Bài tập Tích phân – Toán 12

Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân?. Mỗi bài giải đúng được 2,5 điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm..[r]

(1)

CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa

Cho f hàm số liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử F nguyên hàm f [ ; ].a b Hiệu số F b( ) F a( ) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [ ; ]a b hàm số f x( ),kí hiệu là

( )

b

a

f x dx 

Ta dùng kí hiệu F x( )ab F b( ) F a( ) để hiệu số F b( ) F a( ) Vậy

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx F x F b  F a 

Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu

( )

b

a f x dx 

hay ( ) b

a f t dt 

Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục không âm đoạn [ ; ]a b tích phân ( )

b

a f x dx 

là diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số yf x( ), trục Ox hai đường thẳng

,

x a x b  Vậy

( )

b

a Sf x dx

2 Tính chất tích phân

1 ( ) a

a

f x dx 

2 ( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx

 

3 ( ) ( ) ( )

b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx

  

(a b c  )

( ) ( ) ( )

b b

a a

k f x dx k f x dx k 

  

5 [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Một số phương pháp tính tích phân

I Dạng 1: Tính tích phân theo cơng thức Ví dụ 1: Tính tính phân sau:

a)

3

I

(1 )

dx x 

 

b)

1

I

1

x dx x 

 

c)

1

2

I

3

x dx x

 

 

d)

1

I

x dx x 

 

(2)

a)

1

3

0 0

(1 )

I

8

(1 ) (1 ) 2(1 )

dx d x

x x x



   

  

 

b)  

1

0

1

I ln( 1) ln

1

x

dx dx x x

x x

 

         

   

 

c)  

1

0

2

I 2 3ln( 3) 6ln 3ln

3

x

dx dx x x

x x

  

          

   

 

d)

 2

1 1

2

2 0

0

4

1

I ln | | ln

2

4

d x

x

dx x

x x



    

 

 

Bài tập áp dụng

1)

3

0

Ix x( 1) dx

2)  

1

3

I 2x x1 dx 3)

1

Ix 1 xdx

4)

16

I

9

dx

x x



  

II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

Sử dụng tính chất [ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 2: Tính tích phân

2

| 1|

I x dx

  

Hướng dẫn giải

Nhận xét:

1,

1

1,

x x

x

x x

   

  

     

 Do

   

1

2 2 2

2 2 2 1

| 1| | 1| | 1| 1

2

x x

I x dx x dx x dx x dx x dx x x



 

      

   

                

   

    

1)

2

| |

I x dx

  

2)

2

3

1

| 2 |

I x x x dx



   

3)

| 2x |

I   dx

4)

2

2 | sin |

I x dx



 

5)

1 cos

I xdx



 

III Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

(3)

Cho hàm số f liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số u u x ( ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]a b u x( ). Giả sử viết

( ) ( ( )) '( ), [ ; ],

f x g u x u x xa b với g liên tục đoạn [ ; ].  Khi đó, ta có

( ) ( )

u b b

a u a

I f x dx g u du

Ví dụ 3: Tính tích phân

2

sin cos

I x xdx





Đặtusin x Ta có ducosxdx Đổi cận:

0 (0) 0;

2

x  u  x  u  

Khi

1

2

0

1

sin cos

0

3

I x xdx u du u



   

1)

2

1

I x x  dx

2)

1

Ix x dx 3)

1 ln

e

x

I dx

x  

4)

2

2 ln

e

dx I

x x



 

Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân

Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ

1 Có f x( ) t f x( ) 3

0 1

x dx I

x 



 Đặt t x1

2 Có (ax b )n t ax b  2016

0 ( 1) Ix x dx

Đặt t x

3 Có af x( ) tf x( ) tan cos

x e

I dx

x

 



Đặt ttanx3

4 Có dx vàlnx x

ln

t x biểu

thức chứa lnx

ln

(ln 1)

e xdx I

x x 





Đặt tlnx1

5 Có e dxx

x

t e biểu thức chứa ex

ln 2

0

x x I e e  dx

Đặt t 3ex1

6 Có sinxdx tcosx 2

0 sin cos

I x xdx





Đặt tsinx Có cosxdx tsinxdx

3

sin

2cos

x

I dx

x







 Đặt t2cosx1

Có cos2 dx

x ttanx

2

4

0

1

(1 tan )

cos cos

I dx x dx

x x

 

  

Đặt ttanx

Có sin2 dx x

cot

t x cot cot

4

2

6 cos 2sin

x x

e e

I dx dx

x x

 

 



 

(4)

cot

t x 2) Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số f liên tục có đạo hàm đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số x(t) có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]  (*) cho

( ) a, ( ) b

      a( )t b với t[ ; ].  Khi đó:

( ) ( ( )) '( )

b

a

f x dx f t t dt





 



 

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng

1 a2 x2 : đặt x | | sin ;a t t 2;

 

 

   

 

2 x2 a2 : đặt

| |

; ; \{0}

sin 2

a

x t

t

 

 

   

 

3 x2a2 : x | | tan ;a t t 2;

 

 

   

 

4 a x a x 

 hoặc a x a x



 : đặt x a cos 2t

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích phân

3 2

0

x dx I

x 

 

phải đổi biến dạng cịn với tích phân

3

0 1

x dx I

x 





nên đổi biến dạng

Ví dụ 4: Tính tích phân sau: a)

1

I   x dx

b)

1 01

dx I

x 

 

a) Đặt xsint ta có dxcostdt Đổi cận: x t 0;x t



     

Vậy

1 2

2

0

0 0

1 | cos | cos sin |

I x dx t dt tdt t

 



     

b) Đặt xtan ,t ta có dx 1 tan2t dt Đổi cận:

0

1

4

x t

x t 

   

 

   



Vậy

1

4

0

|

4

dx

I dt t

x



 

   



 

(5)

Định lí : Nếu u u x ( ) v v x ( ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ ; ]a b

 

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )

b b

b a

a a

u x v x dxu x v x  u x v x dx

 

,

hay viết gọn |

b b

b a

a a

udv uv  vdu

 

Các dạng bản: Giả sử cần tính

( ) ( )

b

a

I P x Q x dx Dạn g hà m

P(x): Đa thức

Q(x): sin kx hay cos kx

P(x): Đa thức

Q(x):ekx

P(x): Đa thức Q(x):

ax b 

ln

P(x): Đa thức Q(x):

1

sin x hay

2

1 cos x Các

h đặt

* u P x ( )

* dv Phần cịn lại biểu thức dấu tích phân

* u P x ( )

* dv Phần cịn lại biểu thức dấu tích phân

* ulnax b  * dvP x dx 

* u P x ( )

* dv Phần lại biểu thức dấu tích phân

Thơng thường nên ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

Ví dụ 5: Tính tích phân sau : a)

sin

I x xdx





b)

0

ln( 1)

e

I x x dx



 

a) Đặt sin u x dv xdx

  



 ta có cos

du dx

v x

  





Do  

2

0

sin cos | cos sin |

I x xdx x x xdx x

 

      

b) Đặt

ln( 1)

u x

dv xdx

 

 



 ta có

2

1 1

du dx

x x v 



 

 

(6)

1

1 2

1 0

0

2 2

1 2

ln( 1) ln( 1) ( 1)

2 2 2

2

2 2

e

e e

e

x e e x

I x x dx x x dx x

e e e e e



 



      

           

   

    

  

 

1)

(2 2) x

I  x e dx

2)

2 cos

I x xdx





3)

2

.sin

x

I x dx





4)

2

( 1) x

(7)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục đoạn [ ; ]a b số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A.  ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

B. ( ) ( )

b a

a b

 

C.

( ) ( )

b b

a a

kf x dx k f x dx

 

D

( ) ( )

b b

a a

xf x dx x f x dx

 

Câu 2. Cho hàm số f liên tục  số thực dương a Trong

khẳng định sau, khẳng định đúng?

A. ( )

a

f x dx



B. ( )

a

f x dx



C. ( )

a

f x dx



D.

( ) ( )

a

f x dxf a



Câu 3. Tích phân

dx



có giá trị

A. 1 B. C 0 D.

Câu 4. Cho số thực a thỏa mãn

1

1 a

x

e dx e



  

, a có giá trị bằng

A. 1 B. 1 C. D.

Câu 5. Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn

[0; ] đạt giá trị 0?

A. f x( ) cos 3 x. B f x( ) sin 3 x.

C. ( ) cos

x

f x    

 . D. ( ) sin

x

f x    

 .

Câu 6. Trong tích phân sau, tích phân có giá trị khác 2?

A.

2

1

ln e

xdx



B.

1

2dx



C 0

sinxdx

 

D.

2

xdx



Câu 7. Trong hàm số đây, hàm số thỏa mãn

1

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

?

A. f x( )ex. B. f x( ) cos x. C. f x( ) sin x. D. f x( ) x 1.

dx I

x



(8)

A. 3ln 3. B.

1 ln

3 . C.

5 ln

2. D.

2 ln

5.

3

sin

x I

x d





có giá trị A.

1

ln

2 3. B. 2ln 3. C

1 ln

2 . D.

1 ln

3.

Câu 10. Nếu

 

0

/2

4 ex dx K 2e



  



giá trị K là

A. 12,5 B. 9. C. 11. D. 10

2

1

2 x

x x

I d

  

có giá trị A.

2ln

3 . B

2 ln 

C. 2ln D. 2ln

Câu 12. Cho hàm số f g liên tục đoạn [1;5] cho

1

( )

f x dx



( )

g x dx



Giá trị  

5

( ) ( )

g x  f x dx



A. 6 B. 6. C 2. D. 2

Câu 13. Cho hàm số f liên tục đoạn [0;3] Nếu

( )

f x dx



tích phân  

3

2 ( ) x f x dx



có giá trị

A. 7. B.

5

2. C 5. D

1

2

( )

f x dx



1

( )

f x dx



( ) f x dx



có giá trị

A. 5. B 5 C. 9. D. 9.

Câu 15. Trong phép tính sau đây, phép tính sai? A.

 

3 3

1

x x

e dx e



B.

 

2

2 3

1

ln dx x x



  





C.

 

2

cosxdx sinx



  





D.

 

2

1

2 x x dx x

 



(9)

Câu 16. Cho hàm số f liên tục đoạn [ ; ]a b có nguyên hàm hàm F đoạn [ ; ]a b Trong phát biểu sau, phát

biểu sai ?

A. ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b  F a



B. F x'( )f x( ) với x( ; )a b

C.

( ) ( ) ( )

b

a

f x dxf b  f a



D. Hàm số G cho G x( )F x( ) 5 thỏa mãn

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx G b  G a



Câu 17. Xét hàm số f liên tục  số thực a, b, c tùy ý

Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A. ( ) ( ) ( )

b b a

a c c

f x dx f x dx f x dx

  

B. ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

C.

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

  

D.

( ) ( ) ( )

b c c

a a b

  

Câu 18. Xét hai hàm số f g liên tục đoạn a b;  Trong

mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A. Nếu mf x( )M  x [ ; ]a b ( ) ( ) ( )

b

a

m b a f x dx M a b 

B. Nếu f x( )m x [ ; ]a b

)

( ) (

b

a

m f x xd  b a



C. Nếu f x( )M  x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a

M f x xd  b a



D. Nếu f x( )m x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a

m f x xd  a b



Câu 19. Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [ ; ]a b cho

( )

g x  với x[ ; ]a b Xét khẳng định sau:

I  

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

(10)

II  ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x  g x dx f x dx g x dx

  

III  

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

IV

( ) ( )

( )

( ) b

b

a b a

a

f x dx f x

dx g x

g x dx

  



Trong khẳng định trên, có khẳng định sai?

A. 1. B 2 C. 3. D. 4.

( 1)

x x dx



có giá trị với giá trị tích phân tích phân đây?

A.

 

2

3 x x dx



B.

0

3 sinxdx

 

C.

ln 10

x

e dx



D.

cos(3x )dx



 



Câu 21. Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A. Nếu hàm số f liên tục đoạn a b;  , cho ( ) b

a

f x dx



( )

f x   x [ ; ]a b

B. Với hàm số f liên tục đoạn [ 3;3] , ln có

3

( )

f x dx







C. Với hàm số f liên tục , ta có

( ) ( ) ( )

b a

a b

f x dx f x d x

 

D. Với hàm số f liên tục đoạn 1;5  

 3

5

2

1

( ) ( )

3

f x

f x dx



Câu 22. Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A. Nếu f hàm số chẵn 

1

0

( ) ( )

f x dx f x dx





 

(11)

B. Nếu

0

1

( ) ( )

f x dx f x dx





 

f hàm số chẵn đoạn [ 1;1]

C. Nếu

1

( )

f x dx



 

f hàm số lẻ đoạn [ 1;1]

D. Nếu

1

( )

f x dx



 

Câu 23. Giả sử F nguyên hàm hàm số y x 6sin5x trên

khoảng (0;) Khi 1

6

5

sin x

x dx



có giá trị

A F(2) F(1) B. F(1). C. F( )2 . D. F(1) F(2).

Câu 24. Cho hàm số f liên tục  hai số thực a b Nếu ( )

b

a

f x dx



tích phân 2

(2 ) b

a

f x dx



có giá trị A.



B. 2 . C. . D. 4 .

khoảng (0;) Khi tích phân

3

2

81x sin 3xdx



có giá trị A. 3F(6) F(3) . B. F(6) F(3) C 3F(2) F(1). D. F(2) F(1).

Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn

0

( )

f x dx



Giá trị tích phân

(2sin ) cos

f x xdx





A. 6. B. 6. C. 3. D. 3

Câu 27. Bài tốn tính tích phân

ln 1ln

e

x x

I dx

x  

học sinh giải theo ba bước sau:

I Đặt ẩn phụ tlnx1, suy

1 dt dx

x 

x 1 e

t

II  

2

1

ln 1ln

1

e

x x

I dx t t dt

x 

(12)

III

 

2

5

1

2

1

I t t dt t

t

 

      

 



Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào?

A. Bài giải đúng.B. Sai từ Bước II C. Sai từ

Bước I D. Sai Bước III

Câu 28. Xét tích phân

sin cos

x

I dx

x



  

Thực phép đổi biến cos

t x, ta đưa I dạng sau đây

A.

4

2

t

I dt

t



  

B.

4

2

t

I dt

t



  

C.

1

2

t

I dt

t

  

D.

1

2

t

I dt

t

  

Câu 29. Cho hàm số yf x( ) liên tục đoạn [ ; ]a b Trong bất

đẳng thức sau, bất đẳng thức đúng?

A.

( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx

 

B.   ( )

b b

a a

f x dx f x dx

 

C.

( ) ( )

b b

a a

 

D.  

