Toán Bài tập tích phân39191

Trần S★ Tùng Bài tập Tích phân TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu x2 I =∫ x − x + 12 dx 2  16  • I = ∫ 1 + − dx = ( x + 16 ln x − − ln x − ✮ = + 25ln − 16 ln x −4 x −3  Câu dx I =∫ x5 + x3 1 • Ta có: =− x ( x + 1) 1 x + + x x3 x2 +  2 1 3 ⇒ I =  − ln x − + ln( x + 1) = − ln + ln + 2 2 2x  1 Câu 3x + I =∫ x − x − 5x + dx • I = − ln 13 14 + ln + ln 15 Dạng 2: Đổi biến số Câu I =∫ ( x − 1)2 (2 x + 1)4 Câu dx ( x − 1 99 I =∫ 101 ( x + 1   7x −  • I = ∫   2x +   x −1  • Ta có: f ( x ) =    2x +  99 ( x + 1 2 5x I =∫ (x Câu I= ∫ Câu I= ∫ 99 dx 100 Câu + 4)  x − ′  x −1    ⇒I =   +C  2x +   2x +  dx 1  7x −  = ⋅   100  x +  dx dx x ( x + 1)  7x −  1  7x −  = ∫  d   2x +   2x +   100  = 2 − 1 900 • Đặt t = x + ⇒ I = • Đặt t = x ⇒ I = 2 dx x (1 + x ) Trang DeThiMau.vn 1 t  ∫  t − t + dt = ln   Bài t✫p Tích phân • Đặt : x = Trần Sĩ Tùng ⇒ I =− t 3 ∫ 1 t6 dt = t2 +  117 − 41 ♣  + t − t +1−  dt = 135 12 t +   ∫ Câu 32 dt • I =∫ Đặt t = x ⇒ I = ∫ 10 2 t (t + 1)2 x ( x + 1) dx I =∫ x.( x10 + 1)2 1 x7 Câu 10 I = ∫ (1 + Câu 11 I = ∫ x )5 x (1 + x ) • Đặt t = + x ⇒ dt = xdx ⇒ I = dx • I =∫ x 2001 Câu 12 I = ∫ (1 + x )1002 1002 x (1 + x ) Cách 2: Ta có: I = (t − 1)3 1 dt = ∫ 21 t 25 128 − t dx Đặt t = x ⇒ I = ∫ dt 7 + t (1 t ) + x (1 x ) 1 (1 − x ).x dx x 2004 • I =∫ dx − x7 x dx dx = ∫ 1002  3 x  + 1 x  dx Đặt t = x2 + ⇒ dt = − x3 dx 11 x 2000 xdx Đặt t = + x ⇒ dt = xdx ∫ 2000 2 (1 + x ) (1 + x ) 1000 (t − 1)1000 2 1 dt = ∫  −  ⇒ I= ∫ t1000t 2 1 t   1 d 1 −  =  t  2002.21001 Câu 13 I = ∫ x (1 − x )6 dx • Đặt t = − x ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ dx = Câu 14 I = ∫ −dt 3x ⇒I = 11  t t8  (1 ) − = t t dt  − = ∫ 30   168 xdx ( x + 1)3 x x + 1−1 1 = = ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = ∫ ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx = • Ta có: 3 ( x + 1) ( x + 1) Câu 15 I = ∫ + x2 11+ • Ta có: ⇒ I=∫ x4 1+ x dx 1+ 1+ x4 dt t2 − = x Đặt t = x − ⇒ dt =  +  dx   x x2   x2 + x2 = 2 ∫ t− 1 −  −1  t − 3/ ln = ln    dt = t+ 2 2  +  t+ 2 Trang DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân − x2 Câu 16 I = ∫ 11+ x4 dx −1  1  dt Đặt t = x + ⇒ dt =  −  dx ⇒ I = − ∫ = x 2 x t 1+ x + x   x + x2 du 5 ; tan u = ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u2 = arctan Đặt t = tan u ⇒ dt = 2 2 cos u 1− x • Ta có: 2 u2 ⇒ I= u1 x4 + Câu 