Tài liệu ôn tập dạy thêm học thêm môn Toán học lớp 8 kì 1 đã được soạn tương đối đầy đủ chi tiết đến từng theo mẫu hướng dẫn của Bộ giáo dục và đào tạo. Giúp giáo viên tham khảo thuận lợi trong giảng dạy, không phải mất thời gian để soạn mà tập trung vào công việc khác, tiết kiệm được thời gian, tiền của cho giáo viên. Đây là tài liệu tham khảo rất bổ ích cho giáo viên.
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Câu 60 Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km / h Khi đến B người nghỉ 20 phút quay A với vận tốc trung bình 25km / h Tính quãng đường AB , biết thời gian 50 phút Lời giải Gọi x km chiều dài quãng đường AB x 0 x h Thời gian xe máy từ A đến B là: 30 x h Thời gian xe máy từ B A là: 25 h Đổi 20 phút � 35 � h � � � �nên ta có phương trình: 50 Do thời gian lẫn nghỉ phút x x 35 30 25 x x 11 � 30 25 x x 825 � 150 150 150 � x x 825 � 11x 825 � x 75 (thỏa mãn điều kiện) 75 km Vậy quãng đường AB dài Câu 61 Một xe khách khởi hành từ A đến B với vận tốc 50km / h Sau 30 phút, xe xuất phát từ B để đến A với vận tốc 60km / h Biết quãng đường AB dài 80km Hỏi sau kể từ xe khách khởi hành, hai xe gặp nhau? Lời giải Đổi: 30 phút 0,5 x 0 Gọi x (giờ) thời gian xe khách từ A đến hai xe gặp 50x km Quãng đường xe khách từ A đến hai xe gặp Thời gian xe từ B đến hai xe gặp x 0,5 (giờ) 60 x 0,5 km Quãng đường xe từ B đến hai xe gặp Đến lúc hai xe gặp nhau, tổng quãng đường hai xe quãng đường AB 60 x 0,5 50 x nên ta có phương trình: � 60 x 30 50 x � 60 x 50 x 30 � 10 x 30 � x (thỏa mãn điều kiện) DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy sau kể từ xe khách khởi hành, hai xe gặp Câu 62 Một ô tô từ Hà Nội đến Đền Hùng với vận tốc trung bình 30 km/h Trên quãng đường từ Đền Hùng Hà Nôi, vận tốc ô tô tăng thêm 10 km/h nên thời gian ngắn thời gian 36 phút Tính quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng Lời giải Gọi chiều dài quãng đường Hà Nội - Đền Hùng x km, x x h Thời gian xe ô tô từ Hà Nội đến Đền Hùng là: 30 Vì từ Đền Hùng Hà Nội, xe tăng vận tốc nên vận tốc lúc ô tô là: 30 10 40 km/h x h Thời gian xe ô tô từ Đền Hùng Hà Nội là: 40 x x h Thời gian ngắn thời gian 36 phút nên ta có phương trình: 30 40 x x 3 �1 � � � �x � x � x 72 30 40 120 �30 40 � (thỏa mãn điều kiện) Câu 63 Một công nhân dự kiến làm 60 sản phẩm ngày Do cải tiến kỹ thuật, anh làm 80 sản phẩm ngày Vì vậy, anh hồn thành kế hoạch sớm ngày cịn làm thêm 40 sản phẩm Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch Lời giải Gọi số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch x (sản phẩm, x 60; x ��) x Thời gian anh công nhân dự kiến làm hết số sản phẩm là: 60 (ngày) Số sản phẩm anh công nhân làm thực tế x 40 (sản phẩm) x 40 Thời gian anh công nhân thực tế là: 80 (ngày) x x 40 2 80 Vì anh hồn thành kế hoạch sớm ngày nên ta có phương trình: 60 x x 40 x 3x 120 480 2� � x x 120 480 � x 600 60 80 240 240 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch 600 sản phẩm Câu 64 Một tổ dự định dệt 28m vải Nhưng thực tế giờ, tổ dệt 4m vải Do vậy, tổ làm thời gian dự định mà cịn thiếu 5m vải hồn thành kế hoạch Tính số vải tổ phải dệt theo kế hoạch Lời giải m, x 28 Gọi số vải tổ phải dệt theo kế hoạch x Số vải tổ dệt thực tế DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM x m PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trên thực tế