( )

b b

a a

 

Câu 30. Trong khẳng định đây, khẳng định sai? A.

1

0

sin(1 x dx)  sinxdx

 

B.

1

(1 x dx)x

 



C.

2

0

sin sin

x

dx xdx

 



 

D.

1 2017

2 (1 )

2019

x x dx



  

Câu 31. Cho hàm số yf x( ) lẻ liên tục đoạn [ 2; 2] Trong

các đẳng thức sau, đẳng thức luôn đúng?

A.

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

B.

2

( )

f x dx



 

C.

2

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

D.

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

2

( 1)

I x dx



 

I Đặt ẩn phụ t(x1)2, suy dt2(x1)dx,

II Từ suy 2( 1)

dt dt

dx dx

(13)

x 2 1

t

III Vậy

4

1

2

1

2

1

( 1)

3

2

t

I x dx dt t

t



    

A Sai từ Bước I B. Sai Bước III C. Sai từ

Bước II D. Bài giải

Câu 33. Một học sinh định lên bảng làm tốn tích phân Mỗi giải 2,5 điểm, giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh giải tốn sau:

Bà

i Đề Bài giải học sinh

1

x

e xdx

  

2

1

0

2

1

2 2

x

x x e e

e xdx e d x   

 

2

1

2dx

x  x

  

1 1

2

0

1

ln ln ln

2dx x x

x  x      



3

sin cosx xdx

 

Đặt tcosx, suy dt sinxdx Khi x0 t1

; x t1 Vậy

1

2

1

0

2

sin cos sin cos

3

t x xdx x xdx t dt

  



   

  

4

1 (4 ) ln e

e x

dx x

  

   

1

2

1 (4 ) ln

1 (4 ) ln ln (4 ) ln

e e

e

e x

dx e x d x

x

x e x e

 

  

 

     

 

Số điểm mà học sinh đạt bao nhiêu?

A. 5,0 điểm B. 2,5 điểm C. 7,5 điểm D. 10,0 điểm Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f g liên tục đoạn [ ; ]a b

Gọi F G nguyên hàm f g đoạn

[ ; ]a b Đẳng thức sau luôn đúng?

A.  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

f x G x dx F x g x  F x G x dx

 

B. ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

f x G x dx F x G x  F x g x dx

 

C. ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

f x G x dx f x g x  F x g x dx

 

(14)

D. ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

f x G x dx F x G x  f x g x dx

 

2 x

I xe dx





có giá trị A. e2 1

  B. 3e21 C. e21 D. 2e21

Câu 36. Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [ ; ]a b số thực

k  Trong phát biểu sau, phát biểu sai?

A  ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

B. ( ) ( )

b a

a b

 

C.

( ) ( )

b b

a a

 

D.

( ) ( )

b b

a a

 

A.

( )

a

f x dx



B.

( )

a

f x dx



C.

( )

a

f x dx



D.

( ) ( )

a

f x dxf a



dx



có giá trị

A. 2. B. 1 C. D.

1

1 a

x

e dx e



  

, a có giá trị

bằng

A. 0. B. 1 D. D.

Câu 40. Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn [0; ] đạt giá trị 0?

A. f x( ) cos 3 x. B. f x( ) sin 3 x.

C. ( ) cos

x

f x    

 . D. ( ) sin

x

f x    

 .

Câu 41. Tích phân tích phân sau có giá trị khác 2?

A.

sinxdx

 

B.

1

2dx



B.

2

1

ln e

xdx



D.

2

xdx

(15)

1

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

?

A. f x( ) cos x. B. f x( ) sin x. C. f x( )ex. D. f x( ) x 1.

dx I

x



có giá trị A.

1 ln

3 . B.

5 ln

2. C. 3ln 3. D.

2 ln

5.

3

sin

x I

x d





có giá trị A.

1 ln

3. B. 2ln 3. C.

1 ln

2 . D.

1

ln

2 3.

Câu 45. Nếu

 

0

/2

4 ex dx K 2e



  



giá trị K là

A. 9. B. 10 C. 11. D. 12,5.

2

1

2 x

x x

I d

  

có giá trị

A. 2 ln B.

2ln

3 . C.

2 ln 

D. Không xác

định

1

( )

f x dx



( )

g x dx



Giá trị  

5

( ) ( )

g x  f x dx



A. 2 B. C. D. 6

( )

f x dx



tích phân  

3

2 ( ) x f x dx



có giá trị

A. 7. B.

5

2. C. 5. D.

1

(16)

( )

f x dx



1

( )

f x dx



( ) f x dx



có giá trị

A. 9. B. 5. C. 9. D. 5

Câu 50. Trong phép tính sau đây, phép tính sai?

A.

 

2

1

2 x x dx x

 



B.

 

3 3

1

x x

e dx e



C.

 

2

cosxdx sinx



  





D.

 

2

2 3

1

ln dx x x



  





biểu sai ?

A. F x'( )f x( ) với x( ; )a b

B.

( ) ( ) ( )

b

a

f x dxf b  f a



C.

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b  F a



( ) ( ) ( )

b

a

f x dx G b  G a



Trong phát biểu sau, phát biểu sai?

A.

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

  

B.

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

  

C. ( ) ( ) ( )

b b a

a c c

  

D. ( ) ( ) ( )

b c c

a a b

  

Câu 53. Xét hai hàm số f g liên tục đoạn a b; .Trong

A. Nếu f x( )m x [ ; ]a b

)

( ) (

b

a



B. Nếu f x( )m x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a



(17)

C. Nếu f x( )M  x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a



D. Nếu mf x( )M  x [ ; ]a b

(

( ) ( ) )

b

a

m b a f x dx M a b 

Câu 54. Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [ ; ]a b cho

( )

g x  với x[ ; ]a b Một học sinh lên bảng phát biểu các

tính chất sau:

I  

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

II  

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x  g x dx f x dx g x dx

  

III  ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

IV

( ) ( )

( )

( ) b b

a b a

a

f x dx f x

dx g x

g x dx

  



Trong số phát biểu trên, có phát biểu sai?

A. 3. B. 1. C. 2 D. 4.

( 1)

x x dx



có giá trị với tích phân tích phân ?

A.

cos(3x )dx



 



B.

0

3 sinxdx

 

C.

 

2

3 x x dx



D. ln 10

2

x

e dx



Câu 56. Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A. Với hàm số f liên tục đoạn [ 3;3] , ln có

3

( )

f x dx







B. Với hàm số f liên tục , ta có

( ) ( ) ( )

b a

a b

 

C. Nếu hàm số f liên tục đoạn a b;  , cho ( ) b

a

f x dx



( )

f x   x [ ; ]a b

 3

5

2

1

( ) ( )

3

f x

f x dx



(18)

A. Nếu f hàm số chẵn 

1

0

( ) ( )

f x dx f x dx





 

B. Nếu

0

1

( ) ( )

f x dx f x dx





 

C. Nếu

1

( )

f x dx



 

D. Nếu

1

( )

f x dx



 

Câu 58. Giả sử F nguyên hàm hàm số

sinx

y x 

khoảng (0;) Khi

2

sinx dx x



có giá trị

A. F(2) F(1) B. F(1). C. F( )2 . D. F(2)F(1).

b

a

f x dx



tích phân 2

(2 ) b

a

f x dx



có giá trị

A.  . B. 2 . C.



D. 4 .

sinx

y x 

2

sin 3x dx x



có giá trị

A. F(6) F(3) B. 3F(6) F(3) . C. 3F(2) F(1) . D. F(2) F(1).

0

( )

f x dx



Giá trị

(2sin ) cos

f x xdx





A. 3 B. 6. C. 3. D. 6.

ln 1ln

e

x x

I dx

x  

1 dt dx

x 

(19)

t

II

 

2

1

ln 1ln

1

e

x x

I dx t t dt

x 

  

III

 

2

5

1

2

1

I t t dt t

t

 

      

 



Vây học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào?

sin cos

x

I dx

x



  

A. 1

2

t

I dt

t

  

B.

4

2

t

I dt

t



  

C.

1

2

t

I dt

t

  

D.

4

2

t

I dt

t



  

Câu 64. Cho hàm số yf x( ) liên tục đoạn [ ; ]a b Trong

các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức luôn đúng?

A.  

( )

b b

a a

 

B.

( ) ( )

b b

a a

 

C.

( ) ( )

b b

a a

 

D.  

( )

b b

a a

 

1

(1 x dx)x

 



B.

1

0

 

C.

2

0

sin sin

x

dx xdx

 



 

D.

1 2017

2 (1 )

2019

x x dx



  

Câu 66. Cho hàm số yf x( ) lẻ liên tục đoạn [ 2; 2] Trong đẳng thức sau, đẳng thức luôn đúng?

A.

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

B.

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

C.

2

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

D.

2

( )

f x dx



 

(20)

2

( 1)

I x dx



 

II Từ suy 2( 1)

dt dt

dx dx

x   t  Bảng giá trị

x 2 1

t

III Vậy

4

1

2

1

2

1

( 1)

3

2

t

I x dx dt t

t



    

A. Sai Bước III B. Sai từ Bước II C. Sai từ

Bước I D. Bài giải

Câu 68. Một học sinh định lên bảng làm toán tích phân Mỗi giải 2,5 điểm, giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh giải tốn sau:

Bà

1

x

e xdx

  

2

1

0

2

1

2 2

x

x x e e

e xdx e d x   

 

2

1

2dx

x  x

  

1 1

2

0

1

ln ln ln

2dx x x

x  x      



3

sin cosx xdx

 

; x t1 Vậy

1

2

1

0

2

sin cos sin cos

3

  



   

  

4

1 (4 ) ln

e e x

dx x

  

   

1

2

1 (4 ) ln

1 (4 ) ln ln (4 ) ln

e e

e

e x

dx e x d x

x

x e x e

 

  

 

     

 

(21)

Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm

F G đoạn [ ; ]a b Đẳng thức sau luôn đúng?

A. ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

B.  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

C.  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

D. ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

2 x

I xe dx





có giá trị A. 2e2 1

  B 3e21 C. e21 D. e21

Câu 71. Ta biết công thức tích phân phần

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

F x g x dx F x G x  f x G x dx

 

, F G nguyên

hàm f g Trong biến đổi sau đây, sử dụng tích phân phần trên, biến đổi sai?

A.

 

2

1

ln ln

2

e

e e

x

x xdx x  xdx

 

 

, F x( ) ln x, g x( )x

B.

 

1

0

x x x

xe dx xe  e dx

 

, F x( )x, g x( )ex.

C

 0

0

sin cos cos

x xdx x x  xdx

 

 

 

, F x( )x, g x( ) sin x.

D.

1 1

1

0

1

0

2

ln ln

x x

x

x dx x dx

 

  

    

 

, F x( )x, g x( ) 2 x1

cos x x dx



  

    



có giá trị A.

  2

2  

B

 2 2   

C.

  2  

D.

 2 2   

(22)

Câu 73. Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn [0;2] Biết F(0) 0 , F(2) 1 , G(0)2,

(2) G 

2

( ) ( )

F x g x dx



Tích phân

( ) ( ) f x G x dx



có giá trị

A 3. B 0. C 2 D. 4

Câu 74. Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn [1; 2] Biết F(1) 1 , F(2) 4 ,

3 (1)

2 G 

,

(2) G 

2

67 ( ) ( )

12

f x G x dx



Tích phân

( ) ( )

F x g x dx



có giá trị A.

11

12 B.

145 12 

C.

11 12 

D

145

12 .

Câu 75. Cho hai số thực a b thỏa mãn a b sin

b

a

x xdx



, đồng

thời acosa0 bcosb Tích phân cos

b

a

xdx



có giá trị A.

145

12 . B . C . D 0

Câu 76. Cho tích phân:

1 ln

e

x

I dx

x  

.Đặt u ln x.Khi I bằng

A

2

I u du

B

0

I u du

C.

0 2

u

I  du

D

2

I u du

2

1 7x 12

x

I dx

x



  

có giá trị

A 5ln 6ln 3 . B. ln ln 3  C 3 5ln ln 3  D. 25ln 16ln 3  .

5

I x dx

có giá trị là:

A.

19

3 . B

32

3 . C.

16

3 . D.

21

(23)

3 ( 1)

xdx I

x 





A.

1 

B

1

6 C.

1

8 D 12.

Câu 80. Cho tích phân

(2 )sin

I x xdx



 

Đặt u 2 x dv, sinxdx I

bằng

A

2

0

(2 x) cosx cosxdx

 

   

B

2

0

(2 x) cosx cosxdx

 

  

C.

2

0

(2 x) cosx cosxdx

 

 

D

2

0

(2 x) cosxdx

 

 

1

2 0(1 )

x dx x 



A

2

5

1 ( 1)

t dt t

 

. B

3

5

(t 1)

dt t

 

C.

2

4

1 ( 1)

t dt t

 

D

4

3 ( 1)

t dt t

 

Câu 82. Tích phân 43

4

1 ( 1)

I dx

x x



 

A

3 ln

2. B

1

ln

3 2. C

1

ln

5 2. D

1

ln

4 2.

Câu 83. Cho hai tích phân

3

I x dx

,

J xdx

.Tìm mối quan hệ I J

A.I J 8 B

32

5 I J 

C.

128 I J 

D

64 I J 

1

1 a

x

e dx e e

  

, a có giá trị

bằng

A 1 B. C D

x

ke dx



(với k số )có giá trị A k e( 21). B.

1

e  C k e( 2 e) D e2 e

(24)

A

2

(e 1) k  dx



B.

2

x

ke dx



C.

2

3

3ke dxx 

D

2

x

ke dx

 Câu 87. Với số thực k, xét phát biểu sau:

(I)

1

2

dx



 

; (II)

1

2

kdx k



 

; (III)

1

2

xdx x



 

; (IV)

2

3kx dx2k



Số phát biểu

A B. C. D

1

( )

f x dx



( )

g x dx



 

5

( ) ( ) 19

g x  kf x dx



Giá trị k là:

A 2. B 6. C. D 2

Câu 89. Cho hàm số f liên tục  Nếu

5

2 ( )f x dx2 

1

( )

f x dx



( ) f x dx



có giá trị bằng:

A 5. B. 6 C 9. D 9.

( )

f x dx



tích phân  

2

( )

kx f x dx 



giá trị k bằng

A 7. B

5

2. C 5. D

(2 5) ln e

x xdx



A

1

( ) ln ( 5) e e

x x x x dx

    

. B

2

1

( ) ln ( 5) e e

x  x x x dx

.

C

1

( ) ln ( 5) e e

x  x x  x dx

. D

2

1

( 5) ln ( ) e

e

x x  x  x dx

.

