Một số phương pháp giải tốt bài tập tích phân trong chương trình toán thpt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐT BÀI TẬP TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT Người hướng dẫn : Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Trương Thị Lệ Trinh Lớp : 14ST Đà Nẵng,04/2018 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo cơng tác khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, người giảng dạy cung cấp kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua để tơi có tảng kiến thức thực khóa luận Đặc biệt, tơi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người tận tình bảo, giúp đỡ tơi suốt q trình thực khóa luận Cuối tơi xin cảm ơn ý kiến đóng góp, động viên, giúp đỡ nhiệt tình bạn bè q trình làm khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Trương Thị Lệ Trinh Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục tiêu đề tài .4 Nội dung nghiên cứu 4 Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục đề tài: .5 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm nguyên hàm tích phân 1.2 Các công thức nguyên hàm 1.3 Tính chất 1.4 Phƣơng pháp đổi biến số phƣơng pháp phần CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP 10 A - PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN 10 2.1 Nguyên hàm, tích phân hàm hữu tỷ 10 2.2 Nguyên hàm, tích phân hàm vô tỷ 21 2.3 Nguyên hàm, tích phân hàm lƣợng giác 26 2.4 Nguyên hàm tích phân hàm mũ hàm lôgarit 33 2.5 Diện tích hình phẳng 35 2.6 Thể tích vật thể tròn xoay .41 B – PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 43 2.7 Dạng 1: Tính tích phân 43 2.8 Dạng 2: Tìm nguyên hàm Casio .44 2.9 Dạng 3: Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) Biết F ( a ) Tìm F (b) 47 2.10 Dạng 4: Biết f ' ( x) Biết f ( a ) Tìm f (b ) .52 2.11 Dạng 5: Tìm tích phân lý thuyết 54 Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT 2.12 Dạng 6: Tích phân ẩn phƣơng pháp rút 60 2.13 Dạng 7: Tích phân ẩn phƣơng pháp mũ hóa .64 2.14 Dạng 8: Các ví dụ liên quan đến diện tích thể tích 69 Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình toán THPT MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép tính tích phân chiếm vị trí quan trọng tốn học Tích phân ứng dụng rộng rãi tính diện tích mặt phẳng, thể tích vật thể trịn xoay… Tích phân cịn đối tượng nghiên cứu giải tích, tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng “Nguyên hàm, tích phân ứng dụng” chương quan trọng sách giáo khoa Giải tích lớp 12 (sách bản) Hơn nữa, phép tính tích phân ln có đề thi Tốn kỳ thi THPT Quốc gia Trong trình học Tích phân, nhiều học sinh cịn mắc sai lầm khơng đáng có gặp khó khăn việc tìm phương pháp phù hợp với dạng tốn Vì vậy, nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT” nhằm giúp em nắm vững kiến thức, cung cấp kĩ năng, phương pháp cần thiết để giải tập tích phân Mục tiêu đề tài Phân dạng cung cấp cho học sinh phương pháp giải tập tích phân Nội dung nghiên cứu Để thực mục tiêu trên, đề tài làm rõ vấn đề sau: - Hệ thống lại kiến thức phần “Ngun hàm tích phân” chương trình “Giải tích 12” - Đưa số dạng tập tiêu biểu kèm theo phân tích phương pháp giải hợp lí Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan tới phương pháp giải tích phân, nhằm hiểu rõ định nghĩa, chất phép tính tích phân, có sở phương pháp giải đắn, phù hợp - Nghiên cứu thực tế: sơ tìm hiểu rút nhận xét sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tốn tích phân thơng qua việc trao đổi với thầy dạy tốn THPT, với bạn học sinh Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT Bố cục đề tài: Đề tài gồm 2chương Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 1.2 1.3 1.4 Khái niệm ngun hàm tích phân Các cơng thức ngun hàm tích phân Tính chất Phương pháp đổi biến số