tổ dệt 28 24 m GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x h Thời gian tổ dệt kế hoạch 28 x 5 h Thời gian tổ dệt thực tế 24 Vì tổ làm thời gian dự định mà thiếu 5m vải hoàn thành kế x 5 x 2 hoạch nên ta có phương trình: 24 28 x5 x 2 24 28 � x x 336 168 168 168 � x x 336 � x 35 x 336 � x 371 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số vải tổ phải dệt theo kế hoạch 371m Câu 65 Một công nhân dự kiến làm 33 sản phẩm thời gian định Trước thực hiện, xí nghiệp giao thêm cho người 29 sản phẩm Do người làm thêm sản phẩm hoàn thành chậm dự kiến 30 phút Tính suất dự kiến Lời giải * Gọi suất dự kiến x (sản phẩm/giờ, x �� ) Năng suất thực tế anh công nhân x (sản phẩm/giờ) 33 h Thi gian công nhân làm kế hoạch là: x Số sản phẩm anh công nhân giao thực tế là: 33 29 62 (sản phẩm) 62 h Thời gian công nhân làm thực tế là: x Mặc dù người làm thêm sản phẩm hoàn thành chậm dự kiến 30 phút 62 33 nên ta có phương trình: x x � 2.62.x 33.2 x 3 x x 3 x x 3 x x 3 � 124 x 66 x 198 3x x � 124 x 66 x 198 x x � x 49 x 198 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � x tho� a ma� n� ie� u kie� n � � 22 � x i loa� � � Vậy suất dự kiến (sản phẩm/giờ) Câu 66 Hai công nhân làm cơng việc ngày xong Biết làm xong cơng việc người thứ làm nhanh người thứ hai ngày Tính thời gian người làm xong công việc Lời giải Gọi thời gian người làm xong cơng việc x ( x 4; ngày) Thời gian người thứ hai làm xong công việc x Một ngày người làm x (công việc) Một ngày người thứ hai làm x (công việc) Một ngày người làm (công việc) 1 x x6 Theo ta có phương trình : � 4( x 6) x x( x 6) � x x x 24 x � x x 24 � x x x 24 � x( x 6) 4( x 6) � ( x 4)( x 6) x40 � �� x6 � � x 4 loaïi �� x thỏ a mã n điề u kiệ n � � Vậy thời gian người làm xong công việc ngày, người thứ hai làm xong cơng việc 10 ngày Câu 67 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48 m Nếu tăng chiều rộng lên lần chiều dài lên lần chu vi khu vườn 162 m Hãy tìm diện tích khu vườn ban đầu Lời giải Nửa chu vi hình chữ nhật 48 : 24 (m) x(0 x 12, m) Gọi chiều rộng khu vườn Chiều dài khu vườn 24 x (m) Chiều rộng tăng lần : 4x (m) Chiều dài tăng lần là: 3(24 x) (m) Theo ta có phương trình: [4 x 3(24 x )].2 162 � ( x 72).2 162 � x 72 81 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � x ( thỏa mãn điều kiện ẩn) Vậy diện tích hình chữ nhật x(24 x) 9.15 135 ( m ) Câu 68 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ bao nhiêu? Lời giải Gọi số sản phẩm tổ I giao theo kế hoạch x (sản phẩm) ( x ��;0 x 600 ) Số sản phẩm tổ II giao theo kế hoạch 600 x (sản phẩm) 118 x Số sản phẩm tổ I giao theo thực tế 100 (sản phẩm) 121 (600 x) Số sản phẩm tổ II giao theo thực tế 100 (sản phẩm) 600 120 720 Số sản phẩm tổ làm thực tế (sản phẩm) Theo ta có phương trình: 118 121 x (600 x ) 720 100 100 � 118 x 72600 121x 72000 � 3 x 600 � x 200 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số sản phẩm tổ I giao theo kế hoạch 200 sản phẩm Số sản phẩm tổ II giao theo kế hoạch 400 sản phẩm Câu 69 Một đội xe tải vận chuyển 28 hàng đến địa điểm quy định Vì đội có xe bị điều làm việc khác nên xe phải chở thêm 0, hàng Tính số xe đội lúc đầu Lời giải x ( xe; x ��; x 2) Gọi số xe đội lúc đầu Số xe thực tế x (xe) 28 Lúc đầu xe cần chở số hàng x (tấn) 28 Lúc sau xe cần chở số hàng x (tấn) Theo ta có phương trình: 28 28 0, x2 x 4 � x x 10 � 40 x 40( x 2) x( x 2) � x x 80 � x 10 x x 80 � x( x 10) 8( x 10) � ( x 10)( x 8) x 10 � �� x8 � DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH x 10 (thỏ a mã n điề u kiệ n) � �� x 8 (loaïi) � GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy số xe đội lúc đầu 10 xe Câu 70 Một hình chữ nhật có chu vi 78 cm Nếu giảm chiều dài cm tăng chiều rộng thêm cm hình chữ nhật trở thành hình vng Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu Lời giải Hình chữ nhật có chu vi 78 cm nên nửa chu vi 39 cm Gọi chiều dài hình chữ nhật x (cm) Đều kiện: x 39 Chiều rộng hình chữ nhật 39 x (cm) Nếu giảm chiều dài cm ta chiều dài x (cm) Tăng chiều rộng thêm cm ta chiều rộng 39 x (cm) Sau giảm chiều dài tăng chiều rộng ta hình vng nên ta có phương trình: x 39 x � x 46 � x 23 (thỏa mãn) Chiều rộng hình chữ nhật là: 39 23 16 (cm) Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 23.16 368 ( cm ) Câu 71 Hai giá sách có 140 sách, chuyển 10 từ giá sách thứ sang giá sách thứ hai số sách giá thứ số sách giá thứ hai Tìm số sách giá Lời giải x Gọi số sách giá sách thứ (quyển) Đều kiện: 10 x 140 Số sách giá sách thứ hai 140 x (quyển) Nếu chuyển 10 từ giá sách thứ sang giá sách thứ hai số sách giá sách thứ x 10 (quyển) Số sách giá sách thứ hai 140 x 10 (quyển) Sau chuyển, số sách giá thứ số sách giá thứ hai nên ta có phương trình: x 10 150 x � x 50 300 x � x 50 (thỏa mãn) Vậy số sách giá sách thứ 50 (quyển) Số sách giá sách thứ hai 140 50 90 (quyển) Câu 72 Tìm số có hai chữ số, biết tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số nhỏ số cho 36 Lời giải Tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 14 nên chữ số hàng chục phải lớn (Vì nhỏ chữ số hàng đơn vị lớn 10) Gọi chữ số hàng chục a Đều kiện: a ��; a �9 Chữ số hàng đơn vị 14 a Số ban đầu có dạng: a 14 a 10a 14 a DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 14 a a 10 14 a a Đổi chỗ hai chữ số cho ta số Vì số nhỏ số cho 36 đơn vị nên ta có phương trình: 10a 14 a 10 14 a a 36 � 18a 162 � a (thỏa mãn) Chữ số hàng đơn vị 14 Vậy số cần tìm 95 DẠNG 3: GIẢI BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 73 Giải phương trình sau: 1) 3) 5) 7) 2x 1 2) 3x x 4) x 1 x 6) 3x x 8) 2x 3x 1 1 x 2x 1 x 9) x 96 x 3x 5 x 16 x x 11) x2 13) x x x x x 19 17 5x x 1 x 15) 2x 1 x 2x x 3 x x 2 x x2 1 x 1 x 7x 10) x x x 2x x 1 2x 1 2x x 1 x 1 12) x x 2x 14) x x x x Lời giải 1) 2x 1 Suy ra: x �5 Với x � x Với x 5 � x 2 Vậy tập nghiệm phương trình 2) S 2;3 2x 1 x Trường hợp 1: x x � x Trường hợp 2: 2x 1 x � x 4 �4 � S � ;6 � �3 Vậy tập nghiệm phương trình 3) 3x x 2 Nếu x �۳ Phương trình x � x � x DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 � x (không thoả mãn) Với x x �x (không thoả mãn) Với x x GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy phương trình vơ nghiệm 4) 2x x 2 0 Nếu x �۳ x � x (TM) 2x x � � � � �� x (TM) x x � � Phương trình �1 � S � ;5� �3 Vậy tập nghiệm phương trình 5) 2x 1 x x Nếu � x 2x 1 x x (TM) � � �� �� 2x 1 x x 4 (TM) � � Phương trình Vậy tập nghiệm phương trình 6) S 4; 2 3x x 2 Nếu x �۳ x � x 3 x x � � � �� � x x x � � (loại) Phương trình Vậy 7) Nếu 3x x x �۳ 0 phương trình vơ nghiệm x 3x x � �� 3x � x 1 x 2 x � Phương trình Với 3x x � x (TM) �1 � S � ;3� �5 Với x 2 x � x (TM) �1 � S � ;3� �5 Vậy phương trình có nghiệm x 1 x2 1 8) Cách 1: (1) DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Lập bảng xét dấu: x 2 2x - 1 2x || 2x 2x 1 4x2 - x2 - 1 - 4x x2 - 4 x x 2 x 1 x2 1 Nếu x x2 x x2 + x - 1 x 2 pt (1) � x x � x (loại) (loại) 1 �x pt (1) � 4 x x � x x � x 1 x 1 Nếu � x 1 (loại) x (loại) x� pt (1) � x x � x x � x 1 x 1 � x 1 Nếu (loại) x (thoả mãn) Vậy nghiệm phương trình Cách 2: Có x 2x 1 4x2 1 x �0 ; (1) x �0 � x � �2 x � �� �� �4 x �x �1 � x � 2 Nên phương trình (1) xảy Vậy nghiệm phương trình x 2x 3x 1 1 x x x ( ĐK : x �1; 3 ) 9) x 2x 3x � 1 x3 x 3 x 1 x � x x 1 x 3 x 1 3x 1 x � x 3x x x x x � 5x 8x � 3 x � x 3(ktm) Vậy, phương trình vơ nghiệm DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH x 1 x 7x 10) x x x ( ĐK : x �3; 3 ) � GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x 1 x 7x x x x2 � x 1 x 3 x x 3 x � x x x 3x x �00 Vậy, phương trình có vơ số nghiệm với x �3; 3 11) 5 96 x 3x x 16 x x (ĐK: x �4; 4 ) � x 16 96 x 1 x x 1 x � x 80 96 x x 3x 11x � x 16 � x 8(tmdk ) S 8 Vậy tập nghiệm phương trình 2x x 1 x � � 2x 1 2x 1 x 1 x 1 ( ĐK : 2) 12) � x x 1 x x 1 x � x2 2x 2x2 x x2 � 2x2 x � x 3 x 1 x 1(tmdk ) � � � 3 � x (tmdk ) � � 3 � S � 1; � � Vậy tập nghiệm phương trình x2 13) x x x x ( ĐK: x �0; ) � x2 x x x x 2 � x x 2 x 2 � x2 2x x � x2 x � x x 1 x 0(ktm) � �� x 1(tm) � Vậy tập nghiệm phương trình DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM S 0 10 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG TH1: Cả ba số x, y, z x 1 �0 � x �2 x Tương tự y �2 y z �2 z Do x y z �2 x y z x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho số dương x, y , z ta có x y z �3 xyz Suy x y z � x y z 3 xyz x y z 3.1 x y z 2 2 2 Hay x y z �x y z � x y z �x y z ( ĐPCM) �x �y � � � x y z 1 �z �x y z � � �x y z Dấu " " xảy TH2: Nếu có số dương Khơng tính tổng qt giả sử x 0; y ; z Do xyz nên ba số x, y , z ln tồn số có giá trị tuyệt đối không nhỏ -Trường hợp a Nếu x �1 x �x y y y �0 y Tương tự z z 2 Do x y z x y z - Trường hợp b: Nếu Giả sử y �1 x 1 Khi x y mà x nên x y z 2 Do x y z x y z 2 Từ hai trường hợp ta có x y z x y z Dấu “=” xảy x y z Câu 93 Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c 2 bc ca ab Lời giải Ta có a , b , c độ dài ba cạnh tam giác nên có DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 40 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH �a �b c � �b a b c � �c a � � � bca � �c � �a b c a b � � GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a 1 Với b a , b , m a a m ab am ab bm am bm a b m 0 b b m b ( b m ) b ( b m ) b ( b m ) Ta có (do a b ) a am Do b b m Suy a aa 2a bc bca abc b bb 2b ca cab abc c cc 2c ab abc abc Cộng vế với vế bất đẳng thức ta a b c 2a 2b 2c bc ca ab abc abc abc a b c � 2 bc ca ab a b c 2 Vậy với a , b , c độ dài ba cạnh tam giác b c c a a b abc � Tìm GTNN biểu thức Câu 94 Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện 1 A abc a b c Lời giải abc � Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện A abc 1 a b c A 4a 4b 4c 1 3a 3b 3c a b c � � � 1� � 1� A �4a � � 4b � �4c � a b c � a�� b�� c� + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 41 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 4a �2 4a a a 4b 1 �2 4b b b 4c 1 �2 4c c c GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 9 a b c � � 3 a b c � 2 Mặt khác, 15 A �4 2 Do � 4a � a � � � a 4b � � b � � � 1 � �� b 4c � c � � � � c