Toán học Ôn tập phần giới hạn hàm số38145

Lời nói đầu Trong chương trình toán trung học phổ thông,tính giới hạn ứng dụng giới hạn phần quan trọng mà thường xuyên học sinh phải sử dụng Tuy nhiên giới hạn dÃy số thường khó với học sinh học sinh trung bình Nhưng đề thi đại học thường có giới hạn hàm số chứa tỷ lệ lớn nên em gặp thường em làm tốt Tôi viết chuyên đề nhằm mục đích đưa phương pháp tính giới hạn thường sử dụng rộng dÃi ; để thầy cô em tham khảo góp ý cho tác giả Rất mong quý thầy cô em học sinh quan tâm góp ý cho đề tài hoàn thiện Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Tác giả Hoàng quý - Thpt lương tài SĐT:01686.909.405 Mục lục Phần I giới hạn dÃy số A - Các kiến thức cần nhớ B - Giới hạn dÃy số Dạng I : Các toán giới hạn Dạng Tìm giới hạn biÕt biĨu thøc truy håi cđa d·y sè PhÇn ii : Giới hạn hàm số A - Các kiến thức cần nhớ B- Các dạng toán I / dạng sin x x x III/ Giíi h¹n d¹ng: 1 II/ Giíi h¹n d¹ng : lim iV/ Giới hạn dạng Mũ lôgarit V/ SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN Phần iII : ứng dụng giới hạn A- Sử dụng giới hạn để tìm tiệm cận hàm số: B- Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục Phần iV Giới thiệu số đề thi DeThiMau.vn Phần I giới hạn dÃy số A - Các kiến thức cần nhớ 1) Định nghĩa DÃy số un có giới hạn a với số dương cho trước ( nhỏ tuỳ ý ) tồn số tự nhiên N cho víi mäi n > N th× un  a   Ta viÕt lim un  a viết lim un a n Các định lý +) Định lý Nếu (un) dÃy số tăng bị chặn có giới hạn Nếu (un) dÃy số giảm bị chặn có giới hạn +) Định lý Các phép toán giới hạn dÃy số +) Định lý [Nguyên lý kẹp giữa] Giả sử ba d·y sè tho¶ m·n:  un  wn víi n  N * vµ lim  lim wn  a th× lim un  a n  n n Các giới hạn +) lim C  C vµ lim q n  víi q  n  n   un +) NÕu un   th× 0 un +) NÕu un  th× CÊp số cộng cấp số nhân +) Cho u1 , u2 , , un , lµ cÊp sè cộng với công sai d Khi đó: un un1  d  u1  (n  1)d vµ n n Sn  u1  u2   un  [u1  un ]  [2u1  (n  1)d] 2  +) Cho  u1 , u2 , , un , cấp số nhân với công bội q với q Khi đó: un  un1q  u1q n 1 u1 (1  q n ) vµ Sn  u1  u2   un  1 q B - Giíi h¹n dÃy số Dạng I : Các toán giới hạn Phương pháp chung : +) sử dụng biểu thức liên hợp +) Sử dụng định lý giới hạn +) Sử dụng tổng Lưu ý : Ta sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn song đề thi đại học việc sử dụng định nghĩa , nên chuyên đề đề cập vấn đề liên quan thi đại học toán bám sát đề thi đại học thường sử dụng định lý quan trọng giới hạn DeThiMau.vn Ví dụ1 : Tìm giới hạn sau :  n3  3n  2009  n  1/ lim ( n  n   n) / lim 13  23   n3 3/ lim n n4    1 / lim      n n2  n2  n n Giải : Nhân với biểu thức liên hợp n2 n n n n n 1 1/ lim ( n  n   n)  lim n / lim n n  n  n 1  n  n  3n  2009  n  lim 3  lim n 1 n  1 1  1 n n 1 3n  2009 n (n3  3n  2009)  n( n3  3n  2009  n)  n =1 n  n  1 13  23   n3 3/ lim lim   n n n  n4      1 / lim      n n2  n2  n   n 1 1   Ta cã n2  n n2  n2 1   n2  n n2  n2   1   n2  n n2  n n2 n 1 n      Céng l¹i : n2  n n2  n2  n2  n n2  n   n   1; lim  Ta cã : lim    1 2 n n  n 1   n    1 lim     VËy  1 2 n n  n  n  n   DeThiMau.vn VÝ dô : Tìm giới hạn sau : 2009n 2008n1 1/ lim n 2009 n 1  2010   3  n   2/ Cho d·y  xn  cho xn  1  1  1   1    n  n *  n  n  n   n  TÝnh lim  ln xn  n n  2008   2008. n n 1  2009  2008  2009   Gi¶i : 1/ lim  lim n n 2009 n 1  2010 n 2009   2009  2010    2009    3  n   Gi¶i : 2/ Cho d·y  xn  cho xn  1  1  1   1    n  n *  n  n  n   n  TÝnh lim  ln xn  n x2 Ta ®i chøng minh x   ln 1  x   x  x   (*) x2 ThËt vËy xÐt f  x   ln 1  x   x   x   vµ g  x   x  ln 1  x  x   DƠ dµng chøng minh hàm số đồng biến với x > suy điều phải chứng minh (*) 3 n      Ta cã : ln xn  ln 1    ln 1    