2

I cos xcos 2xdx





có giá trị A

5  

B



C

3



D



(25)

3

4sin cos

x

I dx

x



 

 có giá trị bằng

A B C D

0

1 sin

I xdx



 

có giá trị

A 2. B 3 2. C. 2. D  2.

2

sin tan

I x xdx





có giá trị A

3 ln

5 

B ln 2 C

3 ln

4 

D

3 ln

8 

Câu 96. Cho hàm số f(x) liên tục  f x( ) f(x) cos x với

mọi x  Giá trị tích phân

2

( )

I f x dx



 



A 2 B

3 16



. C

3 ln

4 

D

3 ln

5 

Câu 97. Nếu

 

0

2

5 ex dx K e



   

giá trị K là:

A 11 B 9. C 7. D 12,5.

1 3cos sin

I x xdx



 

.Đặt u 3cosx1.Khi I

bằng

A

2

3u du. B.

2

3u du. C

2

1

2

9u . D

3

u du



8ln

e

x

I dx

x  

bằng

A 2 B

13

6 . C

3 ln

4 

D

3 ln

5 

2

x x dx



  

có giá trị

A B

64

(26)

Câu 101. Tìm a để

(3 ax dx) 3



?

A B 9. C 7. D 4.

Câu 102. Nếu

 

5

2

5 549

k  x dx



giá trị k là:

A.2 B. C. 2 D.

4

x x

dx x

   

A

1

6 ln

3 3. B.

1

6ln

2 3 C.

1

ln

2 3. D.

1

ln

2 3.

Câu 104. Cho hàm số f liên tục  thỏa f x( ) f(x) 2cos 2 x,

với x Giá trị tích phân

2

( )

I f x dx



 



A B 7. C 7. D 2

Câu 105. Tìm m để

4 122

(3 )

5

m

x dx

 



?

A B. 9. C 7. D.2.

4.2 TÍCH PHÂN I VẬN DỤNG THẤP

Câu 106. Giá trị tích phân

2

1

I dx

x 





A



B.



C



D.



2 01

dx I

x 





AI

 

B

3 I  

C I

 

D

5 I  

3

0 2

dx I

x x





  

A

5 12 I  

B.I

 

C

3 12 I  

D I 12

 

2

5 I x x  dx

(27)

A

4 10

6

3  . B

4 10

7

3  . C

4 10

6

3  . D

2 10

6

3  .

2

4 x dx



có giá trị A



B



C.3



D .

2

1 I x x  dx

có giá trị A

3



B

2



C

2 2



D

3 2



3

1

I x x dx



 

có giá trị A

9 28 

B

3 28 

C

3

28. D

9

28.

1

0

2

( 1)

x dx I

x x 

 



A

16 10 

B

16 11 

C

16 10 

D

16 11 

Câu 114. Giá trị tích phân  

6

5

0

1

I x  x dx

A

1

167. B

1

168. C

1

166. D

1

165.

3

2

1 x x

I dx

x   





A

53

5 . B

54

5 . C.

52

5 . D.

51

5 .

3

x

I dx

x

 

 

A 2



 

B 2



 

C 3



 

D



 

5

2x1 dx



A

1 30

3. B

1 60

3. C

2 60

3. D

2 30

(28)

2

4

1 x

dx x x

  



A ln 2. B ln 3. C 2ln 2. D 2ln 3.

2 1(2 1)

dx x 

A

1

2. B

1

3. C

1

4. D.

2

3.

Câu 120. Giá trị tích phân

3

x

dx x x

   



là

A

3 3ln

2 

. B

3 6ln

2 

. B

3 6ln

2  

. D

3 3ln

2  

.

Câu 121. Giá trị tích phân: I  

2

1 1

x

dx x

 

  

là A

1 ln

2 

B

1 2ln

3 

C

1 2ln

4 

D

1 ln

2 

Câu 122. Giá trị tích phân:

   

99

101

7

x

I dx

x

 

 

là A

100

1

2

900  . B.

101

1

2

900   . C

99

1

2

900   . D

98

1

2

900   .

2 2001 1002 (1 )

x

I dx

x

  

có giá trị A 1001

1

2002.2 . B 1001

1

2001.2 . C 1002

1

2001.2 . D 1002

1

2002.2 .

3

2 cos(3 )

3

x dx



  

A

3 

B

2 

C

2 3 

D

2 

2

I cos xcos 2xdx





A



B



C



D



sin cos

x x

I dx

x



  

(29)

A

2 

B

2

6 

C

2

8 

D

2

4 

4

sin cos

J x xdx



 

A

2

5. B

3

5. C.

4

5. D

6

5.

4

sin cos sin

x x

I dx

x



 

 

A

3 ln

2 . B

1 ln

2 . C ln 2. D

1 ln

2 .

sin 3cos

x

I dx

x



 



A

2 ln

3 . B

2 ln

3 . C

1 ln

3 . D

1 ln

3 .

6

1

2 cos sin cos

I    x x xdx

A

21

91. B

12

91. C

21

19. D

12

19.

3

cos

(sin cos )

x

I dx

x x









A

1

8. B

3

8. C

5

8. D

7

8.

Câu 132. Giá trị tích phân I =

3

sin

(sin + cos ) xdx

x x

 

A

1

4. B

1

3. C

1

2. D

1

6.

4

0

cos sin

I x xdx





A I 32

 

B I 16

 

C I

 

D I

 

4 6

0

(sin cos )(sin cos )

I x x x x dx



  

(30)

A

32 128 I  

. B

33 128 I  

C

31 128 I  

. D

30 128 I  

.

6

0

sin

sin cos

x

I dx

x x









A

4

3. B

1

3. C

2

3. D

5

3.

Câu 136. Giá trị tích phân 0sin

xdx I

x









A I

 

B.I

 

C I

 

D I 

2007

2007 2007

0

sin

sin cos

x

I dx

x x









A I

 

B I

 

C

3 I  

D

5 I  

11

cos xdx

 

A

250

693. B

254

693. C

252

693. D

256

693.

10

sin xdx

 

A

67 512



B

61 512



C

63 512



D

65 512



Câu 140. Giá trị tích phân 01

x

dx I

e 





A

2 ln

1 e e    



 . B ln e e    



 . C 2ln e e    



 . D

2 ln

1 e e    

  .

ln

x

e dx I

e



 

A

5

3. B

10

3 . C

20

3 . D

2

3.

Câu 142. Giá trị tích phân ln

0

1

x

I  e  dx

A

4

 

B

4

 

C

5

 

D

5

 

(31)

Câu 143. Giá trị tích phân   ln

3

0

x

e

I dx

e



 

A 2 1 B 1 C 2 D 2 2

ln e

e

dx I

x x



A 2ln 3. B ln 3. C ln 2 D 2ln 2.

ln

ln 2

x

x x

e dx I

e e



   

A.2ln 1 B 2ln3 – C.ln 1 . D ln 1

Câu 146. Cho

ln

3

0

2

1

x x x x x

e e

M dx

e e e   

  



Giá trị eM A

7

4. B

9

4. C

11

4 . D

5

4.

Câu 147.

3

1

ln ln e

x x

I dx

x

 

A

3

3 5

3

8   B

3

8   . C

3

8   . D

3

3 4

3

8  .

2

ln(1 )

1 x

I dx

x  





A I 8ln

 

B I 4ln  

C I 8ln  

D I 8ln  

Câu 149. Cho hàm số f(x) liên tục  thỏa f(x) ( ) cos f x  x

2

( )

I f x dx



 



A

1 I 

B

4 I 

C

2 I 

D I 1

II VẬN DỤNG CAO

Câu 150. Tìm hai số thực A B, cho f x( )Asinx B , biết

'(1) f  và

2

( )

f x dx



A.

2 A B

    

 

 . B

2 A B

    

 

 . C.

2 A B

    

 

 . D

2 A B

 

(32)

Câu 151. Giá trị a để đẳng thức

2

1

(4 )

a a x x dx xdx

     

 

 

đẳng thức

A. B. C. D.

( 0) a

dx

I a

x a

 

 

A.4a



B.

2

4a



C.

2

4a

 

D.

 

a.

cos cos

x

I dx

x



 



A.4



B.2



C.

4 

D.

 

Câu 154. Cho

2

1

x

dt I

t 





Tích phân sau có giá trị với giá trị tích phân cho

A. 11

  

x

dt

t . B.

11 x

dt t

 

C.

1 11  x dt

t . D.

1 11

 

 x dt

t .

2

1

ln(sin ) sin

I x dx

x





A ln 3



  

B. ln 3

  

C. ln 3



  

D. ln 3



  

Câu 156. Giá trị tích phân  

2

min 1, 

I x dx

A.4. B.

3

4 C.

4

3. D.

3 

8







 dx

I dx

x x là

A.

2 ln

3. B.2. C. ln D.2ln

Câu 158. Biết

3

2ln

ln 2 a x x

I dx

x



  

(33)

A. B ln 2. C  . D. 3.

Câu 159. Cho

0

cos 3sin

I x x dx



 

,

2

0

sin

(sin 2)

x

I dx

x









Khẳng định sau sai ?

A.

14 I 

B.I1 I2 B.

3 2ln

2 I  

D.

3 2 ln

2 I  

Câu 160. Tất giá trị tham số m thỏa mãn

 

0

2

m

x dx



A. m1,m6. B. m1,m6. C. m1,m6. D. m1,m6.

Câu 161. Cho hàm số sin ( )

(2 sin )

x h x

x



 Tìm để

cos cos ( )

(2 sin ) sin

a x b x

h x

x x

 

  và

tính

( ) I h x dx



 I=

−π

h(x)dx

A

2

4, 2; 2ln

3

a b I  

B.

2

4, 2; 2ln

3

a b I  

C

1

2, 4; ln

3

a b I  

D.

1

2, 4; ln

3

a b I  

Câu 162. Giá trị trung bình hàm số yf x  a b;  , kí hiệu  

m f tính theo cơng thức    

1 b

a

m f f x dx b a



  Giá trị

trung bình hàm số f x  sinx 0; A.

4

 B.

3

 . C.

1

 . D

2  .

Câu 163. Cho ba tích phân 03

dx I

x 





,  

4

0

sin cos

J x x dx



 

 

2

3

K x x dx



  

Tích phân có giá trị

21

2 ?

A. K B. I C. J D. J K

Câu 164. Với 0a1, giá trị tích phân sau 0 2 2 a

dx dx x x là:

A.

2 ln

2

a a



 . B.

2 ln

1 a

a 

 . C.  

2 ln

2

a a



 . D.

2 ln

2

a a

(34)

Câu 165. Cho

1

4

0

4

2

( 2)

x

m dx

x

 





Khi đó giá trị 144m2 1

 bằng

A

2 

B 4 1 . C

2

3 . D

2 3 

Câu 166. Cho hàm số f liên tục đoạn [ ; ]a b có đạo hàm liên tục a b; , đồng thời thỏa mãn f a( )f b( ) Lựa chọn khẳng

định khẳng định sau

A.

( )

'( )

b

f x

a

f x e dx



B.

( )

'( )

b

f x

a

f x e dx



C.

( )

'( )

b

f x

a

f x e dx



D.

( )

'( )

b

f x

a

f x e dx



Câu 167. Kết phép tính tích phân

1

dx I

x x



 

có dạng ln ln

I a b ( ,a b ) Khi a2 ab 3b2

  có giá trị

A. B. C. D.

Câu 168. Với n,n1, tích phân  

2

1 cos nsin

I x xdx



 

có giá trị A

1

2n. B.

1

n C.

1

n D n.

Câu 169. Với n,n1, giá trị tích phân

2

sin

cos sin

n

n n

x

dx

x x







A.

 

B



C.

3



D.

3

 

0

1 cos 2xdx







A. 3034 2 B. 4043 2. C. 3043 2. D 4034 2

1 cos

0

(1 sin ) ln

1 cos





  

 



 



x

dx

x là

A.2 ln 1 B.2 ln 1 C.2 ln 1 D.2 ln 1

Câu 172. Có giá trị b thỏa mãn

(3 12 11)

b

x  x dx



(35)

Câu 173. Biết

6

b

dx



a

x

xe dx a



Khi biểu thức

2 3 2

b a  a  a có giá trị

A. B. C. D.

Câu 174. Biết 2 a

dx A x a 



,

2

b

dx B







(với a b, 0) Khi giá trị của

biểu thức B aA

b 

(36)

C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

A D A B A D B C B D C D C A D B D A C B

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D A B A D B C B D C D C A D B D D C A 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

A D A B A D B C B D C D C A D B A C B B

10

11

upl oa d.1

23 c.n

et 11

9 12

0

D A B A A A C D C D B A D B B C C D B C 12

1 12

2 12

3 12

4 12

5 12

6 12

7 12

8 12

9 13

0 13

1 13

2 13

3 13

4 13

5 13

6 13

7 13

8 13

9 14

0 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 14

1 14

2 14

3 14

4 14

5 14

6 14

7 14

8 14

9 15

0 15

1 15

2 15

3 15

4 15

5 15

6 15

7 15

8 15

9 16

0 C B B C B C D D C D B A A C D B A A C A 16

1 16

2 16

3 16

4 16

5 16

6 16

7 16

8 16

9 17

0 17

1 17

2 17

3 17

(37)

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Cho hai hàm số f , g liên tục đoạn [ ; ]a b số thực k tùy ý

A.  

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

B.

( ) ( )

b a

a b

 

C.

( ) ( )

b b

a a

 

D

( ) ( )

b b

a a

 

khẳng định sau, khẳng định đúng?

A. ( )

a

f x dx



B. ( )

a

f x dx



C. ( )

a

f x dx



D.

( ) ( )

a

f x dxf a



1

dx



có giá trị

A. 1 B. C 0 D.

1

1 a

x

e dx e



  

, a có giá trị bằng

A. 1 B. 1 C. D.

Ta có

1 1

1

a

x x a

e dx e  e  e

 

   

Vậy yêu cầu toán tương đương

1 1 1 1

a

e  e a

 

 



Câu 5. Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn

[0; ] đạt giá trị 0?

A. f x( ) cos 3 x. B f x( ) sin 3 x.

C. ( ) cos

x

f x    

 . D. ( ) sin

x

f x    

 .

Tính tích phân cho hàm số đáp án:

 0

1

cos3 sin 3

xdx x

 

 



,

 0

1

sin cos3

xdx x

 

 



(38)



 

0

cos 4sin 2

4

x x

dx

 

   

    

   

   



,

 0

sin 4cos 2

4

x x

dx

 

   

   

   

   



Vậy chọn f x( ) cos3 x.

Câu 6. Trong tích phân sau, tích phân có giá trị khác 2?

A.

1

ln e

xdx



B.

1

2dx



C 0

sinxdx

 

D.

2

xdx

 Hướng dẫn giải

Dù giải máy tính hay làm tay, ta khơng nên thử tính đáp án từ A đến D, mà nên chọn tích phân đơn giản để thử trướC. Ví dụ



1 0

2dx2x 2



,



2 2

0

2 x xdx 





0

sinxdx cosx



 



,

nên nhận

1

ln e

xdx



1

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

?

A. f x( )ex. B. f x( ) cos x. C. f x( ) sin x. D. f x( ) x 1.

Cách 1: Phương pháp tự luận

Tính tích phân (cho đến nhận kết đúng), ta được:



1

sinxdx cosx sinxdx

 

  

 

 nhận,



1 1

cosxdx sinx 2sin1



 



,

2 2

cosxdx sinx 2sin



 



 loại, 

1

x x

e dx e e e



 

   

,

2 2

2

x x

e dx e  e e



   

(39)



1 1

2

1 ( 1)

( 1)

2

x

x dx

 



  



,

2 2

2

2 ( 1)

( 1)

2

x

x dx

 



  



 loại Vậy ta nhận đáp án f x( ) sin x.

Ta biết f hàm số lẻ liên tục ¡

( )

a

f x dx







với số thực a Trong lựa chọn đây, có hàm số

( ) sin

y= f x = x lẻ, nên đáp án toán.

Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm

Thực phép tính sau máy tính (đến thu kết 0 ngưng)

Phép tính Kết

quả

1

sinxdx sinxdx

 



 

1

cosxdx cosxdx

 



  0

1

x x

e dx e dx

 



  0

1

(x 1)dx (x 1)dx

 

  

  0

Vậy ta nhận đáp án f x( ) sin x.

5

dx I

x



có giá trị A. 3ln 3. B.

1 ln

3 . C.

5 ln

2. D.

2 ln

5.

5 2

5 ln ln ln ln

2

dx

I x

x

    

Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị 0,91629

Bước 2: Lấy 0,91629

e cho kết

(40)

chọn

5 ln

2.

Phép tính

Kết quả

Phép tính

Kết quả

2

5 ln

2

dx

x 



5

3ln

dx

x 

 0

5

1 ln 3

d x

x



 0

5

2 ln

5

dx

x 

 0

 chọn

5 ln

2.

2

3

sin

x I

x d





có giá trị A.

1

ln

2 3. B. 2ln 3. C

1 ln

2 . D.

1 ln

3.

2

2 2

3 3

2

3

cos sin

1

2 cot tan

2 2

ln sin ln cos

2

ln ln ln l

sin 2sin cos 2

n

2 2

ln

x x

dx x x

x x

x

I dx dx

x x

  



 



 

 

 

     

 

 

  

 

   

     

   



  

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị 0,549306

Bước 2: Lấy e0,549306

cho kết

1,732050808   chọn

1 ln

(41)

Phép tính

Kết quả

Phép tính

Kết quả

3

1 ln sinx

dx







2

3

1 2ln

3 sinx

dx





 0

2

3

2ln sinx

dx





 0

2

3

1

n

si 2ln

dx x





 0

 chọn

1 ln

2 .

Nhận xét: Ở cách làm máy tính nhanh

Câu 10. Nếu

 

0

/2

4 ex dx K 2e



  



giá trị K là

A. 12,5 B. 9. C. 11. D. 10

Phương pháp tự luận

     

0 0

/2 /2

2

4 x x 2 2 10

K e dx e x e e e e

 

           

Phương pháp trắc nghiệm

Dùng máy tính tính

 

0

/2

4 ex dx 2e



 



như hình bên, thu giá trị 10

K 

1

2

1

2 x

x x

I d

  

có giá trị A.

2 ln

3 . B

2ln 

C. 2ln D. 2ln

 

1 1

0

0 0

2

1

1 1 1 ln

ln ln

( 2)( 1)

2dx dx dx x x

x x x x x x

 

      

        

  

(42)

Học sinh áp dụng cơng thức

1

ln

( )( )

x a

dx C

x a x b a b x b 

 

   

 để giảm một bước tính:

1

0

2

1 1 2ln

ln

( 2)( 1) 3

2

x

I dx dx

x x x x x



   

  

 

 

Phương pháp trắc nghiệm

Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị 0.4620981

Bước 2: Loại đáp án dương

2ln

3 loại

đáp án nhiễu “Không xác định”

Bước 3: Chia giá trị 0.4620981 cho ln 2,

nhận

2 

 chọn

2ln 

1

( )

f x dx



( )

g x dx



Giá trị  

5

( ) ( )

g x  f x dx



A. 6 B. C 2. D. 2

 

5 5

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

g x  f x dx g x dx f x dx  

  

( )

f x dx



tích phân  

3

2 ( ) x f x dx



có giá trị

A. 7. B.

5

2. C 5. D

1

2

 

3 3

0 0

9

2 ( ) ( ) 2

2

x f x dx xdx f x dx   

  

(43)

5

( )

f x dx



1

( )

f x dx



( ) f x dx



có giá trị

A. 5. B 5 C. 9. D. 9.

5 5

3 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx   

    

A.

 

3 3

1

x x

e dx e



B.

 

2

2 3

1

ln dx x x



  





C.

 

2

cosxdx sinx



  





D.

 

2

1

2 x x dx x

 



Phép tính

 

2

2 3

1

ln dx x x



  





sai Phép tính  

2 3

1

ln dx x x



  





biểu sai ?

A. ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b  F a



B. F x'( )f x( ) với x( ; )a b

C.

( ) ( ) ( )

b

a

f x dxf b  f a



( ) ( ) ( )

b

a

f x dx G b  G a



A. ( ) ( ) ( )

b b a

a c c

  

B. ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

  

(44)

C. ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

  

D. ( ) ( ) ( )

b c c

a a b

  

Câu 18. Xét hai hàm số f g liên tục đoạn a b;  Trong

A. Nếu mf x( )M  x [ ; ]a b ( ) ( ) ( )

b

a

m b a f x dx M a b 

B. Nếu f x( )m x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a



C. Nếu f x( )M  x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a



D. Nếu f x( )m x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a



Mệnh đề “Nếu f x( )m x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a



” sai, mệnh đề phải

“Nếu f x( )m x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a



”

Câu 19. Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [ ; ]a b cho ( )

g x  với x[ ; ]a b Xét khẳng định sau:

I  

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

II  ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x  g x dx f x dx g x dx

  

III  ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

IV

( ) ( )

( )

( ) b

b

a b a

a

f x dx f x

dx g x

g x dx

  



Trong khẳng định trên, có khẳng định sai?

A. 1. B 2 C. 3. D. 4.

(45)

Các công thức

( ) ( )

( )

( ) b b

a b a

a

f x dx f x

dx g x

g x dx

  



 ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

sai

3

( 1)

x x dx



có giá trị với giá trị tích phân tích phân đây?

A.

 

2

3 x x dx



B.

0

3 sinxdx

 

C.

ln 10

x

e dx



D.

cos(3x )dx



 



Tính rõ phép tính tích phân để tìm kết (chỉ tính đến nhận kết dừng lại):



ln 10

ln 10 2ln 10

2

0

1

2 2

x

x e e

e dx   



,



3 0

3 sinxdx 3cosx



 



,



 

2

0

3

0

2 8 4

3

3 3

3 x x

x x dx   x    

 



,



 

0

1

cos(3 ) sin(3 ) sin s

3 in

x dx x



    

   



Vậy chọn ln 10

2

x

e dx



Nhập phép tính sau vào máy tính để thu kết quả:

quả

3 ln 10

2

0

( 1) x

x x dx e dx

 

3

0

( 1) sin

x x dx xdx



 

   32

 

3

2

3

( 1)

x x dx x x dx

(46)

3

0

( 1) cos(3 )

x x dx x dx



  

  92

Vậy chọn ln 10

2

x

e dx



Câu 21. Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A. Nếu hàm số f liên tục đoạn a b;  , cho ( ) b

a

f x dx



( )

f x   x [ ; ]a b

B. Với hàm số f liên tục đoạn [ 3;3] , ln có

3

( )

f x dx







C. Với hàm số f liên tục , ta có

( ) ( ) ( )

b a

a b

 

 3

5

2

1

( ) ( )

3

f x

f x dx



Vì d x( ) ( 1)  dx nên ( ) ( ) ( )( 1) ( ) ( )

b a a a

a b b b

f x dx f x dx f x  dx f x d x

   

1

0

( ) ( )

f x dx f x dx





 

B. Nếu

0

1

( ) ( )

f x dx f x dx





 

C. Nếu

1

( )

f x dx



 

D. Nếu

1

( )

f x dx



 

 Hàm số

3

2 x y x 

thỏa

0

1

( ) ( )

f x dx f x dx





 

1

( )

f x dx



 

(47)

 Hàm số

2

3 y x 

thỏa

1

( )

f x dx



 

, làm hàm chẵn

[ 1;1] .

 Còn f hàm chẵn  f x( )f(x) với x .

Đặt tx dtdx suy ra

1 1 1

0 0 0

( ) ( )( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x dx f x dx f x d x f x d x f t dt f t dt



   

      

     

khoảng (0;) Khi 1

6

5

sin x

x dx



có giá trị

A F(2) F(1) B. F(1). C. F( )2 . D. F(1) F(2).

Áp dụng công thức ( ) ( ) ( ) b

a

f x dx F b  F a



, F nguyên

hàm f đoạn [ ; ]a b , ta có

6sin5 (2) ( )1

x xdx F  F



b

a

f x dx



tích phân 2

(2 ) b

a

f x dx



có giá trị

A. 

B. 2 . C. . D. 4 .

Phương pháp tự luận Đặt t2x dt2dx và

x a 2 b 2

t a b

Vậy

2

1

(2 ) (2 )2 ( )

2 2

b b b

a a a

f x dx f x dx f t dt

  

Phương pháp tự luận tốt cả, học sinh khơng nắm rõ, thay f hàm số đơn giản, xác định

[0;1] tính tốn

(48)

1

0

1 ( )

2 f x dx xdx    

, suy

1/2 1/2

0

1

(2 )

4

f x dx xdx 

 

khoảng (0;) Khi tích phân

3

2

81x sin 3xdx



có giá trị A. 3F(6) F(3) . B. F(6) F(3) C 3F(2) F(1). D. F(2) F(1).

Đăt t3x dt 3dx đổi cận

x 1 2

t 3 6

Vậy

3 5

2

1

5

sin sin )3 sin

81x 3xdx (3 ) (x 3x dx t tdt F (6) F(3)

  

0

( )

f x dx



(2sin ) cos

f x xdx





A. 6 B. C. 3 D.

Đặt t2sinx dt2cosxdx và

x 0  2

t 0

Vậy

2 2

0 0

( )

(2sin ) cos ( )

2

f t

f x xdx dt f t dt



  

  

ln 1ln

e

x x

I dx

x  

1 dt dx

x 

x 1 e

t

II

 

2

1

ln 1ln

1

e

x x

I dx t t dt

x 

(49)

III

 

2

5

1

2

1

I t t dt t

t

 

      

 



Bước III sai Phép tính

   

2

5

1

2

1

5 15

I  t t dt t  t   

 



3

sin cos

x

I dx

x



  

A.

4

2

t

I dt

t



  

B.

4

2

t

I dt

t



  

C.

1

2

t

I dt

t

  

D.

1

2

t

I dt

t

  

Ta có tcosx dt sinxdx Khi x0 t1, x  

1 t

Vậy

3

0

1

0 12

sin 2sin cos 2

1 cos cos 1

x x x t t

I dx dx dt dt

x x t t

 

   

   

   

Câu 29. Cho hàm số yf x( ) liên tục đoạn [ ; ]a b Trong bất

đẳng thức sau, bất đẳng thức đúng?

A. ( ) ( )

b b

a a

 

B.   ( )

b b

a a

 

C. ( ) ( )

b b

a a

 

D.   ( )

b b

a a

 

Câu 30. Trong khẳng định đây, khẳng định sai?

A.

1

0

 

B.

1

(1 )x

x dx

 



C.

2

0

sin sin

x

dx xdx

 



 

D.

1 2017

2 (1 )

2019

x x dx



  

(50)

 Đặt

1

0

1 sin(1 ) sin sin

t  x dtdx   x dx tdt tdt

 Đặt

2

0

1

sin 2sin

2 2

x x

t dt dx dx tdt

 

     



1

1 2018 2019 2018 2019 2018 2019

2017

1

1 ( 1) ( 1)

(1 )

2018 2019 2018 2019 2018 2019 2019

x x

x x dx

 

       

         

     



Vậy

(1 x dx)x

 



sai

Cách 2: Nhận xét tích phân

Ta thấy (1x)x1 với x[0;1] nên

1

0

(1 x dx)x 1dx

 



 

, “

0

(1 x dx)x

 



” khẳng định sai

quả

0

(1 x dx)x



 0

1

0

sin(1 x dx)  sinxdx

 

2

0

sin sin

x

dx xdx

 



 

1 2017

2 (1 )

2019

x x dx



 



suy

(1 )x

x dx

 



khẳng định sai

A.

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

B.

2

( )

f x dx



 

C.

2

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

D.

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

(51)

Với hàm số f số thực dương a, ta ln nằm lịng 2

tính chất sau đây:

 Nếu f hàm số lẻ đoạn [- ; ]a a

( )

a

f x dx







,

 Nếu f hàm số chẵn đoạn [- ; ]a a

( ) ( )

a a

a

f x dx f x dx





 

Vậy ta chọn

2

( )

f x dx



 

Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, thay f hàm số đơn giản, xác định [ 2;2] tính tốn Ví

dụ f x( )x với x [ 2; 2] Khi



2

( )

f x dx



 

, 

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

,



2

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

, 

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

Vậy chọn

2

( )

f x dx



 

1

2

( 1)

I x dx



 

II Từ suy 2( 1)

dt dt

dx dx

x   t  Đổi cận

x 2 1

t

III Vậy

4

1

2

1

2

1

( 1)

3

2

t

I x dx dt t

t



    

A Sai từ Bước I B. Sai Bước III C. Sai từ

Bước II D. Bài giải

(52)

Bà

1

x

e xdx

  

2

1

0

2

1

2 2

x

x x e e

e xdx e d x   

 

2

1

2dx

x  x

  

1 1

2

0

1

ln ln ln

2dx x x

x  x      



3

sin cosx xdx

 

; x t1 Vậy

1

2

1

0

2

sin cos sin cos

3

  



   

  

4

1 (4 ) ln e

e x

dx x

  

   

1

2

1 (4 ) ln

1 (4 ) ln ln (4 ) ln

e e

e

e x

dx e x d x

x

x e x e

 

  

 

     

 

A. 5,0 điểm B. 2,5 điểm C. 7,5 điểm D. 10,0 điểm

Bài toán giải sai Cách giải

1

2

0

1 1 2

ln ln

2 ( 1)( 2) 3

x

dx dx

x x x x x



  

    

 

Bài toán kết đúng, cách tính nguyên hàm sai hoàn toàn Lời giải là:

   

1

1 (4 ) ln

1 (4 ) ln ln ln (2 ) ln

e e e

e x

dx e x d x x e x e

x

 

 

        

 

Kinh nghiệm

Kết chưa giải

Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f g liên tục đoạn [ ; ]a b

Gọi F G nguyên hàm f g đoạn

[ ; ]a b Đẳng thức sau luôn đúng?