17 I = ∫ dx x +1 x4 + • Ta có: x6 + 1 ⇒ I =∫ x2 + Câu 18 I = ∫ = Câu 20 I = x6 + x4 − x2 + ( x + 1)( x − x + 1) + x2 x6 + = x2 + ∫ dx • Đặt t = x ⇒ I = x2 + x − x2 + x +1 x4 − x2 + 1 dt 11 = 0∫ t + t + 0∫ dt  1  3  t +  +   2   dx 1+ dt 0t Câu 21 I= • I= ∫ +1 3 ∫ 3 x6 + −1 x • Ta có: I = ∫ dx Đặt t = x + ⇒ I = ln x +x x = x2 + x2 x2 Đặt t = x − −1  1  ⇒ dt =  +  dx x x2   ✂ ⇒ I =∫ x2 x + x +1 1 + 1 d (x3 ) 1✁ ✁ ✁ = dx = + ∫ ( x )2 + 34 xdx 1+ • Ta có: = 1− x ( x − x + 1) + x dx + 1x+x Câu 19 I = ∫  2 (u2 − u1 ) =  arctan − arctan  2   ∫ du = Đặt t = tan u ⇒ dt = x2 x4 −1 x du cos2 u ⇒ I = ∫ du = ✁ dx ( x − 1)( x + 1) dx = 3  ∫ 1  ✁ dx = ln(2 − 3) + +   12  x −1 x +1 Trang DeThiMau.vn = ✁ Bà✐ tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP2: T PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x I =∫ Câu dx 3x + x − x I =∫ dx = ∫ x (3 x − x − 1)dx = ∫ x 2dx − ∫ x x − 1dx 3x + x − ✰I = ∫ x dx = x + C1 1 x − d (9 x − 1) = (9 x − 1) + C2 ✰ I = ∫ x x − 1dx = ∫ 18 27 I= ∫ 1+ x x ⇒ x2 dx = ∫ x2 1=∫ dx 1+ x x x2 + x ✰I ✰ x2 + x I =∫ Câu • (9 x − 1) + x + C 27 1+ x x Û t2 − = x x x I2 = ∫ dx = 1+ x x I= ( I =∫ Câu I =∫ x = (t − 1)2 Û x 2dx = 2x + 01+ 1+ x x − 2x + +C dx + + 4x + 1 • Đặt t = x + ■ = • Đặt t = x + I = ln − 12 • Đặt: t = − x ⇒ I = ∫ ( t − t dt = I =∫ t2 ∫ + t dt =2 + ln 1 I = ∫ x − x dx + x x + C1 d (1 + x x ) + x x + C2 = ∫ 3 1+ x x dx 2x ( 1+ x x Câu Û 1+ x x Câu Câu dx 1+ x x dx Đặt t= + x x 4 4 ∫ (t − 1)dt = t − t + C = ✥✄②☎ x dx + ∫ 1+ x 01+ 15 dx x   t +t 11 • Đặt t = x ⇒ dx = 2t.dt ■ = 2∫ dt = ∫  t − t + − − ln dt = 1+ t  t +1  0 3 Câu I =∫ x −3 dx x x + + + Trang ✹ DeThiMau.vn t(t − 1)dt Tr✩n S✪ Tùng B✆✝ tập T✞❝❤ ph✟n • Đặt t = x + ⇒ 2tdu = dx ⇒ I = ∫ 2t − 8t 1t + 3t + 2 dt = −3 + ln t +1 dt = ∫ (2t − 6)dt + ∫ Câu ∫x I= x + 1dx −1  t7 t4  • Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ dx = 3t dt ⇒ I = ∫ 3(t − 1)dt =  −  = − 28  0 3 Câu x2 + I =∫ dx x 3x + 1 2  t2 −    +1 4  2tdt 2tdt  • Đặt t = 3x + ⇒ dx = ⇒ I =∫ 3 t2 − t 4 21  t −1 100 =  t − t  + ln = + ln 93 t + 27 2 Câu 10 I = ∫ 2x2 + x − x +1 = 24 dt ( 1) t − dt + ∫ ∫ 92 t −1 dx x + = t ✠ x = t − ⇒ dx = 2tdt • Đặt 2(t − 1)2 + (t − 1) − ⇒ I =∫ 2tdt t 1  4t  54 = ∫ (2t − 3t )dt =  − 2t  =  1 x 2dx Câu 11 I = ∫ ( x + 1) x +1 • Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = dx ⇒I = ∫ (t − 1)2 t3 Câu 12 I = ∫ 2tdt =2 ∫ x +1 (1 + + 2x dx • Đặt t = + + x ⇒ dt = Ta có✿ ☛ = ∫ dx + 2x ⇒ dx = (t − 1)dt ✈✡ t − 2t x= (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t − 4 2 = = dt dt t − + − dt  ∫ ∫ ∫ t t2  22 22 2 t2 t2 = Câu 13 I = 2  t3  1 1 16 − 11 2 − = t dt  − 2t −  =   t 1  t 3  t2 2  − 3t + ln t +  = ln −  t  x −1 dx x +1 Trang ✺ DeThiMau.vn B☞✌ tập T✍✎✏ ph✑♥ Trần Sĩ Tùng (   x   • I= ∫ − dx =  x + − ln x + x +     x2 +   x +1 + ln ( + − ln ( + Câu 14 I = ∫ ( x − 1)3 x − x dx 1 • I = ∫ ( x − 1) x − x dx = ∫ ( x − x + 1) x − x ( x − 1)dx Đặt t = x − x ⇒ I = − 0 Câu 15 I = ∫ x3 − 3x + x 15 dx x2 − x + ( x − x )(2 x − 1) dx Đặt t = x − x + ⇒ I = ∫ (t − 1)dt = x2 − x + 1 • I =∫ Câu 16 I = ∫ x 3dx + x2 • Đặt t = + x ⇒ x = t − ⇒ xdx = 3t 2dt ⇒ I =  38 (t − 4t )dt = −  +  ∫ 23 25  dx ∫ Câu 17 I = x + + x2 −1 + 1 11  + x2 + x − + x2 I= ∫ dx = ∫ dx = ∫  + 1 dx − ∫ dx 2 −1  x  2x 2x −1 −1 (1 + x ) − (1 + x ) −1 • Ta c✒✓ ✔ I1 = 11  1  +  dx =  ln x + x  ⑤−1 = ✕ ∫ −1  x  ✔ I2 = ∫ −1 ✗✘✙✓ 1 + x − + x2 + x2 dx Đặt t = + x ⇒ t = + x ⇒ 2tdt = xdx ⇒ 2x ✖2 = ∫ t 2dt 2 2(t − 1) =0 I =1 Cá✚h 2: Đặt t = x + x + Câu 18 I = ∫ Câu 19 I = ∫ (x 3 −x − x2 dx x • Ta c✒: I = ∫ − x2 ⇒✖= ∫  3 1 • Ta c✒: I = ∫  − 1 dx Đặt t = −1 ⇒ I = x x x   dx x4 t(−tdt ) − t2 x xdx Đặt t = − x ⇒ t = − x ⇒ tdt = − xdx  t−2  )dt =  t + ln = ∫ dt = ∫ (1 +  2 t+2  − − t t  3 t2 Trang ✻ DeThiMau.vn  2−   = −  + ln   + 3   Tr✛n S✜ Tùng B✢✣ tập T✤✦✧ ph✬n ∫ Câu 20 I = • Đặt t = x + ⇒ I = ∫ dx ( x + 1) x + 27 x −2 ∫ Câu 21 I = x x+ x −4   2  5✭ 2t  − dt = ∫ 1 − + dt =  − + ln  −   12 t t2 + t2 + 1  t(t + 1)  t3 − 1 dx x2 + x + 1+ 1+ 2dt = ln(2t + 1) 2t + ∫ • Đặt t = x + x + x + ⇒ I = x2 Câu 23 I = ∫ + x )2 (2 + + x )2 (1 + = ln 3+ 3 dx  42 36  • Đặt + + x = t ⇒ I = ∫  2t − 16 + −  dt = −12 + 42 ln t t2  3 x2 Câu 24 I = ∫ 2( x + 1) + x + + x x + 2t (t − 1)2 dt • Đặt t = x + ⇒ I = ∫ t(t + 1)2 2 ∫ Câu 25 I = x − x + 2011x x4 2 ∫ • Ta c✯: I = 2 M= ∫ 2 2011 ∫ x3 1 x2 x3 dx 2 2 = ∫ (t − 1)2 dt = (t − 1)3 = 3 dx −1 2 ∫ dx + 2011 x3 dx = M + N −1 − x x3 N= dx Đặt t = 2 dx = ∫ x2 −1 ⇒ M = − ∫ t 3dt = − 2  2011  2011x dx =  −   x2  −3 = 14077 16 ⇒ I= 14077 21 − 16 128 dx Câu 26 I = ∫ (1 + x ) + x 3 3 15 ln dx Câu 22 I = ∫ = • Đặt t = x ⇒ I = ∫ 3t dt • Đặt t = + x ⇒ I = ∫ t2 t (t − 1) 3 dt = dt ∫ t (t Trang ✼ DeThiMau.vn − 1) 213 128 B✱✲ tập T✳✴✵ ph✶✷ = dt ∫ Trần Sĩ Tùng   t t  −     t  Đặt u = − 