2 bi: GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN Câu (4điểm): Giải hệ phương trình sau: 4 3 x y 2 x y 5 x y x 1 y 1 a b c d 2 x y 4 x y 4 x y 1 x y Câu 2(2điểm): Tìm giá trị a b để đường thẳng ax – 8y = b qua điểm M(13; -6) qua giao điểm hai đường thẳng (d1) 2x + 5y = 17 ; (d2) 4x – 10y = 14 Câu (3 điểm): Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A B cách 225km Một ôtô từ A đến B, lúc ôtô thứ từ B đến A Sau chúng gặp Biết vận tốc ôtô từ A lớn vận tốc ô tô từ B km/h Tính vận tốc ôtô? x my Câu 4: Cho hÖ phương trình: Tìm số nguyên m để hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) mµ x > vµ mx 2y y < Câu Trong hàm số sau hàm số hàm số bậc nhất: x -1 x+3 Câu Trong đường thẳng sau, đường thẳng cắt ®êng th¼ng y 3 x ? A y x B y 3 x C y (4 x) D y x A y 3( x 1) B y = x + C y x D y = Câu Hàm số y = - x - b cắt trục tung điểm có tung độ b b»ng: A B C D Câu Hệ số góc đường thẳng y x là: A B C – D Câu Cho hàm số y (2m 1) x vµ y 3 x Với giá trị m đồ thị hai hàm số song song với nhau? A m 2 B m C m D Không có m thoả mÃn Câu Hm s y = (m – 2)x + đồng biến khi: A m < B m > C m D m C©u Phương trình x -5y = 11 nhận cặp số sau làm nghiệm A (-2; 1) B (2; 1) C (2; -1) D (1; -2) C©u Nếu điểm M (2; -3) thuộc đường thẳng -x + 2y = m m : A -8 B -2 C D -10 3x y C©u Hệ phương trình tương đương với hệ phương trình 2 x y y 3x y 3x 2 x y 6 x y A B C D 2 x y 2 x y 2 x y 6 x 15 y C©u 10 Phương trình kết hợp với phương trình 2x – y = -1 hệ phương trình bậc hai ẩn vô nghiệm A y = 2x -3 ; B 2x +y =2 ; C y = x -2 D x -2y =1 II TỰ LUN: (5im ) -1ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TO¸N mx y 4 Bài (1,5 điểm) Cho hệ phương trình x y Giải hệ phương trình với m = Bài (2,5 điểm) Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm A B cách 210 km ngược chiều sau chúng gặp Tìm vận tốc tơ, biết vận tốc ô tô từ A lớn vận tốc ô tô từ B 10km/h.? 2 x y m 5 x y 1 Bài (1điểm) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > y < Bài 1: Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A, B tiếp điểm) Cho biết góc AMB 400 a/ Tính góc AOB b/ Từ O kẽ đường thẳng vng góc với OA cắt MB N.Chứng minh tam giác OMN tam giác cân Bài 2: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Kẽ tiếp tuyến Ax, By phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M nửa đường tròn kẽ tiếp tuyến thứ ba với đường trịn, cắt Ax By C D a/ Chứng minh: Tam giác COD tam giác vuông b/ Chứng minh: MC.MD=OM2 c/ Cho biết OC=BA=2R, tính AC BD theo R Bài 3: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi với B Vẽ đường kính AB đường trịn (O) đường kính BC đường trịn (O’) Đường trịn đường kính OC cắt (O) M N a/ Đường thẳng CM cắt (O’) P Chúng minh: OM//BP b/ Từ C kẽ đường thẳng vng góc với CM cắt tia ON D Chứng minh: Tam giác OCD tam giác cân Bài 4: Cho hai đường tròn (O,R) (O/,R/) cắt A B cho đường thẳng OA tiếp tuyến đường tròn (O/,R/) Biết R=12cm, R/=5cm a/ Chứng minh: O/A tiếp tuyến đường trịn (O,R) b/ Tính độ dài đoạn thẳng OO/, AB Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R=6cm điểm A cách O khoảng 10cm Từ A vẽ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm) a/ Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB b/ Vẽ cát tuyến ACD, gọi I trung điểm đoạn CD Hỏi C chạy đường trịn (O) I chạy đường ? Bài 6: Cho hai đường tròn đồng tâm (O,R) (O,r) Dây AB (O,R) tiếp xúc với (O,r) Trên tia AB lấy điểm E cho B trung điểm đoạn AE Từ E vẽ tiếp tuyến thứ hai (O,r) cắt (O,R) C D (D E C) a/ Chứng minh: EA=EC b/ Chứng minh: EO vng góc với BD c/ Điểm E chạy đường dây AB (O,R) thay đổi tiếp xúc với (O,r) ? Bài 7: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB điểm M nằm nửa đường trịn H chân đường vng góc hạ từ M xuống AB a/ Khi AH=2cm, MH=4cm Hãy tính độ dài đoạn thẳng: AB, MA, MB -2ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN b/ Khi điểm M di động nửa đường trịn (O) Hãy xác định vị trí M để biểu thức: 1 MA MB có giá trị nhỏ c/ Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến (O) A D, OD cắt AM I Khi điểm M di động nửa đường trịn (O) I chạy đường ? Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác a) Tính số đo góc ABD b) Tứ giác BHCD hình gì? Tại sao? c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH Bài 9: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường trịn điểm D a) AD có phải đường kính đường trịn (O) khơng ? Tại sao? b) Chứng minh: BC2 = 4AH DH c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm Tính bán kính đường trịn (O) Bài 10 Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi H trung điểm OA Dây CD vng góc với OA H Tứ giác ACOD hình gì? Tại sao? Chứng minh tam giác OAC CBD tam giác Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng Chứng minh đẳng thức CD2 = AH HB A Bài 11 Hình bên cho biết AB = CD Chứng minh rằng: MH = MK MB= MD Chứng minh tứ giác ABDC hình thang cân H B M O D Bài 12 Cho đường tròn đường kính 10 cm, đường thẳng d cách C tâm O khoảng cm Xác định vị trí tương đối đường thẳng d đường trịn (O) Đường thẳng d cắt đường tròn (O) điểm A B Tính độ dài dây AB Kẻ đường kính AC đường trịn (O) Tính độ dài BC số đo CAB (làm tròn đến độ) Tiếp tuyến đường tròn (O) C cắt tia AB M Tính độ dài BM K Bài 13.Cho tam giác ABC nhọn, đường trịn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN Tính số đo góc BMC BNC Chứng minh AH vng góc BC Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH 600 Kẻ dây Bài 14.Cho đường tròn tâm (O;R) đường kính AB điểm M đường trịn cho MAB MN vng góc với AB H Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM): Chứng minh MN2 = AH HB Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F.Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng Bài 15 Cho đường tròn (O) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B tiếp điểm) 1) Tính số đo góc tam giác OAB 2) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) -3ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN 3) AO ct đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Bài 16 Từ điểm A ngồi đường trịn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh OA BC tính tích OH OA theo R Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh CD // OA Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE Bài 17 Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE AC CF AB ( E AC , F AB ), BE CF cắt H Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng Xác định vị trí điểm A để H nằm đường trịn (O) Bài 18 Cho đường tròn (O ; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm).Gọi H giao điểm OA BC Tính độ dài OH Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC , kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác ADE Tính số đo góc DOE Bài 19 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax , By tia vng góc với AB( Ax , By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N Tính số đo góc MON Chứng minh MN = AM + BN Tính tích AM BN theo R Bài 20: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H cạnh AB AC Chứng minh AD AB = AE AC Gọi M, N trung điểm BH CH Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (M; MD) (N; NE) Gọi P trung điểm MN, Q giao điểm DE AH Giả sử AB = cm,AC = cm Tính độ dài PQ Bài 21 Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Gọi CD tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn ( với C (O) D (O’) ) Tính số đo góc CAD Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm, O’A = cm Bài 22 Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung MN với M thuộc (O) N thuộc (O’) Gọi P điểm đối xứng với M qua OO’, Q điểm đối xứng với N qua OO’ Chứng minh : MNQP hình thang cân PQ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) (O’).MN + PQ = MP + NQ Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VI-ÉT Dạng 1: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; -4ThuVienDeThi.com GV: NGUN THÞ HUN- BàI TậP TOáN x2 m2 5) (2m + 3)x + + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = Bài 2: a) Chứng minh