A.  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

(53)

B. ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

C.  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

D.  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

0

x

I xe dx





có giá trị A. e2 1

  B. 3e21 C. e21 D. 2e21

Sử dụng tích phân phần, ta

         

0

0 0 0 0 0

2

2 2

1

x

x x x x x x x

I xe dx

xd e xe e dx xe e dx xe e e

 

      

   

  



 

          

 



  

2 x

xe dx

 hình bên, thu kết hình bên Loại đáp án 3e2 1

 Sau thử đáp án cịn

lại để tìm kết

Câu 36. Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [ ; ]a b số thực

k  Trong phát biểu sau, phát biểu sai?

A  

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

B.

( ) ( )

b a

a b

 

C. ( ) ( )

b b

a a

 

D. ( ) ( )

b b

a a

 

A. ( )

a

f x dx



B. ( )

a

f x dx



C. ( )

a

f x dx



D.

( ) ( )

a

f x dxf a



(54)

1

dx



có giá trị

A. 2. B. 1 C. D.

1

1 a

x

e dx e



  

, a có giá trị

bằng

A. 0. B. 1 D. D.

[Phương pháp tự luận]

Ta có

1 1

1

a

x x a

e dx e  e  e

 

   

Vậy yêu cầu toán tương đương

1

a

e  e a

 

 

 .

Câu 40. Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn [0; ] đạt giá trị 0?

A. f x( ) cos 3 x. B. f x( ) sin 3 x.

C. ( ) cos

x

f x    

 . D. ( ) sin

x

f x    

 .

Tính tích phân cho hàm số đáp án:

 0

1

cos3 sin 3

xdx x

 

 



 0

1

sin cos3

xdx x

 

 





 

0

cos 4sin 2

4

x x

dx

 

   

    

   

   



 0

sin 4cos 2

4

x x

dx

 

   

   

   

   



Vậy chọn f x( ) cos 3 x.

Câu 41. Tích phân tích phân sau có giá trị khác 2?

A.

sinxdx

 

B.

1

2dx



B.

2

1

ln e

xdx



D.

2

xdx



1

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

(55)

A. f x( ) cos x. B. f x( ) sin x. C. f x( )ex. D. f x( ) x 1.

Tính tích phân (cho đến nhận kết đúng), ta được:



1

sinxdx cosx sinxdx

 

  

 

 nhận, 

1

1 1

cosxdx sinx 2sin1



 



,

2 2

cosxdx sinx 2sin



 



 loại,



1

x x

e dx e e e



 

   

,

2 2

2

x x

e dx e  e e



   

 loại,



1 1

2

( 1)

2

x

x dx

 



  



,

2 2

2

( 1)

2

x

x dx

 



  



 loại Vậy ta nhận đáp án f x( ) sin x.

[Phương pháp trắc nghiệm]

quả

1

sinxdx sinxdx

 



 

1

cosxdx cosxdx

 



  0

1

x x

e dx e dx

 



  0

1

(x 1)dx (x 1)dx

 

  

  0

Vậy ta nhận đáp án f x( ) sin x.

5

dx I

x



có giá trị A.

1 ln

3 . B.

5 ln

2. C. 3ln 3. D.

2 ln

5.

(56)

5

5 2

5 ln ln ln ln

2

dx

I x

x

    

[Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm]

Bước 2: Lấy e0,91629

cho kết

5

2 

chọn

5 ln

2.

Phép tính

Kết quả

Phép tính

Kết quả

2

5 ln

2

dx

x 



5

3ln

dx

x 

 0

5

1 ln 3

d x

x



 0

5

2 ln

5

dx

x 

 0

 chọn

5 ln

2.

2

3

sin

x I

x d





có giá trị A.

1 ln

3. B. 2ln 3. C.

1 ln

2 . D.

1

ln

2 3.

[Cách 1: Phương pháp tự luận]

2

2 2

3 3

2

3

cos sin 1

2 cot tan

2 2

2

ln sin ln cos ln ln ln l

sin 2sin cos

2

n ln

2 2 2

x x

dx x x

x x x

I dx dx

x x

  



 



 

 

 

     

 

   

 

          

   

 

  

(57)

Bước 2: Lấy e0,549306

cho kết

1,732050808   chọn

1 ln

2 .

Phép tính

Kết quả

Phép tính

Kết quả

3

1 ln sinx

dx







2

3

1 2ln

3 sinx

dx





 0

2

3

2ln sinx

dx





 0

2

3

1

n

si 2ln

dx x





 0

 chọn

1 ln

2 .

Nhận xét: Ở cách làm máy tính nhanh

Câu 45. Nếu

 

0

/2

4 ex dx K 2e



  



giá trị K là

A. 9. B. 10 C. 11. D. 12,5.

     

0 0

/2 /2

2

4 x x 2 2 10

K e dx e x e e e e

 

           

 

0

/2

4 ex dx 2e



 



hình bên, thu giá trị K 10

1

2

1

2 x

x x

I d

  

(58)

A. 2 ln B. 2ln

3 . C.

2 ln 

D. Không xác

định

 

1 1

0

0 0

2

1

1 1 1 2ln

ln ln

( 2)( 1)

2dx dx dx x x

x x x x x x

 

      

        

  

Học sinh áp dụng công thức

1

ln

( )( )

x a

dx C

x a x b a b x b 

 

   



để giảm một bước tính:

1

0

2

1 1 2ln

ln

( 2)( 1) 3

2

x

I dx dx

x x x x x



   

  

 

 

Bước 1: Dùng máy tính hình bên, thu giá trị 0.4620981

Bước 2: Loại đáp án dương

2ln

3 và

loại đáp án nhiễu “Không xác định” Bước 3: Chia giá trị 0.4620981 cho ln

, nhận

2 

 chọn

2 ln 

1

( )

f x dx



( )

g x dx



Giá trị  

5

( ) ( )

g x  f x dx



A. 2 B. C. D. 6

 

5 5

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

g x  f x dx g x dx f x dx  

  

3

( )

f x dx



tích phân  

3

2 ( ) x f x dx



(59)

A. 7. B.

5

2. C. 5. D.

1

2

 

3 3

0 0

9

2 ( ) ( ) 2

2

x f x dx xdx f x dx   

  

( )

f x dx



1

( )

f x dx



( ) f x dx



có giá trị

A. 9. B. 5. C. 9. D. 5

5 5

3 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx   

    

A.  

2

1

2 x x dx x

 



B.

 

3 3

1

x x

e dx e



C.

 

2

cosxdx sinx



  





D.

 

2

2 3

1

ln dx x x



  





Phép tính

 

2

2 3

1

ln dx x x



  





sai Phép tính

 

2

2 3

1

ln dx x x



  





Câu 51. Cho hàm số f liên tục đoạn [ ; ]a b có nguyên

hàm hàm F đoạn [ ; ]a b Trong phát biểu sau, phát

biểu sai ?

A. F x'( )f x( ) với x( ; )a b

B.

( ) ( ) ( )

b

a

f x dxf b  f a



C. ( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b  F a



( ) ( ) ( )

b

a

f x dx G b  G a



(60)

Trong phát biểu sau, phát biểu sai?

A. ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

  

B. ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

  

C. ( ) ( ) ( )

b b a

a c c

  

D. ( ) ( ) ( )

b c c

a a b

  

Câu 53. Xét hai hàm số f g liên tục đoạn a b; .Trong

A. Nếu f x( )m x [ ; ]a b thì ( ) ( )

b

a



B. Nếu f x( )m x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a



C. Nếu f x( )M  x [ ; ]a b

)

( ) (

b

a



D. Nếu mf x( )M  x [ ; ]a b ( ) ( ) ( )

b

a

m b a f x dx M a b 

Mệnh đề “Nếu f x( )M  x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a

M f x xd  a b



” sai, mệnh đề phải

“Nếu f x( )M  x [ ; ]a b ( ) ( )

b

a

M f x xd  b a



”

Câu 54. Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [ ; ]a b cho ( )

g x  với x[ ; ]a b Một học sinh lên bảng phát biểu các

tính chất sau:

I  

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

II  

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x  g x dx f x dx g x dx

  

III  ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

IV

( ) ( )

( )

( ) b b

a b a

a

f x dx f x

dx g x

g x dx

  



Trong số phát biểu trên, có phát biểu sai?

(61)

Các phát biểu

( ) ( )

( )

( ) b b

a b a

a

f x dx f x

dx g x

g x dx

  



 ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

  

sai

3

( 1)

x x dx



có giá trị với tích phân tích phân ?

A.

cos(3x )dx



 



B.

0

3 sinxdx

 

C.

 

2

3 x x dx



D.

ln 10

x

e dx



Tính rõ phép tính tích phân để tìm kết (Chỉ tính đến nhận kết dừng lại):



ln 10

ln 10 2ln 10

2

0

1

2 2

x

x e e

e dx   



,



3 0

3 sinxdx 3cosx



 



,



 

2

0

3

0

2 8 4

3

3 3

3 x x

x x dx   x    

 



,



 

0

1

cos(3 ) sin(3 ) sin s

3 in

x dx x



    

   



Vậy chọn ln 10

2

x

e dx



quả

3 ln 10

2

0

( 1) x

x x dx e dx

 

3

0

( 1) sin

x x dx xdx



 

   32

 

3

2

3

( 1)

x x dx x x dx

(62)

3

0

( 1) cos(3 )

x x dx x dx



  

  92

Vậy chọn ln 10

2

x

e dx



A. Với hàm số f liên tục đoạn [ 3;3] , có

3

( )

f x dx







B. Với hàm số f liên tục , ta có

( ) ( ) ( )

b a

a b

 

C. Nếu hàm số f liên tục đoạn a b;  , cho

( )

b

a

f x dx



( )

f x   x [ ; ]a b

 3

5

2

1

( ) ( )

3

f x

f x dx



Vì d x( ) ( 1)  dx nên ( ) ( ) ( )( 1) ( ) ( )

b a a a

a b b b

f x dx f x dx f x  dx f x d x

   

1

0

( ) ( )

f x dx f x dx





 

B. Nếu

0

1

( ) ( )

f x dx f x dx





 

C. Nếu

1

( )

f x dx



 

D. Nếu

1

( )

f x dx



 

 Hàm số

3

2 x y x 

thỏa

0

1

( ) ( )

f x dx f x dx





 

1

( )

f x dx



 

(63)

 Hàm số

2

3 y x 

thỏa

1

( )

f x dx



 

, làm hàm chẵn

[ 1;1] .

 Cịn f hàm chẵn  f x( )f(x) với x .

Đặt tx dtdx suy ra

1 1

0 0

1

0

( ) ( )( 1) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x dx f x dx f x d x

f x d x f t dt f t dt



  



 

    

  

sinx

y x 

2

sinx dx x



có giá trị

A. F(2) F(1) B. F(1). C. F( )2 . D. F(2)F(1).

Áp dụng công thức ( ) ( ) ( ) b

a

f x dx F b  F a



, F nguyên

hàm f đoạn [ ; ]a b , ta có

2) (1) sin

(

x

dx F

x   F



b

a

f x dx



tích phân 2

(2 ) b

a

f x dx



có giá trị

A.  . B. 2 . C.



D. 4 .

[Phương pháp tự luận] Đăt t2x dt2dx và

x a 2 b 2

t a b

Vậy

2

1

(2 ) (2 )2 ( )

2 2

b b b

a a a

f x dx f x dx f t dt

  

(64)

Phương pháp tự luận tốt cả, học sinh khơng nắm rõ, thay f hàm số đơn giản, xác định

[0;1] tính tốn

Ví dụ f x( )x với x[0;1] Khi

1

0

1 ( )

2 f x dx xdx    

suy

1/2 1/2

0

1

(2 )

4

f x dx xdx 

 

sinx

y x 

2

sin 3x dx x



có giá trị

A. F(6) F(3) B. 3F(6) F(3) . C. 3F(2) F(1) . D. F(2) F(1).

Hướng dẫn giải Đăt t3x dt 3dx và

x 1 2

t 3 6

Vậy

2

1

sin sin sin

3 (6) (3)

3

x x t

dx dx dt F F

x  x  t  

  

0

( )

f x dx



Giá trị

(2sin ) cos

f x xdx





A. 3 B. 6. C. 3. D. 6.

Đăt t2sinx dt2 cosxdx và

x 0  2

t 0

Vậy

2 2

0 0

( )

(2sin ) cos ( )

2

f t

f x xdx dt f t dt



  

  

ln 1ln

e

x x

I dx

x  

1 dt dx

x 

(65)

t

II

 

2

1

ln 1ln

1

e

x x

I dx t t dt

x 

  

III

 

2

5

1

2

1

I t t dt t

t

 

      

 



Bước III sai Phép tính

   

2

5

1

2

1

5 15

I  t t dt t  t   

 



3

sin cos

x

I dx

x



  

A.

1

2

t

I dt

t

  

B.

4

2

t

I dt

t



  

C.

1

2

t

I dt

t

  

D.

4

2

t

I dt

t



  

Ta có tcosx dt sinxdx Khi x0 t1, x  

1 t

Vậy

3

0

1

0 12

sin 2sin cos 2

1 cos cos 1

x x x t t

I dx dx dt dt

x x t t

 

   

   

   

Câu 64. Cho hàm số yf x( ) liên tục đoạn [ ; ]a b Trong

các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức luôn đúng?

A.   ( )

b b

a a

 

B.

( ) ( )

b b

a a

 

C.

( ) ( )

b b

a a

 

D.   ( )

b b

a a

 

1

(1 x dx)x

 



B.

1

0

 

(66)

C.

2

0

sin sin

x

dx xdx

 



 

D.

