x sin x Do phương trình cho tương đương với : 1đ    sin x   sin x   sin x  1  sin x     sin x    sin x   sin x   ( Thỏa điều kiện (1) ) sin x   Giải phương trình ta : x Bài   k ; x   12 1đ 1đ  k ; x  5  k  k  Z  12 1đ Cho dãy số  un  xác định u1    *       u u 4 u n N n  n1 n Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số  Lời giải:  Đặt xn   2un n  N * Ta có xn  x   2un , n  N n Thay vào giả thiết, ta được: xn21  1  xn2       xn  9  * xn2  hay un   xn21   xn2    xn   xn 1    xn   DeThiMau.vn 1đ Suy ra: xn 1  xn  n  N * ( Do xn  , n  N * ) Hay 3n 1 xn 1  3n xn  4.3n , n  N * Đặt yn  3n xn , n  N * Ta có: yn 1  yn  4.3n , n  N * Từ yn 1  y1   3n  3n 1   3 , n  N * Hay yn 1  y1   2.3n 1 , n  N * Theo cách đặt ta có: x1   y1   yn   2.3n Suy ra: xn   n 1 , n  N * 1  Do un    n 1  n 2  , n  N * 2 3  1đ 1đ 1đ Bài Cho tam giác nhọn ABC, cạnh BC lấy điểm E, F cho góc   CAF  , gọi M, N hình chiếu vng góc F BAE đường thẳng AB AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Chứng minh tứ giác AMDN tam giác ABC có diện tích Lời giải: A M B O E N F 0,5đ C D   CAF    , EAF    Tacó Đặt BAE S ABC  1 AF AB AF sin      AC AF sin    AB.CD  AC.BD  2 4R (R-là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) (1) Diện tích tứ giác ADMN S AMDN  1 AM AD.sin   AD AN sin(   ) 2 DeThiMau.vn 1,5 đ = AD  AF cos     sin   AF cos  sin        AF AD AF sin  2     AD.BC (2) 4R 1,5 đ Vì tứ giác ABDC nội tiếp đường trịn nên theo định lí Ptoleme ta có : 0,5 đ AB.CD + AC.BD = AD.BC (3) Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh Bài Cho tập hợp A  1;2;3; ;18 Có cách chọn số tập A cho hiệu hai số số khơng nhỏ Lời giải: Ta cần tìm số phần tử tập T sau:   T  (a1 ,a , ,a ) : a1  a   a ;  a i  18; a i  a j  1đ Xét tập hợp H  (b1 ,b , ,b5 ) : b1  b   b5 ;  bi  14 Xét ánh xạ f cho tương ứng (a1 ,a , ,a ) với (b1 ,b , ,b5 ) 1,5 đ xác định sau: b1  a1 ,b  a  1,b3  a  2,b  a  3,b5  a  Dễ thấy f song ánh, suy T  H Mặt khác (b1 ,b , ,b5 ) H tổ hợp chập 14 phần tử Do H  C14  2002 Vậy T  2002 Bài Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1   3  b2  c2  a Lời giải: Bất đẳng thức tương đương với: a 1 b 1 c 1 a 1  b    c    a b c 333  b2  c2  a2 a  1 b  b  1 c  c  1 a  Hay     b2  c2  a2 Bây ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho mẫu thức:  a  1 b2   b  1 c   c  1 a   a  1 b2   b  1 c   c  1 a  b2  c2  a2 2b 2c 2a  a  1 b   b  1 c   c  1 a  2 DeThiMau.vn 1,5 đ  ab  bc  ca a  b  c    Vì ab  bc  ca  DeThiMau.vn A M B O E F DeThiMau.vn N C   CAF    , EAF    Đặt BAE 2 Ta có SABC  AB AF sin      AC AF sin  =  AF  AB.CD  AC.BD  4R (R-là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) (1) Diện tích tứ giác ADMN S AMDN  1 AM AD.sin   AD AN sin(   ) = 2 = AD  AF cos     sin   AF cos  sin        AF AD AF sin  2     AD.BC (2) 4R Vì tứ giác AMDN nội tiếp đường trịn nên theo định lí Ptoleme ta có AB.CD + AC.BD = AD.BC (3) Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh DeThiMau.vn ...ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2 011 - 2012 Bài Bài Giải phương trình: Lời giải 2   2sin x tan x ... 2c 2a  a  1 b   b  1 c   c  1 a  2 DeThiMau.vn 1,5 đ  ab  bc  ca a  b  c    Vì ab  bc  ca  DeThiMau.vn A M B O E F DeThiMau.vn N C   CAF    , EAF    Đặt BAE 2...  x   2un , n  N n Thay vào giả thi? ??t, ta được: xn21  1  xn2       xn  9  * xn2  hay un   xn21   xn2    xn   xn 1    xn   DeThiMau.vn 1đ Suy ra: xn 1  xn  n