với a, b , c số thực phương trình sau ln có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt phương trình sau có hai nghiệm phân biết: 1 (Èn x) xa xb xc c) Chứng minh phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = ln có hai nghiệm phân biệt Bài 3: a) Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) 2 x - 4ax + b = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm c) Cho phương trình (ẩn x sau): 2b b c ax x (1) 0 bc ca 2c c a bx x (2) 0 ca ab 2a a b cx x (3) 0 ab bc với a, b, c số dương cho trước Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phương trình ax2 + bx + c = Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phương trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Tớnh: -5ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN A x1 x ; C B x1 x ; 1 ; x1 x D 3x1 x 3x x1 ; E x1 x ; F x1 x Lập phương trình bậc hai có nghiệm 1 vµ x1 x2 Bài 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: 3 A 2x1 3x1 x 2x 3x1x ; 1 x x1 x x B ; x x x1 x1 x1 x 3x 5x1x 3x C 2 4x1x 4x1 x 2 Bài 3: a) Gọi p q nghiệm phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Khơng giải phương trình thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm p q vµ q 1 p 1 1 vµ 10 72 10 Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = a) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm x1 ; x2 với m 1 vµ y x b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 x1 x2 x1 Bài 5: Khơng giải phương trình 3x + 5x – = Hãy tính giá trị biểu thức sau: b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm A 3x1 2x 3x 2x1 ; B x1 x ; x x1 C x1 x2 ; D x1 x x1 x2 Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Khơng giải phương trình thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: x1 y x2 y x a) b) x2 y x y x Bài 8: Cho phương trình x2 + x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho món: -6ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN x1 x y1 y x x y y x x 2 a) ; b) y y y y 2 5x 5x 3x 3x y y Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 1 1 y1 y x1 x vµ x1 x y1 y Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vơ nghiệm Bài 1: a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phương trình có nghiệm a) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2:a) Cho phương trình: 4x 22m 1x m2 m 2 x 2x x 1 Xác định m để phương trình có nghiệm b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phương trình có nghiệm Dạng 4: Xác định tham số để nghiệm phương trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trước Bài 1: Cho phương trình: x – 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dương (cùng âm) 5) Định m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm 6) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 7) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = 0; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx – (m – 4)x + 2m = 0; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = 0; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = 0; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = 2 b) x – 4mx + 4m – m = ; x1 = 3x2 -7ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN mx2 c) + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = ; x1 = x22 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22 f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = Bài 4: a) Cho phương trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm b) Cho phương trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho biểu thức R 2x1x đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn x1 x 2(1 x1x ) c) Định m để hiệu hai nghiệm phương trình sau mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bài 5: Cho phương trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2 Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac Chủ đề 2: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH –HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Một ơtơ từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu Bài 2: Một người xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trước Sau quãng đường AB người tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngược từ B trở A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngược Bài 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngược 36 km Biết thời gian xi dịng sơng nhiều thời gian ngược dịng vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng km/h Hỏi vận tốc canơ lúc xi lúc ngược dịng Bài 5: Hai người thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm người làm công việc xong? Bài 6:Nếu vịi A chảy vòi B chảy vịi B chảy 30 phút cơng việc Hỏi 4 hồ Nếu vòi A chảy hồ Hỏi chảy mỗI vịi chảy đầy hồ Bài 7: Hai vòi nước chảy vào bể sau đầy bể Nếu vịi chảy cho đầy bể vịi II cần nhiều thời gian vịi I Tính thời gian vịi chảy đầy bể? Bài 8: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất bao nhiờu chi tit mỏy? -8ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TËP TO¸N Bài 9: Năm ngối tổng số dân hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 người Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay? Bài 10: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất lại vườn để trồng trọt 4256 m2 Bài 11: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 12:Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vng Bài 13: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị Bài 14: Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số thương số dư Bài 15: Nếu tử số phân số tăng gấp đơi mẫu số thêm giá trị phân số Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số Tìm phân số 24 Bài 16:Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng Tìm phân số PHẦN II: HÌNH HỌC Bài 1: Cho hai đường trịn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) điểm E, F Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đường tròn c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài 2: Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường trịn.Xác định tâm O đường trịn b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đường tròn Bài 3: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đường tròn (O') C, tia O'A cắt đường tròn (O) D Chứng minh rằng: a) Tứ giác OO'CD nội tiếp b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đường tròn Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp Bài 5: Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD AB, CE MA, CF MB Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp b) CD2 = CE CF c)* IK // AB -9ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TËP TO¸N Bài 6:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn Vẽ hai đường cao BD CE a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA DE Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM N a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC c)* Gọi D giao điểm AB CM Chứng minh rằng: 1 AM MB MD Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đường tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đường kính MN vng góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp b) AD AE = AF AN c) Đường thẳng MF qua điểm cố định Bài 9:Từ điểm A bên ngồi đường trịn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đường tròn điểm N Tia AN cắt đường tròn điểm D a) Chứng minh MB2 = MC MN b) Chứng minh AB// CD c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi Bài 10: Cho đường trịn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đường kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp b) Chứng minh tích MC MD có giá trị khơng đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh MAB = AO'D d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vng góc với AD ( E AD) a) Chứng minh AHEC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đường trịn nói biết AC= 6cm, ACB = 300 Bài 12: Cho đường tròn tâm O có đường kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đường vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F