KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2016-2017 Mơn : TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2017 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quảng ngãi ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có trang) Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a – b +1) Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B = 1007 2013 1007 2013 2 Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho ( n Z ) Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2 -5)x - 2012 So sánh f(1- 2011 ) f(1- 2013 ) Câu 5: (1,5điểm) Cho ABC có trung tuyến AM Chứng minh : AB2 AC2 2AM BC2 Câu : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 a – 76 số phương Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh với x,y ta có : x y xy x3 y Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 2 x 3 2 x µ nhọn nội tiếp đường trịn (O;R) Chứng minh rằng: Câu 9: (1,5điểm) Cho ABC có A BC 2R.sin A Câu 10:(1,5điểm) Tìm số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = Cõu 11:(1,5im) Cho ABC, đường thẳng d cắt AB , AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù E ,F,N (E A,B F A,C ).Chøng minh : AB AC 2AM AE AF AN Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) đường thẳng a ngồi đường trịn Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến a M điểm chuyển động a Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A, B hai tiếp điểm) Gọi D giao điểm AB với OH Chứng minh D điểm cố định HẾT -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh : Giám thị 1: .Ký tên Số Báo danh Giám thị 2: .Ký tên ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO quảng ngãi-trương quang an-nghĩa thắng - tư nghĩa KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2016-2017 Mơn : TỐN Ngày thi :18/02/2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = Tính giá trị biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1) A = a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab 0,5đ = (a3–3a2b +3ab2– b3) + (a2–2ab +b2) 0,5đ = (a–b)3+(a–b)2 0,5đ = 33+32=36 0,5đ 2014 2013 2014 2013 4 0,5đ = ( 2013 1) ( 2013 1) 4 0,5đ = 2013 2013 2 0,5đ Câu 2(2,0 điểm) B = 0,5đ = -1 Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho ( n Z ) 0,5đ A = n3 – 6n2 – 12n + 18 A = n3 – n – 6n2 –12 n + 18 A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18 Do n(n – 1)(n+1) tích số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1) Mặt khác – 6n2 – 12n + 18 nên A 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m2-5)x- 2012 So sánh f(1- 2011 )và f(1- 2013 ) Biến đổi (4m - m2 - 5) = m 1 0,5đ m 1 hàm số y = f(x ) nghịch biến Lập luận 2011 2013 f (1 2011) f (1 2013) 0,5đ 2 0,5đ 0,5đ Câu : (1,5điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Chứng minh : AB2 AC2 2AM A BC2 Vẽ AH BC ,H BC c/m AB2+AC2 = 2AH2+ BH2+ CH2 (1) 0,5đ (2) 0,5đ c/m AH2 = AM2 - HM2 BH2 = BM2 -2BM HM+HM2 B H M C CH2 = HM2 -2HM CM+CM2 ThuVienDeThi.com Từ (1),(2) AB2 AC2 2AM BC2 0,5đ Câu 6: (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 a – 76 số phương Vì a + 13 a – 76 số phương Đặt a + 13 = m , a – 76 = n với m, n N m2 – n2 = 89 (m – n)(m + n) = 89 m n m n 89 Vì 89 số nguyên tố m – n < m + n nên 0,25đ 0,25đ m 45 n 44 0,75đ 0,25đ a +13 = 452 a = 2012 Câu : (1,5điểm) Chứng minh với x,y ta có : x y xy x3 y (1) 0,5đ (1) x y xy x3 y x(x3- y3) – y(x3- y3) 0,25đ (x-y)2(x2 + xy + y2) (x-y)2 y 3y x 0 2 0,25đ (2) (2) (1) 0,25đ Dấu “ =” xày x = y 0,25đ Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 2 x 3 2 x C= x 2 x Đặt t = |2x- 3| C = t2 – 2t + C = (t –1)2 + giá trị nhỏ biểu thức C t = x = x = 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ µ nhọn nội tiếp đường trịn (O;R) Chứng minh Câu 9: (1,5điểm) Cho tam giác ABC có A rằng: BC 2R sin A A D O B C Vẽ đường kính BD BCD vng C BC = BD.sinD (1) µ D µ , BD = 2R (2) Ta có A Từ (1) (2) BC = 2R.sinA Câu 10: (1,5điểm) Tìm số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = x2 – 2y2 = (x-1)(x+1) = 2y2 Vì y nguyên tố x+1 > x-1 nên xảy trường hợp: x 1 y x 1) x 1 y y x x 1 y2 (loại) 2) x 1 y 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ ThuVienDeThi.com x 1 y2 x y x 1 0,25đ 3) Vậy (x;y) = (3;2) 0,25đ Câu 11: Cho ABC, đường thẳng d cắt AB AC vµ trung tuyÕn AM theo thø tù lµ E , F , N (E A,B F A,C )Chøng minh : AB AC 2AM AE AF AN (I,S tia AM) KỴ BI, CS / /EF AB AI AC AS , Ta cã: AE AN AF AN AB AC AI AS () AE AF AN AN c/m BIM CSM (cgc) IM MS A F N E I d B C M AI AS AI AI IM MS 2AM S Thay vào (*) ta (đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25đ Câu 12: Cho đường tròn (O;R) đường thẳng a ngồi đường trịn Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến a M điểm chuyển động a Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) ( A,B hai tiếp điểm) Gọi D giao điểm AB OH Chứng minh D điểm cố định Gọi C giao điểm AB OM Chứng minh OC.OM = OD.OH Lập luận OC.OM = OA2= R2 OD.OH = R2 Chứng minh : OD 0,5đ R không đổi OH 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ D thuộc đoạn thẳng cố định OH nên D cố định 0,25đ HẾT Ghi chú: Nếu học sinh giải cách khác giám khảo biểu điểm điểm tương ứng ThuVienDeThi.com ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO quảng ngãi- trương quang an-nghĩa thắng - tư nghĩa KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2016-2017 Mơn : TỐN Ngày thi :18/02/2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG... a – 76 số phương Đặt a + 13 = m , a – 76 = n với m, n N m2 – n2 = 89 (m – n)(m + n) = 89 m n m n 89 Vì 89 số nguyên tố m – n < m + n nên 0,25đ 0,25đ m 45 n 44 0,75đ... cố định OH nên D cố định 0,25đ HẾT Ghi chú: Nếu học sinh giải cách khác giám khảo biểu điểm điểm tương ứng ThuVienDeThi.com