2 Câu 27 I = ∫ t3 ⇒ du = dt ∫ =  3dt t4 =  ⇒ I=∫ − u ∫  t 1 −   t  2  1 1 −   t  t4 du = − dt −2 u du 0∫  1  u3   =   3     0 1 = u3 = x4 dx  1  x − x  x +1   • Đặt t = x + ⇒ I =∫ (t − 1)2 t2 − dt ∫ t − 2t + t2 − 2 2t D ng 2: 1 dt = ∫ t dt + ∫ −2 dt = 19 4+  + ln    −  i biến số dạng   dx − x + x ln (  1+ x   0 Câu 28 I = ∫  1− x 1− x • T✸✽✾ H = ∫ 1+ x dx Đặt x • T✸✽✾ K = ∫ x ln(1 + x )dx Đặt ❂  ❀ ❀ cos t; t ❁  0;  ⇒ H = −  2 ìu = ln(1 + x ) ❃ î dv = xdx ⇒ K= 2 Câu 29 I = ∫ (x + x ) − x dx −2 •❄= ∫ (x 2 + x ) − x dx = −2 ∫x − x dx ❅ −2 ∫x − x dx = ❆ ❅ ❇❈ −2 ❅ T✸✽✾ ❆ = ∫x − x dx Đặt t = − x T✸✽✾ ❉❊❋c: ❆ = ●❈ ∫x − x dx Đặt x = 2s❍❏ t T✸✽✾ ❉❊❋c: ❇ = 2❑ −2 ❅ T✸✽✾ ❇ = −2 ▲▼◆❖ I = 2❑ Trang DeThiMau.vn Tr€n S◗ Tùng B❘❙ tập T❚❯❱ ph❲n (3 − Câu 30 I = ∫ − x dx 2x4 • Ta c❳: I = ∫ 2x ❨ T❩❬❭ I1 = ∫ 2x ❨ T❩❬❭ I = ∫ 4 − x2 2x dx −4 x dx = ∫ 21 16 dx = dx Đặt x = 2s❪n t ⇒ dx = cos tdt ❵ ❵ cos tdt 12   t dt = = − cot cot t.d (cot t ) =   ∫ ∫ ∫ ❵ s❫n t 8❵ 8❵  s❫❴ t  2 ❛❜❞❡ 2x4 ❵ ⇒ I2 = − x2 dx − ∫ I= 6 1( 7−2 16 Câu 31 I = ∫ x 2dx − x6 • Đặt t = x ⇒ dt = x dx ⇒ I = 1 dt ∫0 − t ❵  ❣ ❣ 16 Đặt t = 2s❫n u❢ u ❰  0;  ⇒ dt = cos udu ⇒ I = ∫ dt =  2 30 18 ❵ Câu 32 I = ∫ 2− x dx x+2 Câu 33 I = ∫ t • Đặt x = cos t ⇒ dx = −2s❪❥ tdt ⇒ I = ∫ s❫n2 dt = ❣ − x 2dx + 2x − x2 • Ta c❳: I = ∫ x 2dx Đặt x − = cos t 22 − ( x − 1)2 2❵ ❵ ⇒ I =− ∫ 2❵ Câu 34 ∫ (1 + cos t ) 2s❫❴ t − (2 cos t )2 dt ❦ ∫ ( + cos t + cos2t ❵ dt ❦ ❣ + 3 −4 2 ❵ − x − x dx • Đặt x = s❪❥ t ⇒ I = ∫ (cos t − s❫n t )cos tdt = 0 Trang DeThiMau.vn ❣ 12 + − 8 B❧♠ tập T♦qr phst Trần Sĩ Tùng D ng 3: ch ph t ng ph n Câu 35 I = x − 1dx ∫ • Đặt ✉ ïu = ✇ ï ① dv = ✉ x dx x − ⇒ ï✇du = − x dx ï ①v = x ⇒ I = x x2 − 3 − ∫ x =5 2− ∫ ⇒ I= x2 − x − 1dx − ∫   x −1 +  2 x dx = − dx x2 − ∫   dx x −  = − I − ln x + x − − ln ( + + ln 2 C③④ ý⑥ ⑦hông ⑧⑨⑩c dùng phép ⑧❶i bi❷n x =  2;3 Ï ❸ ❺1;1❹ cos t Trang 10 DeThiMau.vn Trần Sĩ T❻❼❽ B❾❿ tập T➀➁➂ ph➃n TP3: T PH Dạng 1: Câu I =∫ SỐ ƯỢN H ến đổi ượng gi c 8cos2 x − s➄n x − dx s➄n x − cos x (s➄n x − cos x )2 + cos x dx = ∫ ( s➄n x − cos x − 4(s➄n x + cos x dx s➄n x − cos x = 3cos x − 5s➇➈ ➅ + ➆ cot x − tan x − tan x Câu I = ∫ dx s➄n x cot x − tan x cot x cos x • Ta c➉: I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ d➊ = − +➋ s➄n x s➄n x 2s➄n x s➄n x  ➌  cos2  x +  8  dx Câu I = ∫ s➄n x + cos x +  ➌  + cos  x +    dx • ➍➎ c➉: I = ∫ 2 + s➄n  x + ➌    4     