abc � � � Dấu xảy 15 a bc Vậy GTNN A 12 Câu 95 Cho x , y , x y Tìm giá trị nhỏ Lời giải S 3x y x 1 y 1 S S 3x y x 1 y 1 x 1 y 1 7 x y x 1 y 1 Do x , y , x y nên x , y Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có S �2 x 1 y 1 7 2 x 1 y 1 21 S �2 2 2 S �28 �5 x 1 � x 1 � �9 y 1 � y 1 � �x y � Dấu xảy � DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 42 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH � x 1 � �x �2 �x � �� y 1 � �y �2 � �y �x � � �x y �� � � � �x y �x y � �y GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy GTNN S 28 x y ĐÁP ÁN ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Bài x2 4x x 2x B x x 1 x x với x ��1; x �0 Cho hai biểu thức x A a) Tính giá trị biểu thức A B 3x x 1 b) Chứng minh rằng: c) Cho P A.B Tìm tất giá trị m để phương trình P m có nghiệm Lời giải a) Tính giá trị biểu thức A Thay x x 3 (TMĐK) vào biểu thức A , ta được: 2 A 2 Vậy A 2 x b) Chứng minh rằng: B 3x x 1 B 4x x 2x x 1 x x ĐKXĐ: x ��1 B x x 1 x x 1 2x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 B 4x2 x x2 x 2x x 1 x 1 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 43 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH x 3x B x 1 x 1 B x x 1 x 1 x 1 B 3x x 1 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG c) Cho P A.B Tìm tất giá trị m để phương trình P m có nghiệm 3x m Để P m có nghiệm x có nghiệm 3x m � x m x 1 � 3x mx m � m x m x Ta có m Phương trình có nghiệm �۹ Bài m Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 50 km/h, sau 30 phút, ô tô xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 kkm/h Tính độ dài quãng đường AB biết hai xe đến B lúc Lời giải Gọi quãng đường AB x x 0, km x h Vì vận tốc xe máy 50 km/h nên thời gian xe máy từ A đến B 50 x h Vì vận tốc tơ 60 km/h nên thời gian ô tô từ A đến B 60 h 30 Vì tơ xuất phát sau xe máy phút = hai xe đến B lúc nên ta có phương trình: x x 50 60 � 6x x 150 300 300 300 � x 150 tm Bài Vậy quãng đường AB dài 150 km Giải phương trình bất phương trình sau a) 3x x x c) x 1 x 1 a) 3x x x x3 x x2 4x x2 b) x x d) x 2 x Lời giải � 3x x x 2 � x2 6x DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 44 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � x 3x � x2 2x x � x x 2 x 2 � x x 1 x2 � �� x 1 � Vậy S 1; 2 x3 x x2 4x x2 b) x x � x 3 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ĐKXĐ: x ��1 x2 4x x2 1 2 Suy ra: x x x x x x � x 3x x x � x2 x � x2 2x x � x x 1 x tm � �� x 1 l � � x2 Vậy S 2 x 1 x 1 c) � 3x x � 3x x � x 3x � x 6 � x 3 Vậy bất phương trình có tập nghiệm x | x 3 d) x 2 x � x3 x � x x2 2 � x (Vì x ) Bài (3,5 điểm) Cho ABC vuông A, ( AB AC ), đường cao AH a) Chứng minh BHA ∽ BAC Từ suy BA BH BC b) Lấy điểm I thuộc AH Kẻ đường thẳng qua B vng góc với CI K Chứng minh CH CB CI CK DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 45 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � � c) Tia BK cắt tia HA D Chứng minh BHK BDC d) Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho BM BA Chứng minh � 90� BMD Lời giải a) Chứng minh BHA ∽ BAC Từ suy BA BH BC Xét BHA BAC có : � B chung � BAC � BHA (vì 90�) Suy BHA ∽ BAC (g – g) BH BA Suy BA BC hay BA BH BC b) Lấy điểm I thuộc AH Kẻ đường thẳng qua B vng góc với CI K Chứng minh CH CB CI CK Xét CHI CKB có: � C chung � CKB � CHI (vì 90�) Suy CHI ∽ CKB (g – g) CH CI Suy CK CB hay