phương pháp phần Chương 2: Một số phương pháp giải tập tích phân A – Phần tập tự luận 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Nguyên hàm, tích phân hàm hữu tỷ Nguyên hàm, tích phân hàm vơ tỷ Ngun hàm, tích phân hàm lượng giác Ngun hàm, tích phân hàm mũ lơgarit Diện tích hình phẳng Thể tích vật thể trịn xoay B – Phần tập trắc nghiệm 2.7 2.8 2.9 Tìm tích phân Tìm ngun hàm casio Tìm F (b) biết F ( a ) với F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) 2.10 Tìm f (b ) biết f ' ( x) f ( a ) 2.11 Tìm tích phân lý thuyết 2.12 Tích phân ẩn phương pháp rút 2.13 Tích phân ẩn phương pháp mũ hóa 2.14 Các ví dụ liên quan đến diện tích thể tích Kết luận Tài liệu tham khảo Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm ngun hàm tích phân 1.1.1 Nguyên hàm - Nguyên hàm: Cho K khoảng  a, b  , nửa khoảng  a, b  ,  a, b  hay đoạn  a, b  Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K F ' ( x)  f ( x), x  K - Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x) họ nguyên hàm f ( x)  f ( x)dx  F ( x)  C với C số 1.1.2 Tích phân - Cho f ( x) hàm số liên tục đoạn  a, b  Giả sử F ( x ) nguyên hàm f ( x) đoạn  a, b  Hiệu số F (b)  F (a) gọi tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác định đoạn  a, b  ) hàm số f ( x) , kí hiệu  b a  b a f ( x)dx Khi đó: f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a ) b Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT 1.2 Các công thức nguyên hàm  dx  x  C  kdx  kx  C  x dx  ln x  C , x  u'  u dx  ln u  C , u  x 1  x dx     C ,  1 u 1  u u ' dx     C ,  1  cos xdx  sin x  C  cos u.u ' dx  sin u  C  sin xdx   cos x  C  sin u.u ' dx   cos u  C  dx  cos x  tan x  C  u ' dx  tan u  C u  cos dx  sin x   cot x  C u ' dx  sin u   cot u  C  e dx  e  e u ' dx  e x x  a dx  x C ax C ln a u u  a u ' dx  u C au C ln a 1.3 Tính chất - Nếu f ( x ) g ( x) hai hàm số liên tục K a, b, c  K thì:  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx  kf ( x)dx  k  f ( x)dx, k Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT   a a b a    b a b a b a f ( x)dx  a f ( x)dx    f ( x)dx b c b f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a c b b a a ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g( x)dx b kf ( x)dx  k  f ( x)dx a - Nếu f ( x)  [a;b] thì:  b a f ( x)dx  - Nếu m  f ( x)  M [a;b] m(b  a )   b a f ( x)dx  M(b  a) 1.4 Phƣơng pháp đổi biến số phƣơng pháp phần 1.4.1 Tích phân bất định - Phương pháp đổi biến số: Dạng 1: Nếu x  u (t ) có đạo hàm liên tục K thì:  f ( x)dx   f (u(t ))u '(t )dt Dạng 2: Nếu t  v( x) có đạo hàm liên tục K có f ( x)dx  g (t )dt thì:  f ( x)dx   g (t )dt - Phương pháp phần: Nếu u ( x) , v( x) có đạo hàm liên tục K thì:  udv uv   vdu 1.4.2 Tích phân xác định - Phương pháp đổi biến số: Dạng 1: Nếu x  u (t ) có đạo hàm liên tục [ ;  ] u ( )  a; u (  )  b thì: Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT  b a  f ( x)dx   f (u (t ))u '(t )dt  Dạng 2: Nếu t  v( x) có đạo hàm liên tục f ( x)dx  g (t )dt thì:  b a f ( x)dx   v (b ) v(a) g (t )dt - Phương pháp phần: u ( x) , v( x) có đạo hàm liên tục đoạn [a;b] thì:  b a Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh b udv  uv a   vdu b a Trang Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT => Chọn A Ngồi ra, ta cịn cách thứ hai, thay dùng phương pháp rút ta bấm máy hệ hai phương trình hai ẩn a b: ln(2).a  ln(3).b  D  a  b  Đáp án VD 77: Cho tích phân M M , với phân số tối giản Giá trị N N M  N bằng:  x  xdx  A 35 B 36 C 37 D 38 Lời giải: Chọn đáp án A  - Gán tích phân D : x  xdx tổ hợp phím SHIFT STO D - Bấm máy hệ hai phương trình hai ẩn M N  M  N D   M  N  Đáp án    0  x  x   dx  a ln  b ln với a, b VD 78 (Đề thi thức 2017): Cho  số nguyên Mệnh đề đúng? A a  b  Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh C a  b  2 Trang 62 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT B a  2b  D a  2b  Lời giải: Chọn đáp án D - a ln  b ln  D   Đáp án - dx 1 e  a  b ln , với a , b số hữu 0 e x  VD 79 (Đề tham khảo 2017): Cho tỷ Tính S  a  b A S  B S  2 C S  D S  Lời giải: Chọn đáp án A - dx 1 e  b ln 0 e x  - Ta dùng phương pháp rút thế: a  1 e   S   D  b ln  b    - Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 63 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT - 2.13 Dạng 7: Tích phân ẩn phƣơng pháp mũ hóa VD 80: Biết dx 3 x  x  a ln  b ln  c ln (a,b, c  Z ) Tính S  a  b  c dx  x2  x  ea ln 2b ln 3c ln - Thực phép mũ hóa hai vế, ta được: e - Lúc này, ta tính vế trái phương trình Casio Khi đó, phương trình cho: 16  e a ln eb ln ec ln 15 24  1  2a.3b.5c  a  4; b  1; c  1   S  11  x  3x  dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c VD 81: Biết  x  x  x  Tính a, b, c  x 3 x 1 dx x 3 x  x  3  ea ln 2b ln 3c ln - Thực phép mũ hóa hai vế, ta : e Lúc này, vế trái phương trình có kết khơng đẹp Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 64 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT - Khi đó, ta lũy thừa hai vế với số mũ X được: e  x 3 x 1   dx  X  x 3 x  x   4     2a.3b.5c  Và dùng phương pháp lập bảng sau: x 3 x 1  x3 3 x2  x 3dx - Gắn X SHIFT STO D D X - Dùng bảng MODE với f ( x)  e - Chọn đáp án đẹp cột f (X) X tương ứng Trong trường hợp kết đẹp f (X)  98415 X  Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 65 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT (Khi dị tìm kết quả, ta nên tìm cột f (X) để thấy kết cách đầy đủ hình máy tính) 98415  28 a.38b.58c 39.5   28 a.38b.58c 1  a  ; b  ;c  8     VD 82: Biết ln x  x dx  a ln  b  a, b  Z  Tính S  a  b - Để ý hệ số với b không chứa ln nên ta biến đổi sau: ln x  x  dx  a ln  b     ln  x  x  dx  b  a ln 3  ln x  x dxb  e2 - Gán  ln  x  e a ln  x  dx SHIFT STO D - Dùng bảng MODE với f ( x)  e A X Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 66 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT - Chọn đáp án đẹp cột f (X) X tương ứng b  X  b      S  3 1  a f (X)  27 a  27     Lúc ta có:     tan x b VD 83: Cho tích phân  dx  ln   cos x a c  a, b, c   với b c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức A  a  b  c A 26 B 39 C 14 D Lời giải: Chọn đáp án B  tan x 0 cos xdx SHIFT STO D - Gán   ln   D b b a - Vì D  ln     a c c ln   D X - Dùng bảng MODE với f (X)     Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh  Trang 67 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT - Chọn đáp án đẹp cột f (X) X tương ứng a  X    Lúc ta có:  10  b  10 f (X)   c  27 27  dx 1 ( x  1) x  x x   a  b  c với a, b, c số nguyên dương Tính P  a  b  c VD 84 (Đề tham khảo 2018): Biết A 24 B 12 C 18 D 46 Lời giải: Chọn đáp án B - Gán tích phân - Vì a, b, c số nguyên dương nên ta lập bảng với ẩn c Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 68 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT Dc  a  b  ( D  c)  a  b  ab  ( D  c)  P  c  ab   P  c ( D  c)   4ab - F ( x )   P  c  ( D  c)  - Chọn đáp án đẹp cột f (X) X tương ứng => Chọn D 2.14 Dạng 8: Các ví dụ liên quan đến diện tích thể tích VD 85 (Đề tham khảo 2017): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  x đồ thị hàm số y  x  x A 37 12 Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh C 81 12 Trang 69 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình toán THPT B D 13 Lời giải: Chọn đáp án A - x  x3  x  x  x   x    x  2 - S  x  x   x  x 2   x  x    x  x2   37 12 VD 86 (Đề tham khảo 2018): Cho ( H ) hình phẳng giới hạn parabol y  x , cung trịn có phương trình y   x (với  x  ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích (H) bằng: A 4  12 C 4   B 4  D  2 Lời giải: Chọn đáp án B - 3x   