1 2017

2 (1 )

2019

x x dx



  

[Cách 1: Tính trực tiếp tích phân]

 Đặt

1

0

1 sin(1 ) sin sin

t  x dtdx   x dx tdt tdt

 Đặt

2

0

1

sin 2sin

2 2

x x

t dt dx dx tdt

 

     



1

1 2018 2019 2018 2019 2018 2019

2017

1

1 ( 1) ( 1)

(1 )

2018 2019 2018 2019 2018 2019 2019

x x

x x dx

 

       

         

     



Vậy

(1 x dx)x

 



sai

[Cách 2: Nhận xét tích phân]

Ta thấy (1x)x1 với x[0;1] nên

1

0

(1 x dx)x 1dx

 



 

, “

0

(1 x dx)x

 



” khẳng định sai

[Cách 3: Phương pháp trắc nghiệm]

quả

0

(1 x dx)x



 0

1

0

sin(1 x dx)  sinxdx

 

2

0

sin sin

x

dx xdx

 



 

1 2017

2 (1 )

2019

x x dx



 



suy

(1 )x

x dx

 



khẳng định sai

(67)

A.

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

B.

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

C.

2

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

D.

2

( )

f x dx



 

Với hàm số f số thực dương a, ta ln nằm lịng 2

tính chất sau đây:

 Nếu f hàm số lẻ đoạn [- ; ]a a

( )

a

f x dx







,

 Nếu f hàm số chẵn đoạn [- ; ]a a

( ) ( )

a a

a

f x dx f x dx





 

Vậy ta chọn

2

( )

f x dx



 

Nếu học sinh khơng nắm rõ hai tính chất kể trên, thay f hàm số đơn giản, xác định [ 2; 2] tính tốn Ví

dụ f x( )x với x [ 2; 2] Khi



2

( )

f x dx



 

, 

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

,



2

( ) ( )

f x dx f x dx

 



 

, 

2

) ( )

(

f x dx f x dx





 

Vậy chọn

2

( )

f x dx



 

1

2

( 1)

I x dx



 

II Từ suy 2( 1)

dt dt

dx dx

x   t  Bảng giá trị

x 2 1

t

III Vậy

4

1

2

1

2

1

( 1)

3

2

t

I x dx dt t

t



    

(68)

A. Sai Bước III B. Sai từ Bước II C. Sai từ

Bước I D. Bài giải

Khi đặt t(x1)2 với   2 x 1 khơng suy t  x 1 được, x1 bị âm   2 x 1.

Bà

1

x

e xdx

  

2

1

0

2

1

2 2

x

x x e e

e xdx e d x   

 

2

1

2dx

x  x

  

1 1

2

0

1

ln ln ln

2dx x x

x  x      



3

sin cosx xdx

 

; x t1 Vậy

1

2

1

0

2

sin cos sin cos

3

  



   

  

4

1 (4 ) ln e

e x

dx x

  

   

1

2

1 (4 ) ln

1 (4 ) ln ln (4 ) ln

e e

e

e x

dx e x d x

x

x e x e

 

  

 

     

 

A. 7,5 điểm B. 2,5 điểm C. 5,0 điểm D. 10,0 điểm Hướng dẫn giải

Bài toán giải sai Cách giải

1

2

0

1 1 2

ln ln

2 ( 1)( 2) 3

x

dx dx

x x x x x



  

    

 

Bài toán kết đúng, cách tính ngun hàm sai hồn tồn Cách tính là:

   

1

1 (4 ) ln

1 (4 ) ln ln ln (2 ) ln

e e x e e

dx e x d x x e x e

x

 

 

        

(69)

[Kinh nghiệm]

Kết chưa giải

Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn [ ; ]a b Đẳng thức sau luôn đúng?

A. ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

B. ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

C.  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

D. ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

 

0

x

I xe dx





có giá trị A. 2e2 1

  B 3e21 C. e21 D. e21

Sử dụng tích phân phần, ta

         

0

0 0 0 0 0

2

2 2

1

x

x x x x x x x

I xe dx

xd e xe e dx xe e dx xe e e

 

      

   

  



 

          

 



  

2 x

xe dx

 hình bên, thu kết hình bên Loại đáp án 3e2 1

 Sau thử

từng đáp án cịn lại để tìm kết

Câu 71. Ta biết cơng thức tích phân phần

 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

b a

a a

F x g x dx F x G x  f x G x dx

 

, F G nguyên

(70)

A.

 

2

1

ln ln

2

e

e e

x

x xdx x  xdx

 

 

, F x( ) ln x, g x( )x

B.

 

1

0

x x x

xe dx xe  e dx

 

, F x( )x, g x( )ex.

C

 0

0

sin cos cos

x xdx x x  xdx

 

 

 

, F x( )x, g x( ) sin x.

D.

1 1

1

0

1

0

2

ln ln

x x

x

x dx x dx

 

  

    

 

, F x( )x, g x( ) 2 x1

cos x x dx



  

    



có giá trị A.

  2

2  

B

 2 2   

C.

  2  

D.

 2 2   

Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta có

 

0

cos sin sin sin cos

4 4 4

2

cos cos

2 4

5

2

x x dx x x x dx x

 

    



   

   

         

       

           

           

         

   



 

cos x x dx



  

    



hình bên, thu kết hình bên Loại đáp án dương

  2  

  2 

Sau thử đáp án cịn lại để tìm kết

là F G đoạn [0;2] Biết F(0) 0 , F(2) 1 , G(0)2,

(2) G 

2

( ) ( )

F x g x dx



Tích phân

( ) ( ) f x G x dx



có giá trị

A 3. B 0. C 2 D. 4

(71)

 

2 2

2

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2)

( ) (2) (2) (0) (0) ( ) ( )

1

f x G x dx F x G x F x g x dx F G F G F x g x dx

 

    

    

  

là F G đoạn [1; 2] Biết F(1) 1 , F(2) 4 ,

3 (1)

2 G 

,

(2) G 

2

67 ( ) ( )

12

f x G x dx



Tích phân

( ) ( )

F x g x dx



có giá trị

A. 11

12 B.

145 12 

C.

11 12 

D

145

12 .

 

2 2

2

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) (2

3 67 11 12

) (1) (1

1

) ( ) ( )

4

2

F x g x dx F x G x  f x G x dx F G  F G  f x G x dx      

  

Câu 75. Cho hai số thực a b thỏa mãn a b sin

b

a

x xdx



, đồng

thời acosa0 bcosb Tích phân cos

b

a

xdx



có giá trị A.

145

12 . B . C . D 0

   

sin cos cos cos cos sin

cos cos 0

b b b b

b b

a a

a a a a

x xdx x x xdx xdx x x x xdx b b a a   

    

      

   

Câu 76. Cho tích phân:

1 ln

e

x

I dx

x  

.Đặt u ln x.Khi I bằng

A

2

I u du

B

0

I u du

C.

0 2

u

I  du

D

2

I u du

Đặt u ln x u2  1 lnx dx

udu x

 

Với x 1 u1,x e  u0

Khi

2

I u du

(72)

Bước 1: Bấm máy tính để tính 1

1 ln

e

x dx x 



Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A. Bước 3: Bấm

0

A  u du

   Vậy đáp án A. Câu 77. Tích phân

2

1 7x 12

x

I dx

x



  

có giá trị

A 5ln 6ln 3 B. ln ln 3  C 5ln ln 3  D. 25ln 16ln 3  .

Ta có  

2

2 1

16

1 16ln 9ln 25ln 16ln

4

I dx x x x

x x

 

              

 



Bấm máy tính

2

(1 25ln 16ln 3) 7x 12

x

dx

x     



được đáp số

5

I x dx

có giá trị là:

A.

19

3 . B

32

3 . C.

16

3 . D.

21

2 .

Ta có:

2

5

1

21

6

x

I x dx 

1

3 ( 1)

xdx I

x 





A.

1 

B

1

6 C.

1

8 D 12.

Ta có

2

3

1

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x x

 

 

    

 

1

2

0

1

( 1) ( 1)

8 I x  x  dx

 

      

(73)

(2 )sin

I x xdx



 

Đặt u 2 x dv, sinxdx I

bằng

A

2

0

(2 x) cosx cosxdx

 

   

B

2

0

(2 x) cosx cosxdx

 

  

C.

2

0

(2 x) cosx cosxdx

 

 

D

2

0

(2 x) cosxdx

 

 

Đặt

sin cos

u x du dx

dv xdx v x

  

 



 

 

  Vậy

2

0

(2 ) cos cos

I x x xdx

 

   

1

2 0(1 )

x dx x 



A

2

5

1 ( 1)

t dt t

 

. B

3

5

(t 1)

dt t

 

C.

2

4

1 ( 1)

t dt t

 

D

4

3 ( 1)

t dt t

 

Đặt t 1 x2 dt 2xdx

    Vậy

2

5

1

1 ( 1) 1

2 128

t

I dt

t



   

4

1 ( 1)

I dx

x x



 

A

3 ln

2. B

1

ln

3 2. C

1

ln

5 2. D.

1

ln

4 2.

Đặt t x2 dt 2xdx

   Vậy

3

1 1

ln

2

t

I dt

t t

 

     

 



Câu 83. Cho hai tích phân

2

I x dx

,

J xdx

.Tìm mối quan hệ I J

A.I J 8. B

32

5 I J 

C.

128 I J 

D

64 I J 

2

4 I x dx

2 J xdx

(74)

1

1 a

x

e dx e e

  

, a có giá trị

bằng

A 1 B. C D

Ta có

1 1

1

3

a a

x x a

e dx e  e  e e e a

       

Thế đáp án vào bấm máy

 

3

1

0 x

e dx e e

  

  

1

53,5981 x

e dx e e

 

   

 

0

1

51,8798 x

e dx e e

  

  

2

1

34,5126 x

e dx e e

   

2

x

ke dx



(với k số )có giá trị

A k e( 21). B. e2 1

 C k e( 2 e) D e2 e

Ta có

2 0

(e 1)

x x

ke dx ke  k 



Câu 86. Với số k, tích phân sau có giá trị khác với

các tích phân cịn lại ?

A

2

(e 1) k  dx



B.

2

x

ke dx



C.

2

3

3ke dxx 

D

2

x

ke dx



Ta có 

2 2

4

3 3

2

0

(e 1)

2

x k x k

ke dx e  





2 0

(e 1)

x x

ke dx ke  k 





2

3 3

0

3 x x (e 1)

ke dx ke k 





1

2 2

0

(e 1) (e 1) (e 1)

k  dx kx  k 



Câu 87. Với số thực k, xét phát biểu sau:

(I)

1

2

dx



 

; (II)

1

2

kdx k



 

; (III)

1

2

xdx x



 

; (IV)

2

3kx dx2k



(75)

A B. C. D Hướng dẫn giải

(III): sai

5

( )

f x dx



( )

g x dx



 

5

( ) ( ) 19

g x  kf x dx



Giá trị k là:

A 2. B 6. C. D 2

Ta có  

5 5

1 1

( ) ( ) 19 ( ) ( ) 19

g x  kf x dx  g x dx k f x dx 

    5 k719 k2.

Câu 89. Cho hàm số f liên tục  Nếu

5

2 ( )f x dx2 

1

( )

f x dx



( ) f x dx



có giá trị bằng:

A 5. B. 6 C 9. D 9.

Ta có

5 5

3 1

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx  

    

2

( )

f x dx



tích phân  

2

( )

kx f x dx 



giá trị k bằng

A 7. B

5

2. C 5. D

Ta có  

2 2

1 1

3

( ) ( )

2

kx f x dx   k xdx f x dx k    k

  

(2 5) ln e

x xdx



A

2

1

( ) ln ( 5) e e

x x x x dx

    

. B

2

1

( ) ln ( 5) e e

x  x x x dx

.

C

2

1

( ) ln ( 5) e e

x  x x  x dx

. D

2

1

( 5) ln ( ) e

e

x x  x  x dx

(76)

Đặt

ln (2 5)

u x

dv x dx

  

 



1 du dx

x v x x 

   

  

 Vậy

2

1

(2 5) ln ( ) ln ( 5)

e e

e

x xdx x  x x  x dx

 

2

I cos xcos 2xdx





có giá trị A

5  

B



C

3



D



2 2

2

0 0

2

1

cos cos (1 cos ) cos (1 2cos cos )

2

1

( sin sin )

4

I x xdx x xdx x x dx

x x x

  



     

   

  

Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE

Bấm máy

2

cos cos

8

I x xdx



  

Vậy đáp án 

3

4sin cos

x

I dx

x



 

 có giá trị bằng

A B C D

3

2

4sin 4sin (1 cos )

4sin 4sin cos 4sin 2sin cos sin

x x x

x x x x x

x x



    



2

0 (4sin 2sin )

I x x dx



   

Chuyển chế độ radian: SHIFT MODE Bấm máy tính

3

4sin

2 cos

x dx x



  

 Vậy đáp án 2.

2

1 sin

I xdx



 

có giá trị

A 2. B 3 2. C. 2. D 

(77)

2

2 2

0 0

3

2

3

2

sin cos sin cos sin

2 2 2

2 sin sin

2 4

x x x x x

I dx dx dx

x x

dx dx

  



 

   

         

   

 

   

 

          

   

 

 

  

 

Bấm máy tính

0

1 sin

I xdx



  

được đáp số Vậy đáp án 2.

3

sin tan

I x xdx





có giá trị A

3 ln

5 

B ln 2 C

3 ln

4 

D

3 ln

8 

Ta có

2

3

2

0

sin (1 cos ) sin

sin

cos cos

x x x

I x dx dx

x x

 



 

Đặt tcosx

1 2

1

ln

u

I du

u



   

Bấm máy tính

2

3

sin tan ln

8 I x xdx



 

    

 



được đáp số Vậy đáp án

3 ln

8 

Câu 96. Cho hàm số f(x) liên tục  f x( ) f(x) cos x với

mọi x Giá trị tích phân

2

( )

I f x dx



 



A 2 B

3 16



. C

3 ln

4 

D

3 ln

5 

(78)

Đặt

2 2

( ) ( )( ) ( ) ( )

x t f x dx f t dt f t dt f x dx

   



 

         

 

2 2

4

2 2

2 f x dx( ) f x( ) f( x dx) cos xdx

  

 



     

3 16 I   

Bấm máy tính

4

3 cos

16

xdx





 

đáp số Vậy đáp án

3 16



Câu 97. Nếu

 

0

2

5 ex dx K e



   

giá trị K là:

A 11 B 9. C 7. D 12,5.

   

0 0

2

5 x x 11

K e dx e x e e

 

      

2

1 3cos sin

I x xdx



 

.Đặt u 3cosx1.Khi I

bằng

A

2

3u du. B.

2

3u du. C.

2

1

2

9u . D

3

u du



Đăt ̣ u 3cosx1 2udu3sinxdx Khi x u 2; x u 

     

.