a) Chứng minh ADCF tứ giác nội tiếp b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AME = ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến đường trịn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đường tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600 Bài 13: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đường tròn Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) ( C, D tiếp điểm) a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng b) Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết AOM = 600 Bài 14: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D tia AC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tương ứng M, N, P - 10 ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đường tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC - 11 ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN PHN B SUNG (TUẤN PHƯƠNG) ĐỀ Bài 1: (4,0 điểm) Cho phương trình x 2mx 3m (1) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Khi (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 , tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x14 x24 x34 x44 x1 x2 x3 x4 Bài 2: (4,0 điểm) x 12 y 2 10 Giải hệ phương trình: 2 x x y y 20 1 1 Tính tổng S x x x x 15 x 12 x 35 x 2020 x 1020099 x 2011 Bài 3: (2,0 điểm): Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: x y 10 xy 2 x y Bài 4: (6,0 điểm): Cho đường trịn (O ; R), lấy điểm cố định A vẽ đường tròn (A ; R) Lấy điểm H di động (A ; R), cát tuyến (O) qua A H cắt (O) điểm thứ hai K Dựng trung trực đoạn HK cắt (O) B C Chứng tỏ H trực tâm tam giác ABC Tính số đo góc A tam giác ABC Bài 5: (2,0 điểm): Một hình trịn bán kính cm lăn ngồi tam giác vng có cạnh góc vng cm cm Hình trịn lăn ln tiếp xúc với cạnh tam giác đỉnh tam giác, hình trịn ln giữ tiếp xúc với đỉnh lăn từ cạnh sang cạnh Khi hình trịn lăn vịng đầy đủ cạnh tam giác quỹ đạo tâm hình trịn có độ dài ? Bài 6: (2,0 điểm): Người ta thiết lập dãy hình ngũ giác chấm điểm biểu diễn hình ngũ giác hình vẽ sau Hỏi ngũ giác thứ 25 gồm chấm điểm ? Tìm cơng thức để tính un với un số chấm điểm tạo nên hình ngũ giác thứ n (1) (2) (3) (4) - 12 ThuVienDeThi.com (5) GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN Cõu : im Nội dung ài (4 điểm) 1.1 x 2mx 3m (1) (2 đ) Đặt t x , phương trình (1) trở thành: t 2mt 3m (2) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt cần đủ phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt 0,5 3 Ta có ' m 3m m , m R 2 Do (2) ln ln có nghiệm phân biệt Để (2) có nghiệm dương phân biệt t1 , t2 , cần đủ là: 0,5 P t1t2 3m m S t1 t2 2m Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt khi: m 1.2 (2 đ) 1,0 4 , phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt t1 , t2 , nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 t1 , x2 t1 , x3 t2 , x4 t2 , suy ra: Với điều kiện: m x2 x1 , x4 x3 x12 x22 t1 , x32 x42 t2 , đó: A x14 x24 x34 x44 x1 x2 x3 x4 2t12 2t22 6t1t2 A t1 t2 5t1t2 4m 3m 4m 15m 20 15 95 95 A m 64 95 15 Vậy Amin m (thỏa điều kiện) 8 (4 điểm) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 2.1 (2 đ) 2 x 12 y 2 10 x 1 y 10 2 2 x x y y 20 x 1 1 y 1 20 Đặt u x 1; v y , hệ phương trình trở thành: 0,25 u v 10 u v 10 u v 10 2 2 2 u v u v 19 u v u 1v 1 20 Do u , v hai nghiệm phương trình t 10t t1 1; t2 0,5 u u u 1 u 3 Suy ra: v 3 v 1 v v 1 0,5 - 13 ThuVienDeThi.com GV: NGUN THÞ HUYềN- BàI TậP TOáN Gii cỏc h x 1; y 3, x 1; y 3, x 1; y 3, x 1; y 3 x 3; y 1, x 3; y 1, x 3; y 1, x 3; y 1 Ta có nghiệm hệ phương trình cho là: x ; y 0;5, 0; 1, 2;5, 2; 1, 2;3, 2;1, 4;3, 4;1 2.2 (2 đ) S 1 x 1x 3 x 3x 5 x 5x x 1009 x 1011 0,75 Điều kiện để S có nghĩa: x 1,3,5, ,1009,1011 hay: x 2k 1, k Z , k 506 1 1 1 1 1 1 S x x 1 x x x x x 1007 x 1009 x 1009 x 1011 1 1 505 S x 1011 x x 1x 1011 Khi x 2011 (thỏa điều kiện) S (2 điểm) 101 402000 x y 10 xy 2 x y 1 y x 10 yx y , phương trình bậc hai theo ẩn x tham số y y 0, y R ' 25 y 1 y y y 24 y 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 