x   x    3x   x  x  1 - S  3x    x2 - Gán S với D Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 70 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình toán THPT  - Thử với đáp án B VD 87 (Đề thi thức 2017): Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   cos x , trục hoành đường thẳng x  0, x   Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V    C V  (  1) B V  (  1) D V    Lời giải: Chọn đáp án C  - V    cos x  dx - Gán - Thử với đáp án C VD 88 (Đề thi thức 2017): Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   sin x , trục hoành đường thẳng x  0, x   Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích bao nhiêu? A V  2(  1) C V  2 B V  2 (  1) D V  2 Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 71 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT Lời giải: Chọn đáp án B - V     sin x  dx - Gán - Thử với đáp án B VD 89 (Đề thi thức 2017): Cho hình phẳng 𝐷 giới hạn đường cong y  x  , trục hoành đường thẳng 𝑥 = 0,𝑥 = Khối tròn xoay tạo thành quay 𝐷 quanh trục hồnh tích 𝑉 ? 4 B V  2 D V  C V  A V  Lời giải: Chọn đáp án A - V    x  dx - Kết VD 90 (Đề tham khảo 2017): Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b (a  b) , xung quanh trục Ox Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 72 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT b  b  A V   f ( x)dx C V   f ( x)dx a a b B V  f b D V  ( x)dx a  f ( x) dx a Lời giải: Chọn đáp án A VD 91 (Đề tham khảo 2017): Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  2( x  1)e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox A V   2e C V  e2  B V  (4  2e) D V  e2     Lời giải: Chọn đáp án D - Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường cong trục Ox: 2( x  1)e x   x  - V  x   2( x  1)e  dx - - Thử với đáp án D VD 92 (Đề tham khảo 2017): Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  1; x  biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1  x  3) thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x 3x  Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 73 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT A V  32  15 B V  C V  124 124 D V  (32  15) Lời giải: Chọn đáp án C b   a - Ta dùng công thức bản: V  S ( x)dx  3x 3x  2dx - Thử với đáp án C Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 74 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT KẾT LUẬN Qua q trình nghiên cứu đề tài, làm được: Hệ thống lại kiến thức phần nguyên hàm, tích phân Trình bày rõ dạng tốn phương pháp giải phần nguyên hàm, tích phân Cập nhật tập trắc nghiệm có đề minh họa THPT Quốc gia 2018 Là sinh viên năm cuối trường, nhận thấy đề tài có ích cho thân để làm hành trang vào nghề Vì thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong ý kiến đóng góp đọc giả để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 75 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao Nguyên hàm, tích phân ứng dụng, Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm, tích phân bất đẳng thức, Lê Hồnh Phị Ơn thi đại học tích phân ứng dụng, Nguyễn Hồng Điệp Nâng cao Giải tích đại số 12, Lê Hồnh Phị Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 76 ... Trương Thị Lệ Trinh Trang Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT 2.12 Dạng 6: Tích phân ẩn phƣơng pháp rút 60 2.13 Dạng 7: Tích phân ẩn phƣơng pháp mũ hóa .64 2.14... 15 (đvtt) Trang 42 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình tốn THPT B – PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2.7 Dạng 1: Tính tích phân VD 45 (Đề tham khảo 2018): Tích phân 16 225 B log C... nhỏ bậc mẫu phân tích mẫu thừa số bậc (x+a) hay ( đồng hệ số theo phần tử đơn giản Sinh viên: Trương Thị Lệ Trinh Trang 14 Một số phương pháp giải tốt tập tích phân chương trình toán THPT  Dạng