Khi đó

2

1

2

3

I  u du u

8ln

e

x

I dx

x  

bằng

A 2 B

13

6 . C

3 ln

4 

D

3 ln

5 

(79)

Đặt

4

8ln

t x tdt dx x

   

Với x 1 t1, x e  t 3 Vậy

3

1

2

1 13

4 12

t

I  t dt  

Bấm máy tính

8ln

e

x

I dx

x  

đáp số

13

6 Vậy đáp án 13

6 .

5

2

x x dx



  

có giá trị

A B

64

3 C 7. D 12,5

   

3

2

5 5

2 2

1 1

3

1

2 ( 3)( 1) 3

64

3 3 3

x x dx x x dx x x dx x x

x x

dx

x x

  



     

 

    

   

       

   

   

Câu 101. Tìm a để

2

(3 ax dx) 3



?

A B 9. C 7. D. 4.

2

1

(3 ) 3

2

a

ax dx  x x  a

        

 



Câu 102. Nếu

 

5

2

5 549

k  x dx



giá trị k là:

A.2 B. C. 2 D.

 

5

2 2

2

549

5 549 549

549

4 x

k  x dx  k  x    k    k  

 



3 2

4

x x

dx x

   

A

1

6 ln

3 3. B.

1

6ln

2 3 C.

1

ln

2 3. D.

1

ln

2 3.

(80)

3

2 2

4

2 6ln 6ln

1 2

x x x

dx x dx x x

x x

 

   

           

     

 

. [Phương pháp trắc nghiệm]

Bước 1: Bấm máy tính để tính 2

4

x x

dx x

   

Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A. Bước 3: Bấm

1

6ln

2

A   

  Vậy đáp án

1

6 ln

2 3.

Câu 104. Cho hàm số f liên tục  thỏa f x( ) f(x) 2cos 2 x,

với x Giá trị tích phân

2

( )

I f x dx



 



A B 7. C 7. D 2

Ta có

0

2

0

2

( ) ( ) ( )

I f x dx f x dx f x dx

 

 

  

(1)

Tính

2

( )

I f x dx

 



Đặt x t dxdt

2

1

0

( ) ( )

I f t dt f x dx

 

   

Thay vào (1), ta

   

2 2

0 0

( ) ( ) cos 2 cos cos

I f x f x dx x x dx xdx

   

         

.

Câu 105. Tìm m để

2

4 122

(3 )

5

m

x dx

 



?

A B. 9. C 7. D.2.

2

4 5 122

(3 ) (3 ) (3 4) (3 )

10 m 10

m

A  x dx  x      m    m

4.3 TÍCH PHÂN

I VẬN DỤNG THẤP

1

2

1

I dx

x 





(81)

A 

B.



C



D.



Đặt x sin , t t 2; dx costdt

 

 

     

  Đổi cận :

1

0 0,

2

x  t x  t

Vậy

6 6

6

0 0

cos cos

0

cos 6

1 sin

t t

I dt dt dt t

t t

  

      



  

1 01

dx I

x 





AI

 

B

3 I  

C I

 

D

5 I  

Đặt

2

tan , ; (tan 1)

2

x t t     dx x dt

  .

Đổi cận x t 0, x t       

, suy

2

4

2

0

tan

1 tan

t

I dt dt

t

 

 

  



 

3

0 2

dx I

x x





  

A

5 12 I  

B.I

 

C

3 12 I  

D I 12

 

3

2

0 2 ( 1)

dx dx

I

x x x

 

 

   

 

Đặt x 1 tant

1

5 I x x  dx

có giá trị A

4 10

6

3  . B

4 10

7

3  . C

4 10

6

3  . D

2 10

6

3  .

Hướng dẫn giải Ta có t x3 5 dt 3x dx2

    Khi x0 t5; x1 t6

Vậy

 

1 1

1 6 1 2

2 2

0 5

6

1 ( ) 10

5

1 5

3 3 1 9

2

dt t

I x x dx t t dt t t



       



  

2

4 x dx



(82)

A 

B



C.3



D .

Đặt x 2sin ,t t 2;

 

 

   

  Khi x = t = Khi x2 t  

Từ x2sint dx2costdt

Vậy

2 2

0 0

4 x dx 4sin 2cost tdt cos tdt

 



    

  

1

1 I x x  dx

có giá trị A

3



B

2



C

2 2



D

3 2



Đặt

2 2 2

1 1 tdt

t x t x x t dx

x          

Vậy

2

2 2

3

t

I t dt  

0

1

I x x dx



 

có giá trị

A

9 28 

B

3 28 

C

3

28. D

9

28.

Đặt t3 x 1 t3   x dx3t dt2

Vậy  

1

3

1

3

0

7 28

t t

I  t t  dt    

  

1

0

2

( 1)

x dx I

x x 

 



A

16 10 

B

16 11 

C

16 10 

D

16 11 

Đặt t x 1 t2   x 2tdt dx

Ta có

 2

2

3

1

1 1 1 2 16 11 2

.2 2

3

t t

I tdt t dt t

t t t

     

          

   

(83)

1

6

5

0

1

I x  x dx

A

1

167. B

1

168. C

1

166. D

1

165.

Đặt

3

2

1

3 dt t x dt x dx dx

x       

, ta có

   

1

6

0

1 1

1

3 3 168

t t

I  t  t dt t  t dt   

 

 

3

2

1 x x

I dx

x   





A

53

5 . B

54

5 . C.

52

5 . D.

51

5 .

Đặt x  1 t x t  2 dx2tdt Khi x = Þ t = 1, x = Þ t =

Vậy

   

 

2

4

1

2 1 4 128 4 54

2 2 16

5 5

t t t

I tdt t t dt t

t

     

          

 

 

1

3

x

I dx

x

 

 

A 2



 

B 2



 

C 3



 

D



 

Đặt

3

2

1

3

8

1 ( 1)

x t dt

t I

x t



  

   ; đặt ttan u ĐS: I 3 

  

Chú ý: Phân tích

3

x

I dx

x

 

 

, đặt t 1x tính nhanh hơn.

5

2x1 dx



A

1 30

3. B

1 60

3. C

2 60

3. D

2 30

3.

(84)

Ta có: 2 du du dx dx

Do đó:  

1

5

0

3

1

2 (3 1) 60

1

2 12 12

u

x dx u du   

 

2

4

1 x

dx x x

  



A ln 2. B ln 3. C 2ln 2. D 2ln 3.

Hướng dẫn giải Đặt u x2 x 1

   Khi x0 thìu1 Khi x1 thìu3.

Ta có: du(2x1)dx

Do đó:

1

2

0

3

4 2

2 ln | | 2(ln ln1) ln

1

x du

dx u

x x u



    

 

 

2

2 1(2 1)

dx x 

A

1

2. B

1

3. C

1

4. D.

2

3.

Đặt u2x1 Khi x1thì u1 Khi x2 u3.

Ta có 2

du du dx dx

Do

2

1

3

1 1 1

( 1)

(2 1) 2 3

dx du

x  u  u   

 

Câu 120. Giá trị tích phân

3

x

dx x x

   



là

A

3 3ln

2 

. B

3 ln

2 

. B

3 6ln

2  

. D

3 3ln

2  

. Hướng dẫn giải

Đặt u x 1 u21 x 2udu dx ; đổi cận:

0

3

x u

   



   

Ta có

 

3 2

2

0 1

2

1

3

(2 6)

3

3 6ln 6ln

2

x u u

dx du u du du

u u u

x x

u u u

 

   

  

     

(85)

Câu 121. Giá trị tích phân: I  

4

2

1 1

x

dx x

 

  

là A

1 2ln

2 

B

1 ln

3 

C

1 2ln

4 

D

1 ln

2 

Đặt 1 2 ( 1)

dx

t x dt dx t dt

x

       



2 2

2

t t

x 

Đổi cận:

x

t

Ta có

4 4

2 2

2

1 ( 2)( 1) 4

3

2 2

1

3 ln 2ln

2

t t t t t t

I dt dt t dt

t t t t

t

t t

t

       

       

 

 

       

 

  

   

99

101

7

x

I dx

x

 

 

là

A

100

1

2

900  . B.

101

1

2

900   . C

99

1

2

900   . D

98

1

2

900   .

   

99 99 100

1

100

0

1

7 1 7 1 1

2

2 2 100 900

x dx x x x

I d

x x x x x

   

       

            

   

        

 

2 2001 1002 (1 )

x

I dx

x

  

có giá trị

A 1001

1

2002.2 . B 1001

1

2001.2 . C 1002

1

2001.2 . D 1002

1

2002.2 .

2 2004

1002 1002

1

2

1

(1 )

1

x

I dx dx

x x

 

  

    

 

Đặt

1

t dt dx

x x

   

3

2 cos(3 )

3

x dx



  

A

3 

B

2 

C

2 3 

D

2 

(86)

Đặt

2

3 u x 

Khi x  

u  

,

2 x 

4 u 

Ta có 3

du du dx dx

Do đó:

2 4

3 3

3

2 1 3

cos(3 ) cos sin sin sin

3 3 3 3 2

x dx udu u

  



 

      

         

   

 

2

I cos xcos 2xdx





A



B



C



D



2 2

2

0 0

/2

1

cos cos (1 cos ) cos (1 2cos cos )

2

1

( sin sin ) |

4

I x xdx x xdx x x dx

x x x

  

 

     

   

  

sin cos

x x

I dx

x



  

A

2

2 

B

2

6 

C

2

8 

D

2

4 

 

2

0

2

0

sin sin

1 cos cos

sin (cos )

2

1 cos cos 4

t t t

x t dx dt I dt dt I

t t

t d t

I dt I

t t

 



 

  



       

 

 

       

   

 

2

sin cos

J x xdx



 

A

2

5. B

3

5. C.

4

5. D

6

5.

 

2 2

4

0

1

sin cos sin sin

5

J x xdx x x

 

 

     

 

(87)

2

4

sin cos sin

x x

I dx

x



 

 

A

3 ln

2 . B

1 ln

2 . C ln 2. D

1 ln

2 .

Đặt t sin 2 x t2  1 sin 2x 2tdt2cos 2xdx

 

2

1

ln ln( 2) ln

cos sinx

tdt

dx I dt t

t x t

      

 

sin 3cos

x

I dx

x



 



A

2 ln

3 . B

2 ln

3 . C

1 ln

3 . D

1 ln

3 .

Đặt

4

ln

1 1

1 3cos 3sin ln

3sin 3

t dt

t x dt xdx dx I dt

x t



          

6

1

2 cos sin cos

I    x x xdx

A

21

91. B

12

91. C

21

19. D

12

19.

Đặtt61 cos3x  t6  1 cos3x 6t dt5 3cos2 xsinxdx

 

1

5 13

6

2

0

1

2 12

2

0

cos sin 13 91

t dt t t

dx I t t dt

x x

 

         

  

4

3

cos

(sin cos )

x

I dx

x x









A

1

8. B

3

8. C

5

8. D

7

8.

4

3

0

cos

(sin cos ) (tan 1) cos

x

I dx d

x x x x x

 

 

 

 

Đặt ttanx1

Câu 132. Giá trị tích phân I =

2

3

sin

(sin + cos ) xdx

x x

 

(88)

A

1

4. B

1

3. C

1

2. D

1

6.

Đặt: x u   

dxdu Đổi cận: x= u =

 

; x = 

 u =

Vậy

 

2

3

0

sin cos

2

sin cos

2

u du xdx

I

x x

u u

  

 

      

 

     

  

   

 

   

 

 

Vậy: 2I =  

2

0

sin + cos

(sin + cos ) sin + cos

x x dx

dx

x x

 



 

=

2

tan

4 1

2

2 os

4

x dx

c x

 

      

 

       

4

0

cos sin

I x xdx





A I 32  

B I 16

 

C I

 

D I

 

2

4 2

0

1

cos sin cos sin

4

I x xdx x xdx

 

  

2

0

1

(1 cos ) cos sin

16 x dx x xdx

 

    

3

0

1 sin

sin

16 64 24 32

x x

x



 

    

 

2

4 6

0

(sin cos )(sin cos )

I x x x x dx



  

A

32 128 I  

. B

33 128 I  

C

31 128 I  

. D

30 128 I  

. Hướng dẫn giải

Ta có: (sin4xcos )(sin4x 6xcos )6x

33

cos cos8

64 16 x 64 x

  



33 128 I  

4

6

0

sin

sin cos

x

I dx

x x









(89)

A

4

3. B

1

3. C.

2

3. D

5

3.

2

sin sin

4 x I dx x     Đặt

1 sin

4

t  x

 I =

2 t dt

        = 1 4

3 t 3

Câu 136. Giá trị tích phân 0sin

xdx I x     A I

 

B.I

 

C I

 

D I .

Đặt: x   t dxdt Đổi cận: x 0 t , x   t 0

0

( )

sin( ) sin sin

t dt t

I dt

t t t

                     

0sin sin0

dt dt I I t t             2 0

2 4 cos

sin cos 2 dt dt t t t                        0

2 tan

2 cos 2

2 t d t t                                 

Tổng quát: 0

(sin ) (sin )

2

xf x dx f x dx

 

 

 

.

2007 2007 2007 sin sin cos x I dx x x     A I

 

B I

 

C

3 I  

D

5 I  

Đặt x t dx dt 

   

Đổi cận x t 2, x t  

     

Vậy 2007

0 2007

2007 2007

2007 2007 0

2 sin cos sin cos sin cos 2 t t

I dx dx J

t t t t                                  (1) Mặt khác 2

I J dx



   

(2) Từ (1) (2) suy I  

(90)

Tổng quát:

2

0

sin cos

,

sin cos sin cos

n n

n n n n

x x

dx dx n

x x x x

 

 

  

 

  Z

2 11

cos xdx

 

A

250

693. B

254

693. C

252

693. D

256

693.

11

10!! 2.4.6.8.10 256

cos

11!! 1.3.5.7.9.11 693 xdx



  



2 10

sin xdx

 

A

67 512



B

61 512



C

63 512



D

65 512



2 10

9!! 1.3.5.7.9 63

sin

10!! 2.4.6.8.10 512

xdx



  

  



Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm):

2

0

( 1)!! , !! cos sin

( 1)!! , !!

n n

xdx xdx

n n

 

    

 

   

 

neáu n lẻ n chẵn

Trong đó: n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn

Chẳng hạn:

0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;     

6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10     .

1 01

x

dx I

e 





A

2 ln

1 e e    



  B ln e e    



  C 2ln e e    



  D

2 ln

1 e e    

  

Vì

 

1

0

1

1 ln 1 ln(1 ) ln ln

0

1 1

x x

x

x x x

d e

e e

I dx e e

e e e e

  

              

(91)

ln

x

e dx I

e



 

A

5

3. B

10

3 . C

20

3 . D

2

3.