cos  x + ➌      dx    dx + ∫ = ∫  2  + s➄n  x + ➌     ➌  ➌     s➄n  x +  + cos  x +    4   8       • I =∫    ➌  cos  x +    dx   dx +   = ∫ 2∫ 2 3➌   2  + s➄n  x + ➌  s➄➏  x +      4      ➌   3➌   =  ln + s➄n  x +  − cot  ➊ +  + ➋ 4      Câu I= ➐ ∫ 2+ ➐ dx s➄n x − cos x • I= ➐ 1➐ dx dx = I= ∫ = 4➐  ➌  2 x ➌  2s➄➏  +  − cos  x +  3 3  2 6 ➐∫ ➐ Câu I= ∫ 2s➄n x − dx ➐ • ➍➎ c➉: I = ∫ ➐ s➄n x − s➄n ➌ dx = ∫ s➄n x − s➄➏ ➌ dx Trang 11 DeThiMau.vn B➑➒ t➓p T➔→➣ ph↔↕ Trần Sĩ T➙↕g  x ➞   x ➞  cos  +  −  −  6       dx dx = =∫ ∫ ➞     s➛n x − s➛➜ cos x + ➞ s➛➜ x − ➞     2 6 2 6 ➝ cos x ➞ x ➞ ➝ cos  −  s➛➜  +   dx +   dx = ln s➛n  x − ➞    ∫ x ➞ x ➞ 20 2 6 cos  +  s➛n  −  2 6 2 6 ➝ = ➝ ➞ ∫ ➝ x ➞ − ln cos  +  2 6 ➝ ➝ I = ∫ (s➛n x + cos4 x )(s➛n6 x + cos6 x )dx Câu • Ta c➟: (s➛n x + cos4 x )(s➛n6 x + cos6 x ) = 33 + cos x + cos8 x 64 16 64 I= 33 ➞ ➠ 128 ➝ I = ∫ cos2 x(s➛n x + cos4 x )dx Câu ➝ ➝    2 • I = ∫ cos2 x  − s➛n2 x  dx = ∫  − s➛n2 x  d (s➛n x ) = 0    ➝ I = ∫ (cos3 x − 1) cos2 x.dx Câu •A = ➝ ➝ 2 ∫ cos xdx = 0 ➝ ∫ cos x.dx = = ➤ậy ➥ = = 15 ➝ ➢ 2 ➡ ( − s ➛ n x d (s➛n x ) ∫ 15 ➦ ➞ ➞ 12 (1 + cos x ).dx = ∫ 20 ➝ ➧ Câu = ∫c ➧ ➩c ➩➫➩ ➨ ➝ ➝ 2 • I = ∫ cos2 x cos2 xdx = ➝ 12 (1 + cos x ) cos2 xdx = (1 + cos2 x + cos x )dx 0∫ 0∫ ➝ 1 ➞ = ( x + s➛n x + s➛n x ) = 4 ➝ Câu 10 I = ∫ 4s➛➜3 x dx + cos x Trang 12 DeThiMau.vn = Trần Sĩ T➭➯➲ B➳➵ tập T➸➺➻ ph➼n 4s➽n3 x 4s➽n3 x (1 − cos x ) = = 4s➽n x − 4s➽n x cos x = 4s➽n x − 2s➽n x + cos x s➽➾2 x • ➚ ⇒ I = ∫ (4s➽n x − 2s➽n x )dx = Câu 11 I = 2➚ ∫ + s➽➾ xdx • I= 2➚ 2➚ 2➚  x ➪  x x x x  s➽n + cos  dx = ∫ s➽n + cos dx = ∫ s➽➾  +  dx 2 2 2 4  0 ∫  3➚  2➚ 2 x ➪ x ➪  =  ∫ s➽n  + dx − ∫ s➽➾  +  dx  = 2 4 2 4  0 3➚   ➚ ➚ Câu 12 I = ∫ dx • Ta c➶: I = ∫ (1 + tan2 x + tan x )d (tan x ) = cos x 28 15 D ng 2: Đổi biến số dạng s➽n xdx + 4s➽n x − cos2 x 2s➽n x cos x ➹➘t t = s➴➷ x ⇒ I = ln s➽n ➬ + + • Ta c➶: I = ∫ +➮ dx s➽n x + 2s➽n2 x + 4s➽n x + dx Câu 14 I = ∫ s➽n x.cos5 x Câu 13 I = ∫ • ❐ =∫ ✃➱ ❮ ➱ cos ➱ cos ❒ = 8∫ ✃➱ sin ➱ cos ❒ ➱  3 −3  +➮ ➹➘t t = tan x I = ∫  t + 3t + + t  dt = tan x + tan x + 3ln tan ➬ − t   tan2 x 2t CÐĐ ỊĨ s➽n x = + t2 dx Câu 15 I = ∫ s➽n x.cos3 x dx dx dx 2t • I =∫ ➹➘t t = tan x ⇒ dt = = 2∫ ; s➽n x = 2 s➽n x.cos x.cos x s➽n x.cos x cos x + t2 dt t2 + t2 tan2 x ⇒ I = 2∫ =∫ dt = ∫ (t + )dt = + ln t + ➮ = + ln tan ➬ + ➮ 2t t t 2 sin ❮ ➱ ❮ + t2 Trang 13 DeThiMau.vn BỢ tƯp T×ØÙ phÚÜ 2011 