Để phương trình có nghiệm ngun 24 y 24 y k k Z 0,5 24 y 0, y Z y 0; y 1; y 2; y 3 0,25 Với y ta có x nên (0 ; 0) nghiệm phương trình Với y 1; y 3 ' = 22 ' = 6, số 0,25 phương Với y 2 ta có ' 4.16 82 ' , ta có nghiệm phương trình: 10 y x y 2 Khi y phương trình có nghiệm nguyên x 2 Khi y 2 phương trình có nghiệm ngun x Vậy phương trình cho có nghiệm: 0,5 x 0; y , x 2; y 2 , x 2; y - 14 ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN (6,0 điểm) 4.1 (2 đ) A G D E + Ta có: Hai tam giác BHC BKC đối xứng với qua BC, nên chúng nhau, suy ra: BHC BKC Vẽ tia CH cắt AB E tia BH cắt AC D Ta có: BAK (góc nội tiếp chắn cung BCK BK ) BCH BCK (CI đường cao tam giác (2 đ) (1 đ) (1 đ) 0,25 cân HCK, vừa phân giác góc C) 0,5 I BCE Suy ra: BAK B M Mà BAK ABC 900 nên BCE ABC 900 0,5 K C Do đó: BEC 900 , nên CE đường cao thứ hai F tam giác ABC H giao điểm hai đường cao AI CE tam giác ABC, H trực tâm 0,5 tam giác ABC + Trường hợp H đường trịn (O): Kẻ đường kính FG (O) vng góc với dây BC M, M trung điểm 0,25 BC Trong đường tròn (O) hai dây AK FG song song nên chắn hai cung AG KF AG (1) 0,25 KF Tứ giác OHAG có OG // = AH = R nên OHAG hình bình hành, suy ra: 0,25 AG = OH (2) Từ (1) (2) suy KF = HO, nên HKFO hình thang cân Mà BC trung trực HK nên trung trực OF, nên 0,25 R OM OM OF cos FOC FOC 600 0,5 2 OC 1 0,5 Mà BAC BOC FOC 600 (góc nội tiếp góc tâm chắn cung BC) + Trường hợp H ngồi (O) nửa đường trịn (A)chứa điểm O, đường kính PQ tiếp 0,25 tuyến (O) A A Q K Khi tam giác ABC có góc nhọn góc tù I E P (góc C tù chẳng hạn) C H D AHB 900 , HBI IBK G Ta có: HBI (đối xứng O M CAK qua BI), IBK (góc nội tiếp chắn F cung KC), nên CAH AHB 900 , suy ra: BH AC 0,25 D Vậy H trực tâm tam giác ABC B Chứng minh tương tự trên, ta có M trung điểm 0,5 OF BAC 60 H + Trường hợp H nửa đường trịn (A) đường kính PQ khơng chứa O: Khi A góc tù Ta chứng minh tương tự H Q trực tâm tam giác ABC M trung điểm bán 0,25 A F kính OF P I 0,25 Suy MOC 600 BOC 1200 M B C Mà BFC BOC 1200 (2 góc đối xứng qua 0,25 O BC) H O 4.2 (4 đ) 0,25 K - 15 ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TËP TO¸N Nhưng BAC (góc nội tiếp chắn cung BKC BFC Vậy BAC 120 0,25 (2,0 điểm) + Quỹ đạo tâm hình trịn hình trịn lăn đủ vịng cạnh tam giác ABC gồm đoạn thẳng có độ dài cạnh tam giác vng nối với cung trịn bán kính cm, cung trịn có số đo là: β α C 90 , 1800 , 1800 , tổng số đo B cung tròn là: 0 90 360 360 (vì 900 ) A Ta có độ dài cạnh huyền 100 10 cm Vậy độ dài quỹ đạo tâm hình trịn là: 360 r 10 24 2 (cm) (vì r = cm) 180 0,5 0,5 1,0 (2,0 điểm) Gọi un số chấm điểm tạo nên ngũ giác thứ n Ta có: n1 1; n2 22 5; u3 32 12; n4 42 1; Tổng quát: un n n 1 n n 0,5 n 1n 0,5 Chứng minh: Hình ngũ giác thứ n gồm: + Một hình vng có n hàng chấm điểm, hàng có n chấm điểm, nên hình vng có n chấm điểm + Một hình tam giác có cạnh đáy trùng với cạnh hình vng, cịn lại n hàng, hàng có số chấm điểm giảm dần sau: n 1, n 2, , 3, 2, Do hình tam giác có số chấm điểm: S n n 1 n n 3 hay : Sn n 3 n n 1 Suy ra: S n n 1n S n Vậy: un n n 1n n 1n 2 Áp dụng: u25 25 12.25 925 0,5 0,5 ĐỀ Bài (2,5 điểm) Giải phương trình sau: 3x2 + 4x + 10 = 14 x 4 x x 16 x x y y y - 16 ThuVienDeThi.com x4 - 2y4 – x2y2 GV: NGUN THÞ HUN- BàI TậP TOáN 4x2 -7y2 - = 0; (với x ; y nguyên) Bài 2: (2.5 điểm) Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương Căn bậc hai 64 viết dạng sau: 64 Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng số nguyên? Hãy toàn số Bài 3: (3,25 điểm) Cho đường trịn (O; R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm A B Từ điểm M tùy ý đường thẳng d ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN MP với đường tròn (O), (P, N hai tiếp điểm) 2 a) Chứng minh MN MP MA.MB b) Dựng vị trí điểm M đường thẳng d cho tứ giác MNOP hình vng c) Chứng minh tâm đường trịn qua điểm M, N, P chạy đường thẳng cố định M di động đường thẳng d Bài 4: (1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường trịn (K) có đường kính OP Trên trục hồnh lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0) Nối PM; PN; PQ cắt đường tròn (K) A; B ; C Tính độ dài cạnh tam giác ABC theo a; b; c Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 19b - a 19c3 - b 19a - c3 + + 3(a + b + c) cb + 5c2 ac + 5a Chứng minh rằng: ab + 5b ĐỀ Câu 1: Giải phương trình: a) x 2x x 2x 2 Câu 2: Cho hàm số f ( x ) x3 x 2011 b) x x x 2012 Tính f ( x ) với x 3 17 3 17 Câu 3: Cho hình thoi ABCD, đường cao AH Cho biết AC m; BD n AH h Chứng minh rằng: 1 2 2 h m n - 17 ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TËP TO¸N Câu 4: Cho hai đường trịn (O1; 5cm) (O2; 2cm) nằm Một tiếp tuyến chung ngồi AB hai đường trịn A (O1 ); B (O2 ) tiếp tuyến chung CD hai đường tròn C (O1 ); D (O2 ) Tính độ dài đoạn nối tâm O1O2 biết AB = 1,5CD Câu 5: Có tồn hay khơng số ngun dương k cho 2k 3k số phương? Câu 6:a) Cho a, b c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh ab bc ca c 1 a 1 b 1 b) Cho hình vng ABCD 2013 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: - Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng; - Mỗi đường thẳng chia hình vng thành phần có tỷ số diện tích 0,5 Chứng minh 2013 đường thẳng có 504 đường thẳng đồng qui Câu Phần a 2đ Nội dung trình bày ĐKXĐ: x (1) Nhân hai vế PT với biến đổi PT dạng x 1 x 3 2x 1 2x Ta có 2x 1 2x Dấu “=” xẩy x 13 Từ (1) (2) ta có nghiệm PT là: b 2x 1 2x x x (2) x7 2 27 Đặt t x x t Vì x x x nên t thay x t 2 3 vào PT ta có t t 9t t 1 t 2t 3t 5t (2) Vì t nên t 2t 3t 5t Do PT (2) có nghiệm t x 1,5đ Đặt m 3 17 ; n 3 17 ta có: x = m + n m.n = - x m n x3 m n m3 n3 3mn m n x x3 x Do đó: f ( x ) x3 x 2011 2012 6 2011 - 18 ThuVienDeThi.com 2012 2013 GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN Vy f ( x ) 2013 với x 3 17 3 17 A 1đ I D B O H K C Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thoi ta có AC BD m n OA OC ; OB OD Qua O kẻ OI AB , đường thẳng OI cắt CD K ta có IK 2 h = AH = h OI Áp dụng HTL vào tam giác AOB vng O ta có: 1 1 1 1 2 2 2 2 OI OA OB h m n h m n 2 2 A 1,5đ B I D O1 O2 C E - 19 ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TO¸N Kẻ O2I O1A O2E O1C ta có O2I = AB; O2E = CD; IA = O2B = 2cm => IO1 = cm; CE = O2D = 2cm => O1E = 7cm, đặt CD = x O2E = x cịn IO2 = AB = 1,5x Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng O1IO2 O1EO2 ta có: O1O2 IO12 IO2 32 1,5 x (1) O1O2 O1 E O2 E x (2) Từ (1) (2) suy 32 1,5 x x x 32 O1O2 9cm Học sinh phát biểu CM bổ đề sau: (nếu HS phát biểu bổ đề không CM cho 0,25) 1,5đ BĐ1: Số phương khơng thể có tận 2; 3; 7; BĐ2: Số phương chia cho khơng thể có số dư Giả sử tồn k N * cho 2k 3k số phương Đặt k 4t r với t N ; r 0;1; 2;3 số xét có dạng A 2k 3k 24t r 34t r 16t.2r 81t.3r Xét trường hợp xảy ra: - Với r t N * số A 16t 81t có tận ( A khơng số phương theo BĐ 1) (1) - Với r = số A 16t.4 81t.9 có tận (A khơng số phương theo BĐ 1) (2) - Với r = số A 16t.2 81t.3 chia dư (A không số phương theo BĐ 2) (3) - Với r = số A 16t.8 81t.27 chia dư (A khơng số phương theo BĐ 2) (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta thấy không tồn số nguyên dương k để số 2k 3k số phương 2,5đ a Học sinh phát biểu CM bất đẳng thức phụ sau: - Với x; y số thực dương ta có: x = y 11 1 (1) Đẳng thức xẩy x y 4 x y Thật vậy: Vì x; y số thực dương theo BĐT Côsi ta có 1 1 1 11 1 xy 4 xy x y 4 x y x y x y - Áp dụng BĐT (1) ta có: ab ab ab 1 ’ (1 ) c c a c b c a c b Tương tự bc bc 1 ’ ca ca 1 ’ (2 ); (3 ) a 1 a b a c b 1 b a b c - 20 ThuVienDeThi.com ...GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN mx y 4 Bài (1,5 điểm) Cho hệ phương trình x y Giải hệ phương trình với m = Bài (2,5 điểm) Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm... -4ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN x2 m2 5) – (2m + 3)x + + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = Bài 2: a) Chứng minh với a,... nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Tính: -5ThuVienDeThi.com GV: NGUYễN THị HUYềN- BàI TậP TOáN A x1 x ; C B x1 x ; 1 ; x1