Đặt  

2

1

2

2 20

1 2

1

3

x x

x

tdt t

t e t e dx I t dt t

e

                

  

ln

1

x

I  e  dx

A

4

 

B

4

 

C

5

 

D

5

 

Đặt

2

1

x x x

x

tdt tdt t e t e tdt e dx dx

e t          



1

2

0

2

1

t

I dt dt

t t

 

 

      

   

 

ln

3

0

x

e

I dx

e



 

A 2 1 B 1 C 2 D 2 2

Đặt

2

3

2

1 2 2

2

x x x

x

tdt tdt t e t e tdt e dx dx I

e t t

              

ln e

e

dx I

x x



A 2ln 3. B ln 3. C ln 2 D 2ln 2.

Đặt tlnx; x e  t1, x e 2 t 2

2

2 1

ln ln

dt

I t

t

   

ln

ln 2

x

x x

e dx I

e e



   

A.2ln 1 B 2ln3 – C.ln 1 . D ln 1

(92)

I = 2 ( 2) t tdt t t     = 2

( )

1 t t dt t t       =

(t1)dt

 + 2 ( 1) d t t

t t      =

(t  2 ) 0t

+ 2ln(t2 + t + 1)

1

0 = 2ln3 –

Câu 146. Cho

ln

3

0

2

1

x x x x x

e e

M dx

e e e   

  



Giá trị eM A

7

4. B

9

4. C

11

4 . D

5

4.

 

ln ln 3

3

0

ln ln 2

ln 0 3

2 ( 1)

1

3 11 11

1 ln ln

1 4

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x

M x x x

x x x

e e e e e e e e

M dx dx

e e e e e e

e e e

dx e x e

e e e e e

                                        Câu 147.

ln ln

e x x

I dx x   A

3 5

3

8   B

3

8   . C

3

8   . D

3

3 4

3

8  .

     

 

1

3

2 2

3 3

1 1

4

2 4

3

1

ln ln

ln ln ln ln ln

2

3

ln

8

e e e

e

x x

I dx x xd x x d x

x x                  

Câu 148. Giá trị tích phân ln(1 ) x I dx x     A I 8ln

 

B I 4ln  

C I 8ln  

D I 8ln  

Đặt xtant dx (1 tan )2t dt Đổi biến: x t 0, x t 4          4 2 0

ln(1 tan )

1 tan ln(1 tan )

1 tan t

I t dt t dt

t            Đặt t u dt du



   

; Đổi cận: t u 4, t u         4

ln(1 tan ) ln tan

I t dt u du

(93)

4

0

1 tan

ln ln

1 tan tan

u

du du

u u

 



   

      

 

   

   

4

0

ln ln tan ln

4

du u du I

 



     

Vậy I 8ln

 

Câu 149. Cho hàm số f(x) liên tục  thỏa f(x) ( ) cos f x  x

2

( )

I f x dx



 



A

1 I 

B

4 I 

C

2 I 

D I 1

Xét tích phân

2

( )

J f x dx



 

 

Đặt x t dxdt

Đổi cận: x t 2, x t

   

     

Suy ra:

2 2

( ) ( ) ( )

J f x dx f t dt f t dt I

  



 

     

Do đó:

 

2 2

0

2

3I J 2I f( x) ( )f x dx cosxdx cosxdx

  

 

 

        

Vậy

2 I 

II VẬN DỤNG CAO

Câu 150. Tìm hai số thực A B, cho f x( )Asinx B , biết

'(1) f  và

2

( )

f x dx



A.

2 A B

    

 

 . B

2 A B

    

 

 . C.

2 A B

    

 

 . D

2 A B

 

    

 .

( ) sin '( ) cos '(1) cos

 



   

    

f x A x B f x A x

(94)

2

0

( ) ( sin ) Acos 2 Acos

f x dx A x B dx  B B

 

          

 

Câu 151. Giá trị a để đẳng thức

2

1

(4 )

a a x x dx xdx

     

 

 

đẳng thức

A. B. C. D.

2 2

1

12a (4 ) a x4x dx a x(2 ) a x x   a3

( 0) a dx

I a

x a

 

 

A.4a 

B.

2

4a



C.

2

4a

 

D.

 

a.

Đặt

2

tan ; ; (1 tan )

2

x a t t    dx a  t dt

  Đổi cận

0

4     

 

   



x t

x a t

Vậy

2

4

2 2

0

(1 tan )

tan

a t

I dt dt

a t a a a

 

 

  



 

3

cos cos

x

I dx

x



 



A.4 

B.2



C.

4 

D.

 

Đặt tsinx dt cosxdx Đổi cận :

0

3

    

 

   



x t

Vậy

3

3 2

2

0 0

cos

2 cos 3 2

2

x dt dt

I dx

x t

t



  

 



  

Đặt

3

cos sin

2

t u  dt udu

Đổi cận :

2

t u

  

   

 

    

(95)

 

3 2

2

0

4

3sin

1 2 1

2 3 2

1 cos

2

udu dt

I du u

t u



 



    

 

  

Câu 154. Cho

1

x

dt I

t 





Tích phân sau có giá trị với giá trị tích phân cho

A. 11

  

x

dt

t . B.

11 x

dt t

 

C.

1 11  x dt

t . D.

1 11

 

 x dt

t .

Đặt

1 1

u t dt du

t u u

    

Đổi cận

1

; 1

t x u t u x

     

1

1 2 1

2 2 2

1 1

2

1

1 1 1 1



    

    



     

x x

du

dt u du du dt dt

t u u t t

u

2

1

ln(sin ) sin

I x dx

x





A ln 3



  

B. ln 3

  

C. ln 3



  

D. ln 3



  

2

ln(sin ) cot

1

cot sin

   

 

  

 

u x du xdx

dv dx v x

x

2

6

2 6

1

ln(sin ) cot ln(sin ) cot sin

1

3 ln cot ln

2

I x dx x x xdx

x

x x

 

   



  

 

      

 

 

Câu 156. Giá trị tích phân  

2

min 1, 

I x dx

A.4. B.

3

4 C.

4

3. D.

3 

(96)

Xét hiệu số 1 x2

 đoạn [0; 2] để tìm  

2

min 1,x

Vậy  

2

1

0

4

min 1,

3

x

I  x dxx dxdx x 

8







 dx

I dx

x x là A.

2 ln

3. B.2. C. ln D.2ln

Đặt t 1 x x 1 t2 dx2tdt Đổi cận

8

3

   



   

x t

Vậy    

3

3 3

2

8 2

2

2 ln ln

1

dx tdt tdt dt t

I dx

t t

t t t t

x x



 

     

 



   

Câu 158. Biết

3

2ln

ln 2 a x x

I dx

x



  

Giá trị của a là

A. B ln 2. C  . D. 3.

2

1 1

2

2ln ln

ln 2 ln

2

1 1

2 ln ln 2

2 2

a a a

x x x

I dx xdx dx

x x

a

a a



      

   

         

 

  

HD casio: Nhập

2

2 ln

ln 2

x x

dx x



   

nên a2.

Câu 159. Cho

2

0

cos 3sin

I x x dx



 

,

2

0

sin

(sin 2)

x

I dx

x









Khẳng định sau sai ?

A.

14 I 

B.I1 I2 B.

3 2ln

2 I  

D.

3 2 ln

2 I  

4

1

0

3

2 2

0

14 cos 3sin

3

sin 2

2 ln

(sin 2)

t

I x x dx dt

x

I dx dt

x t t



   

 

      

  

 

(97)

Câu 160. Tất giá trị tham số m thỏa mãn

 

0

2

m

x dx



A. m1,m6. B. m1,m6. C. m1,m6. D. m1,m6.

  2

0

2 ( ) 6 1,

m

x dx  x  x   m  m   m m



Hướng dẫn casio: Thay m1 m6 vào thấy thỏa mãn. Câu 161. Cho hàm số

sin ( )

(2 sin )

x h x

x



 Tìm để

cos cos ( )

(2 sin ) sin

a x b x

h x

x x

 

  và

tính

( ) I h x dx



 I=

−π

h(x)dx

A

2

4, 2; 2ln

3

a b I  

B.

2

4, 2; 2ln

3

a b I  

C

1

2, 4; ln

3

a b I  

D.

1

2, 4; ln

3

a b I  

Sử dụng đồng thức, ta thấy

2 2

4

cos cos cos cos (2 sin ) sin

( )

2 (2 sin ) sin (2 sin ) (2 sin )

2

b

a

a x b x a x b x x x

h x

b

x x x x

a b





 

  

       



      

 

Vậy

2 2

2

0

4cos 2cos

( ) 2ln sin

(2 sin ) sin sin

x x

h x dx dx x

x x x



 

    

        

    

 

 

4

2ln 2ln 2 ln

3

     

Câu 162. Giá trị trung bình hàm số yf x  a b;  , kí hiệu

 

m f tính theo cơng thức    

1 b

a

m f f x dx b a



  Giá trị

trung bình hàm số f x sinx 0; A.

4

 B.

3

 . C.

1

 . D.

2  .

 

0

1

sin

0

m f xdx



 

 

(98)

Câu 163. Cho ba tích phân 03

dx I

x 





,  

4

0

sin cos

J x x dx



 

 

2

3

K x x dx



  

Tích phân có giá trị

21

2 ?

A. K B. I C. J D. J K

Hướng dẫn giải 1

0

1

ln ln

3

dx

I x

x

   

 

   

4

0

2

sin cos cos sin

2

J x x dx x x dx

 

    

 

2

21

3

2

K x x dx



   

Câu 164. Với 0a1, giá trị tích phân sau 0 2 2 a

dx dx x x là:

A.

2 ln

2

a a



 . B.

2 ln

1 a

a 

 . C.  

2 ln

2

a a



 . D.

2 ln

2

a a

 

2

0

1 2

ln ln

3 2 1

a

a a

dx x a

dx

x x x x x a

 

 

     

       

 

Câu 165. Cho

1

4

0

4

2

( 2)

x

m dx

x

 





Khi đó giá trị 144m2 1

 bằng A.

2 

B 4 1 . C

2

3 . D

2 3 

1

4

0

( 2) 1 1

2 3

( 2) ( 2) 12

d x

m m m m

x x



          

 



.

Vậy

2

144 144

3 12

m      

 

Câu 166. Cho hàm số f liên tục đoạn [ ; ]a b có đạo hàm liên tục a b; , đồng thời thỏa mãn f a( )f b( ) Lựa chọn khẳng

định khẳng định sau

A.

( )

'( )

b

f x

a

f x e dx



B.

( )

'( )

b

f x

a

f x e dx



(99)

C.

( )

'( )

b

f x

a

f x e dx



D.

( )

'( )

b

f x

a

f x e dx



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

'( ) ( ( ))

b b

b

f x f x f x f b f a

a

a a

e f x dx e d f x e e  e 

 

Câu 167. Kết phép tính tích phân

1

dx I

x x



 

có dạng ln ln

I a b ( ,a b ) Khi a2 ab 3b2

  có giá trị

A. B. C. D.

Ta có

5 4

2

1 2

1 1

2 2ln ln

1 1

3

dx

I dt dt

t t t

x x

 

       

  

  

  

, suy a2,b1 Vậy a2 ab 3b2 4 5

     

Câu 168. Với n,n1, tích phân  

2

1 cos nsin

I x xdx



 

có giá trị A

1

2n. B.

1

n C.

1

n D n.

 

1

2 1

0

1

1 cos sin

1

n

n n t

I x xdx t dt

n n





    

 

 

Câu 169. Với n,n1, giá trị tích phân

2

sin

cos sin

n

n n

x

dx

x x







A.

 

B.



C.

3



D.

3

 

Đặt t x dx dt 

   

0

2 2

0 0

2

0

(sin ) sin (cos ) (cos )

2 sin

2

4 cos sin

n

n n

f x dx f t dt f t dt f x dx

x

dx I dx I

x x

  



 



   

        

 

    

   

(100)

2017

1 cos 2xdx







A. 3034 2 B. 4043 2. C. 3043 2. D. 4034 2 Hướng dẫn giải

Do hàm số f x( ) cos 2 x hàm liên tục tuần hoàn với chu

kì T  nên ta có

2

0 ( 1)

2

0 ( 1)

2017

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 cos 2017 cos 2017 sin 4034

  



   

     

     

   

    

  

T T T nT

T T n T

nT T T nT T

T n T

f x dx f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx f x dx f x dx n f x dx

xdx xdx xdx

1 cos

0

(1 sin ) ln

1 cos





  

 



 



x

dx

x là

A.2 ln 1 . B.2 ln 1 C.2 ln 1 D.2 ln 1

2 2

1 cos

0 0

ln(1 sin ) x ln(1 cos ) (1 cos ) ln(1 sin ) ln(1 cos )

x x dx x x dx x dx

  



         

 

  

Đặt x t dx dt 

   

Đổi cận x t 2;x t  

     

   

0

2 2

0 0

2

ln cos ln cos ln sin ln(1 sin )

I x dx t dt t dt x dx

  



   

             

 

   

2 2

0 0

(1 cos ) ln(1 sin ) ln(1 sin ) cos ln(1 sin ) 2ln

I x x dx x dx x x dx

  

          

Câu 172. Có giá trị b thỏa mãn

2

(3 12 11)

b

x  x dx



A. B. C. D.

  0

2 3

0

1

(3 12 11) 11 11

3

b

b b

x x dx x x x b b b b

b

              

    

(101)

Câu 173. Biết

6

b

dx



a

x

xe dx a



Khi biểu thức

2 3 2

b a  a  a có giá trị

A. B. C. D.

+Ta có0

6

b

dx  b



+Tính0 a

x

xe dx



Đặt x x

u x du dx

dv e dx v e

 

 



 

 

  Khi đó, 0 0

1

a

a a

x x x a a

xe dx xe  e dx e  e   a a

 

Vậy b2 a3 3a2 2a 7

    .

Câu 174. Biết 2 a

dx A x a 



,

2

b

dx B







(với a b, 0) Khi giá trị của

biểu thức B aA

b 

A.2 B.  . C. 3 . D. 4 .

+Tính 2 a

dx x a



Đặt

2

tan ; ; (1 tan )

2

t a x a    dx a  t dt

 

Đổi cận :x t 0; x a t       

Vậy

2

4

2 2

0

(1 tan )

tan

a t

dt dt

a t a a a

 

 

 



 

+Tính:

2

b

dx b



 



, suy B

Định dạng
Số trang	101
Dung lượng	13,53 MB