Câu 16 I = ∫ Trần Sĩ TÝÜg sịn 2011 x sịò 2009 x sịò5 x 2011 sịò2 x cot xdx = sịn x • Ta cã: I = ∫ äåt cot xdx t = cot x ⇒ I = ∫ 2011 t (1 + t )tdt 4024 2011 − cot x sịò x cot xdx 4024 8046 2011 2011 2011 2011 = t + +ỗ ổ 4024 8046 8046 2011 2011 cot 2011 x + cot 2011 ố + ỗ = 4024 8046 ộ sịn x.cos x dx + cos x ∫ Câu 17 I = é (t − 1)2 sÞn x.cos2 x dt = ln − dx äåt t = + cos x ⇒ I = ∫ + cos x t • Ta cã: I = ∫ é ∫ sÞn Câu 18 I = x tan xdx ộ ộ ã Ta có: I = sịn2 x sÞn x dx = cos x (1 − cos2 x )sịò x dx ọồt t = cos x ∫ cos x − u2 du = ln − u ⇒ I = −∫ Câu 19 I = é ∫ sÞn x(2 − + cos2 x )dx é é é é é • Ta cã: I = ∫ 2sÞn2 xdx − ∫ sÞn2 x + cos2 xdx = H + K ê ê é é é é 2 H = ∫ 2sÞn2 xdx = ∫ (1 − cos x )dx = ë − ë = ë é é é é é é 2 K = ∫ sÞn2 x cos2 x = − ∫ sÞn2 x cos xdx = − ∫ sÞn2 xd (sÞn x ) = ⇒I = ë − Trang 14 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tðđị Bỡ tập Tư÷ø phún ü Câu 20 I = dx ∫ s n2 x.cos4 x û ü ü • I = ∫ ü dx 2 sûn x.cos x ỵt t = tan x dt = dx cos2 x I= ∫ (1 + t )2 dt t2 Câu 21 ■ = ∫ = ♣ ✷ ① ∫✵ ( + ①✮  1 t3  3−4 2  + + t  dt =  − + 2t +  = 1  t t  ✷ ❞①   • Ta có: I =   s✐n x ∫ (2 + s✐n x )2 ⇒ I = 2∫ t−2 t2 s✐n x cos x (2 + s✐n x )2 dx = dx ỵt t = + s✁✂ x 3 1   2 dt = ∫  −  dt =  ln t +  = ln − t t2  t 2  2   Câu 22 I = s✐✄ x ∫ cos x dx   • I= ỵ sn x dx = cos x s✐✄ x ∫ cos2 x − dx ỵt t = cos x dt = − s✁✂ xdx cậ♥: x = ⇒ t = 1; x = ∫ Ta I = − 1 2t − ✆ ⇒t= dt = 2 ln 2t − 2t + = 2 ln 3−2 5−2   Câu 23 I = ∫ ❡ s✝n2 x s✐n x.cos3 x dx • Đặt t = s✐✄ x ⇒ ■ = 11 t ❡ (1 − t )dt = ❡ − ∫ 20 ✆ Câu 24 I = ∫ s✐n x ⋅ s✐✄2 x + ✆ dx • Đặt t = cos x I =   Câu 25 I = ∫ s✐n x dx s✐n x + cos6 x Trang 15 DeThiMau.vn (✆ + 2) 16 Bà✞ t✫p Tí❝❤ phâ✟ Trần Sĩ Tù✟g ☛ s✡n x ∫ • I= − s✡n 2 x 4  ∫  − t dt  1 dx Đặ t = − s✡n 2 x ⇒ 4 t 1 = ☛ Câu 26 I = s✡☞ x ∫ ( s✡n x + dx cos x  ✍  • Ta c✌: s✡n x + cos x = cos  x −  ; 6     ✍  ✍  ✍  ✍  s✡n x = s✡☞   x −  +  = s✡n  x −  + cos  x −  6 6 6 6     ☛ ✍  s✡☞  x −  dx 6 dx  = ⇒✎= + ∫ ∫ 16   ✍  16 ✍  cos3  x −  cos2  x −  6 6   ☛ ☛ Câu 27 I = s✡n x − cos2 x ☛ cos2 x ∫ − ☛ ☛ 4 s✡n x ∫ • I= dx ☛ cos x − − cos2 x dx = ∫ ☛ s✡☞ x ☛ cos x − s✡☞ x dx = ∫ s✡n x ☛ cos x − s✡n x dx + − s✡n2 x ∫ − ☛ cos2 x dx + ∫ s✡☞ x cos2 x dx = 7✍ − − 1✳ 12 ☛ Câu 28 I = ∫ s✡n x + dx cos x ☛ ☛ ☛ 6  ✍ s✡☞  x +  1 1  dx  • I=∫ dx = ∫ dx = ∫ 20   20 ✍ ✍  s✡n x + cos x − cos2  x +  s✡☞  x +  3 3   ✏✑t   1 ✍  ✍  t = cos  x +  ⇒ dt = − s✡☞  x +  dx ⇒ I = ∫ dt = ln 3 3 1− t   ☛ Câu 29 I = ∫ − s✡n x + cos2 xdx Trang ✶✠ DeThiMau.vn s✡☞ x −0 cos x ☛ ❂ ∫ s✡☞ x dx Trần Sĩ T✒✓❣ • I= B✔✕ tập T✖✗✘ ph✙n ✛ ✛ ∫ s✚n x − cos x dx = I = ✛ ∫ ∫ s✚n x − s✚n x − cos x dx + ✛ 0 cos x dx = − 3 ✛ Câu 30 I = s✚✜ xdx ∫ (s✚n x + cos x )3 ✛ • ✢✣t x = ⇒ 2I = ✤ = ✛ ✛ 2 dx ✚ cos xdx ✛ ✤ = − cot( x + ) = ⇒ I = ✤ s✚n ( x + ) dx ∫ (s n x + cos x )2 = ∫ cos tdt ∫ (s✚n t + cos t )3 ∫ (s✚n x + cos x )3 − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ✛ ✛ Câu 31 I = 7s✚n x − 5cos x ∫ (s✚n x + cos x )3 dx ✛ • ✥ét: I1 = ∫ ✢✣t x= ✤ ✛ s✚n xdx ( s✚n x + cos x I2 = ; ∫ cos xdx ( s✚n x + cos x − t Ta ch✴✦✧ ♠★✦✪ ✰✱✬c ✭✯ = ✭2 ✛ ✛ T✲✦✪ ✭✯ ✸ ✭2 = ∫ ⇒ I1 = I = dx ( s✚n x + cos x = dx cos2 ( x − ) ∫ ✤ = ✤ ✤ tan( x − ) = ⇒ I = 7I1 ➊ 5I = ✛ Câu 32 I = 3s✚n x − cos x ∫ (s✚n x + cos x )3 dx ✛ • ✢✣t x = ✤ − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ✛ ∫ (cos t + s✚n t )3 Câu 33 I = 3cos x − 2s✚✜ x ∫ (cos x + s✚n x )3 dx ✛ 3s✚n x − cos x ∫ (s✚n x + cos x )3 dx + ✛ dt = ✛ ⇒ 2I = I + I = 3cos t − 2s✚n t ✛ 3cos x − 2s✚n x ∫ (cos x + s✚n x )3 dx = ∫ (s✚n x + cos x )2 dx = ⇒ x s✚✜ x ∫ + cos2 x dx ✛ • ✢✣t x = ✤ − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫ (✤ − t )s✚n t + cos t ✛ dt = ✤ ∫ Trang 1✼ DeThiMau.vn s✚✜ t + cos t dt − I I= B✹✺ t✻p T✽✾✿ ph❀❁ ❅ Trần Sĩ T❃❁g ❅ ❆ ❆  ❆ dt = −❆ ∫ ⇒ 2I = ❆ ∫ =❆  + ⇒ I = 2 4 4 + cos t + cos t s❄n t d (cos t ) ❅ cos4 x s❄❇ x ∫ cos3 x + s❄❇3 x dx Câu 34 I = ❅ • ❈❉t x = ❆ − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = − ∫ ❅ s❄n t cos t cos3 t + s❄n3 t dt = s❄n x cos x ∫ cos3 x + s❄❇3 x dx ❅ cos x s❄n x + s❄n x cos x s❄n3 x + cos3 x ∫ ⇒ 2I = ⇒ I= ❅ dx = ❅ 3 s❄n x cos x (s❄n x + cos x ) s❄n3 x + cos3 x ∫ dx = 12 s❄n xdx = ∫ 20 ❅   − x tan (cos )   dx ∫ cos2 (s❄n x )   0 Câu 35 I = • ❈❉t x = ❆ − t ⇒ dx = −dt ❅ ❅ 2    1 ⇒ I=∫ − tan2 (s❄n t ) dt = ∫  − tan2 (s❄n x ) dx  cos2 (cos t )   cos (cos x )  0 0 ❅ ❅   1 + − tan2 (cos x ) − tan2 (s❄n x ) dx = ∫ dt = ❆ ❊♦ ❋●: I = ∫   cos2 (s❄n x ) cos2 (cos x )  0 ⇒ I= ❆ ❅ Câu 36 I = cos x − s❄❇ x − s❄n x ∫ dx ❅ • Đặ u = s❍n x + cos x ⇒ I = ∫ du − u2 Đặ u = 2s❍❏ t ⇒ I = ❅ cos tdt ❅ − 4s❄❇ t ∫ ❆ ❅ 12 = ∫ dt = 6 ❅ Câu 37 I = s❄❇ x cos x + s❄❇ x ∫ dx • ❈❉t t = + s❄❇ x = ▲ = − cos2 x Ta c●: cos2 x = − t ✈❑ dt = ❅ ❅ 3 ∫ s❄❇ x cos x + s❄❇ x dx = ∫ s❄n x.cos x 15 dx = cos2 x + s❄❇ x Trang 18 DeThiMau.vn ∫ dt − t2 = s❄n x cos x dx + s❄❇ x 15  ∫ 1  −  dt t+2 t−2 Trần Sĩ T▼◆❖ B€◗ tập T❘❙❚ ph❯n 15 t+2 = ln t−2 = 2❳ 1 15 +  ln − ln 4 15 −  x + ( x + s❱n x )s❱❲ x Câu 38 I = ∫❳ s❱n3 x + s❱❲2 x 2❳ 3+2  (  = ln 15 + − ln ( + −  ( dx 2❳ x dx • I = ∫❳ dx + ∫❳ + s❱❲ x s❱❲ x 3 2❳ x = ∫❳ ❨ T❩❬❭ I1 s❱❲2 x 2❳ ❨ T❩❬❭ ❛ ❜ ❳ ∫ ❵ I= ❢ậ②❥ dx ìu = x ï dx ❪❫t ❴ dv = ï s❱❲ x ỵ 2❳ dx = + s❱❲ x ∫❳ ìdu = dx ⇒❴ ỵ v = − cot x ⇒ I1 = ❵ 2❳ dx dx = ∫❳3 =4 − ❵  x 2❵ + cos  − x  cos  −  2   2 +4−2 3 ❳ Câu 39 s❱n x I=∫ ❳ • I= udu 22 dx Đặ u = 3s❱n x + ⇒ I = ∫ = ∫ du = u 31 3s❱n x + ❳  ❵ tan  x −   dx cos2 x ∫ Câu 40 I = • I= ∫ 2s❱n x cos x ∫ ❳ dx cos2 x + 4s❱❲2 x ❳  ❵  tan  x −   dx = − tan x + dx Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = (tan x + 1)dx ∫ cos x cos2 x (tan x + 1) 1 ⇒ I =− ∫ dt (t + 1) = 1− = t +1 ❳ Câu 41 I = cot x dx   ❵ ❳ s❱n x.s❱❲  x +   4 ∫ ❳ cot x • I = 2∫ ❳ s❱n x (1 + cot x ) dx Đặt + cot x = t ⇒ s❱❲ x dx = − dt +1 ⇒ I= ∫ +1 t −1 dt = ( t − ln t t +1 +1   = 2 − ln    Trang 19 DeThiMau.vn B❦❧ tqp Trst ph✉✇ Trần Sĩ T③✇g ⑤ Câu 42 I = dx ∫ s④n2 x.cos4 x ⑤ ⑤ • Ta c⑥: I = ∫ dx ⑤ s④n 2 x.cos x ⑦⑧t t = tan x ⇒ dx = dt + t2 (1 + t )2 dt 1 t3 = ∫ ( + + t )dt = (− + 2t + ) ⇒ I= ∫ t t2 1 t = 3−4 ⑤ Câu 43 I = s④⑨ x ∫ 5s④n x.cos2 x + cos x dx ⑤ tan x ∫ 5tan x + 2(1 + tan2 x ) cos2 x dx ⑦⑧t t = tan x ⑩ • Ta c⑥: I = 1 1  ⇒ I =∫ dt = ∫  −  dt = ln − ln 2  t + 2t +  2t + 5t + t ❸ s❶❷ xdx Câu 44 I = ∫ − ❸ cos x (tan x − tan x + 5) • ⑦⑧t t = tan x ⇒ dx = ∫ T❹❺❻ I1 = dt −1 t − 2t + dt + t2 ⑦⑧t t dt ⇒ I= ∫ −1 t t −1 2 − 2t + = tan u ⇒ I1 = = + ln ∫ du = ❸ − ❼ dt −3∫ −1 t ❽ ❾ậ❿ − 2t + 3➀ I = + ln − ⑤ Câu 45 I = s④⑨ x dx ∫ ⑤ s④n x ➄ • I= ➄ 2 ➁➂n x s➂➃ x ∫ ➁➂n x − ➁➂n3 x dx = ∫ cos2 x − dx ➄ ➄ 6 Đặt t = cos x ⇒ dt = − s➅➆ xdx ⇒ I = − ∫ ⑤ Câu 46 I = ∫⑤2 s④n x − cos x + s④n x dt 4t − = dx Trang 20 DeThiMau.vn ∫ dt t2 − = ln(2 − 3) ... 1 −  −1  t − 3/ ln = ln    dt = t+ 2 2  +  t+ 2 Trang DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân − x2 Câu 16 I = ∫ 11+ x4 dx −1  1  dt Đặt t = x + ⇒ dt =  −  dx ⇒ I = − ∫ = x.. .Bài t✫p Tích phân • Đặt : x = Trần Sĩ Tùng ⇒ I =− t 3 ∫ 1 t6 dt = t2 +  117 − 41 ♣  + t − t +1− ... 1)( x + 1) dx = 3  ∫ 1  ✁ dx = ln(2 − 3) + +   12  x −1 x +1 Trang DeThiMau.vn = ✁ Bà✐ tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP2: T PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x I =∫ Câu dx 3x + x