CH CB CI CK � � c) Tia BK cắt tia HA D Chứng minh BHK BDC DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 46 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Xét BKC BHD có: � B chung � BKC � BHD (vì 90�) Suy BKC ∽ BHD (g – g) BK BC BH BD hay BK BD BH BC Suy Xét BHK BDC có: BK BC BH BD (cmt) � Và B chung Suy BHK ∽ BDC (c – g – c) � BDC � BHK Suy d) Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho BM BA Chứng minh � 90� BMD 2 Vì BM BA � BM BA Mà BA BH BC BH BC BK BD (chứng minh trên) BM BD � BM BK BD hay BK BM BM BD � Xét BKM BMD có : BK BM B chung Suy BKM ∽ BMD (g – g) � � Suy BMD BKM 90� M x 3x Bài 10 Cho x Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải x Với ta có: M x 3x 2020 4x 4x2 4x x 2019 4x DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 47 2020 4x PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH x 1 x 2019 4x 0 Vì x nên 4x GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Áp dụng bất đẳng thứ Cô – si cho hai số không âm x 4x có: 1 x �2 x 4x 4x x �1 4x x 1 Mà Suy �0 với x M �01۳ 2019 M 2020 � x 1 � �x � �x x � 2020 Vậy giá trị nhỏ M , dấu xảy (vì x0) ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Câu (2 điểm) Cho hai biểu thức a) Tính giá trị A B A x x2 5x x B x x x x với x ��2 2x x2 b) Chứng minh c) Đặt P A.B Tìm x để P �1 Lời giải DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 48 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x a) Tính giá trị A x (thỏa mãn x ��2 ), thay vào biểu thức A , ta được: Với 2 3 �1 � 3 3 6 A 2 : � � : � �4 � 5 �1 � � � �2 � 6 x A Vậy với b) Chứng minh B 2x x2 B Với x ��2 ,ta có: 5x x x x2 x 5x x x2 x 4 x2 5x 2x B x x 2 x 2 x B B x 2 2x x 2 5x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 3x x x x B x 2 x 2 B 2x2 4x x 2 x 2 B 2x x 2 2x x 2 x 2 x Vậy B 2x x2 c) Đặt P A.B Tìm x để P �1 Ta có: P � P A.B x 2x 2x � 2 x 1 x x 1 2x x 1 � 2x �0 x 1 � 2x x2 �0 x2 x2 ۣ 2x x2 x2 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 49 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH � x x �0 (do x x ) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � x x 1 �0 � x 1 �0 Câu (luôn đúng) Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: với x ��2 P �1 (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình Hai lớp 8A 8B trường có tổng 95 học sinh Trong đợt quyên góp sách tặng em học sinh vùng lũ lụt học sinh lớp 8A ủng hộ quyển, học sinh lớp 8B ủng hộc Tính số học sinh lớp, biết hai lớp ủng hộ 379 Lời giải * Gọi số học sinh lớp 8A x , (học sinh, x �� , x 95 ) Số học sinh lớp 8B 95 x (học sinh) Số lớp 8A ủng hộ 5x 95 x Số lớp 8B ủng hộ Theo cho, hai lớp ủng hộ 379 vở, nên ta có phương trình: x 95 x 379 � x 3x 285 379 � x 94 � x 47 (thỏa mãn điều kiện) Câu Vậy số học sinh lớp 8A 47 học sinh, số học sinh lớp 8B 48 học sinh (2 điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: a) x 1 x 3 x x x 12 0 b) x x 3 x x x x 1 x � x x 2x 5x 1 12 d) c) Lời giải x 1 x 3 x a) � x 3x x � 2 x 13 � x 13 13 � � S � � �2 Vậy tập nghiệm phương trình x x 12 0 b) x x 3x x � 2 x x 12 0 x 3 x x x DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 1 50 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐKXĐ: x �0; x �3 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Với x �0; x �3 , ta có: 1 � x x 2 x 1 x 12 0 x x x 3 x x x � x x x x 12 � x x 21 � x 3 x x 3 � �� x7 � x3 � �� x 7 � Kết hợp với ĐKXĐ, ta có x không thỏa mãn, x 7 thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình c) x x 1 x � x S 7 � x x x �x x � x x x x x �0 � x �0 ۳ 3x ۳ x 4 � 4� S �x x � � � Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x 2x 5x 1 12 d) � x x 24 x 24 24 24 24 � x x 24 x � x 16 x 24 10 x � 8 x 48 � 8 x 48 � x Vậy tập nghiệm bất phương trình Câu S x x 6 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A BD Gọi I giao điểm AH BD a) Chứng minh : ABD ∽ HBI AB AC Kẻ đường cao AH , phân giác b) Chứng minh : AB BH BC Tính AH BH 9cm , HC 16cm c) Chứng minh : AID cân DA DC.IH DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 51 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG d) Gọi K hình chiếu C BD , P hình chiếu K AC , Q trung điểm BC Chứng minh K , P , Q thẳng hàng Lời giải a) Chứng minh : ABD ∽ HBI Xét ABD HBI có: � BHI � 90� DBA � � ABD HBI ( BD đường phân giác ABC ) � ABD ∽ HBI (g – g) b) Chứng minh : AB BH BC Tính AH BH 9cm , HC 16cm Xét ABH ABC có: � BAC � 90� BHA � ABH chung � ABH ∽ CBA (g – g) AB BH BC AB � AB BH BC BC BH HC 16 25 cm Ta có: Mà AB BH BC (cmt) � � AB 9.25 225 � AB 15 cm Xét ABH vng H có: AH AB BH (Pytago) � AH 152 92 144 � AH 12 cm c) Chứng minh : AID cân DA DC.IH � DIA � Ta có: BIH (đối đỉnh) � � BIH BDA ( ABD ∽ HBI ) � BDA � � DIA � AID cân A DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 52 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Xét BAH có: BI đường phân giác (gt) IA BA � IH BH Xét BAC có: BD đường phân giác (gt) DC BC � DA BA AB BH AB BC Mà BC AB (cmt) hay BH AB IA DC � IH DA � IA.DA DC.IH Lại có: IA DA ( AID cân A ) � DA DC.IH (đpcm) d) Gọi K hình chiếu C BD , P hình chiếu K AC , Q trung điểm BC Chứng minh K , P , Q thẳng hàng Xét BCK vng K có: KQ đường trung tuyến ( Q trung điểm BC ) � KQ QB QC BC � KQB cân Q � QBK � � QKB � 2CBK � � � CQK ( CQK góc ngồi KQB ) � � Mà ABC 2CBK ( BD đường phân giác ABC ) � � � CQK ABC Mặt khác: hai góc vị trí đồng vị � KQ // AB Ta có: KP AC ( P hình chiếu K AC ) AB AC ( ABC vuông A ) � KP // AB Mà KQ // AB (cmt) KQ � K , P , Q thẳng hàng (0,5 điểm) Cho x , y , z ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: KP Câu 1 1 1 � x yz yzx zx y x y z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a , b ta có: a b �2 ab � a b �4ab ۳ ab ab ab DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 53 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1 � � a b a b (*) Vì x , y , z ba cạnh tam giác nên x y z ; y z x ; z x y dương Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 1 � x y z y z x 2y y 1 � y zx zx y z 1 � x yz z x y x � 2 2 2 � x yz yzx z x y x y z 1 1 1 � x y z y z x z x y x y z (điều phải chứng minh) Dấu “=” xảy � x y z y z x z x y � �x yz DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 54 PHONE: 0983.265.289 ... 0 98 3 .26 5. 2 89 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Lập bảng xét dấu: x 2 2x - 1 2x || 2x 2x 1 4x2 - x2 - 1 - 4x x2 - 4 x x 2 x 1 x2 1 Nếu x x2 x x2 + x - 1 x 2. .. x? ?2 x 4 x? ?2 5x 2x B x x 2? ?? x 2? ?? x B B x 2? ?? 2x x 2? ?? 5x x 2? ?? x 2? ?? x 2? ?? x 2? ?? x 2? ?? x 2? ?? 3x x x x B x 2? ?? x 2? ?? B 2x2... là: 9) S x / x 3 x2 2x �1 x2 � x2 2x �0 x2 ۳ x2 2x x2 x2 ۳ x2 x x2 x2 2x 1 ۳�? ?2? ??0 x 3 ۳ x 2 x x x 1� � S �x / x � � � Vậy tập nghiệm bất phương