ln 1     ln 1    n   n   n   n  i i i  i  ¸p dơng (*)   ln 1    i  1, n n n  n  n n  n  1 n  n  1 n  n  1 2n  1 VËy   ln xn  2n 2n 2n n  n  1 n  n  1 1 n  n  1 2n  1 Ta cã lim Vµ lim    x x 2 2n 2n 2n VËy lim  ln xn   n   DeThiMau.vn D¹ng Tìm giới hạn biết biểu thức truy hồi dÃy số Phương pháp chung : +) Ta xác định số hạng tổng quát d Ãy số Để xác định số hạng tổng quát ta thường sử dụng cấp số cộng ; cấp số nhân ; phương pháp quy nạp toán học ; phương trình tuyến tính sai phân phép rút gọn đơn giản u1 * n VÝ dô Cho d·y sè (un) xác định bởi: với n N un1  un    5  T×m lim un n Gi¶i Theo gi¶ thiÕt ta cã: n 1 n2 n 3 1 1 1 1 un  un1    ; un1  un2    ; un2  un3    ;…… ; u2  u1    5 5 Cộng vế đẳng thức ta cã: n1 n 1 1 1 1 1 1 1 un  u1            =1            5 5 5 5 5 5   n  1     n n 5 1           1     = Ta cã: lim un  lim 1      n n 4         1 u1  VÝ dô Cho d·y sè  un xác định : un1 un n N * Tìm lim un n Giải Ta cã d·y sè  un  chÝnh lµ d·y un      n dau Ta chứng minh dÃy số un có giới hạn Đặt lim un  a x Chun qua giíi h¹n ta cã a  a   a  1; a un nên lim un x VÝ dô   Cho f  n   n  n   XÐt d·y un  Gi¶i :  f 1 f  3 f   f  2n  1 n un  n  N * T×m nlim  f   f   f   f  2n     f  n   n  n    n   n  1  1   DeThiMau.vn f  2n  1  2n  1   f  2n   2n  12   2n  1   12  32  1 Suy : un  1 1  2n  12  2n2  2n  Suy : lim n un  n VÝ dô u1 Cho dÃy số (un) xác định bëi:  víi n  un u   u  n1 n 2009  a) CMR: (un) dÃy tăng b) CMR: (un) dÃy không bị chặn u u u c) Tính giới hạn: lim     n  n u un1   u3 Gi¶i un a) Ta cã: un1  un   với n un dÃy tăng 2009 b) (Phương pháp phản chứng) Giả sử (un) dÃy bị chặn Do dÃy tăng nên có giới hạn, tức là: lim un a a n Mặt khác lấy giới hạn vế đẳng thức đà cho ta cã: a2 a  a  a  (vô lý) 2009 Chứng tỏ (un) dÃy không bị chặn trên, tức là: lim un n un1 un c)Từ giả thiết ta biến đổi: 1 un un     un un1 2009un1 2009 un 1  2009(  ) un1 un un1 Suy ra: u1 1 u 1 u 1  2009(  ) ;  2009(  ) ;; n  2009(  ) u2 u1 u2 u3 u2 u3 un1 un un1 u u 1 u   VËy lim     n  = lim 2009    =2009 n n u u u u u n 1  n 1   Cho dÃy số (un) xác định bởi: Ví dô u1  5; un1  un2  un   n N * n §Ỉt    n  N * T×m xlim  u  k 1 k   DeThiMau.vn  un  32  vµ un  u1  ( nÕu dÃy bị chặn có giới hạn ) Gi¶ sư d·y lim un  a  a (Phương pháp phản chứng) Giải : Ta cã un1  un  x Tõ gi¶ thiÕt chuyển qua giới hạn a a  a   a  v« lý vËy lim un   x  uk  uk    uk 1  3   uk  3 uk   5 1     uk 1   uk  3 uk   uk  uk  1    uk  uk  uk 1  n 1 1 1     Do ®ã   VËy lim  x u1  un1  un1  k uk Mặt khác : uk Các tập tương tự u1 0; u2 Bài Cho dÃy số (un) xác ®Þnh bëi:  un1  un un  a) CMR: un1   un  b) Xác định công thức tổng quát (un) theo n c) T×m lim un n  0  x n  1, n   Bµi Cho dÃy số (xn) xác định bởi: x n1 (1  x n )  a) CMR: (xn) dÃy số tăng b) Tìm lim x n n Bài Tính giới hạn sau: 1/ lim ( n  3n   n) n / lim (2n  4n  5n  1) 3/ lim (2n  8n3  1) n n 12  22   n / lim n 3n3 2009 Bài Tính giíi h¹n sau:   1     a) lim  n 1.2 n ( n  )   b) lim (1  n  DeThiMau.vn 1 )(  ) (  ) 22 32 n2 Phần ii : Giới hạn hàm số A - Các kiến thức cần nhớ 1) Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định K trừ điểm a K Ta nãi hµm sè f(x) cã giíi hạn L ( hay dần tới L) x dÇn tíi a nÕu víi mäi d·y sè  xn  xn  K , xn  an  N * cho lim xn  a th× lim f  xn   L x a f  x   L hay f  x   L Ta viết : lim x a 2) Các định lý Định lý (Cỏc phộp toỏn v gii hn hàm số ) ( víi lim f  x   A;lim f  x   B ) x a x a lim  f (x)  g(x)   lim f (x)  lim g(x) x a x a x a lim  f (x).g(x)   lim f (x).lim g(x) x a x a x a lim f (x) f (x)  x a  lim g(x)   lim x  a g(x) lim g(x)  x a  x a lim f (x)  lim f (x)  f  x    x a x a Định lý 2:Nếu hàm số có giới hạn giới hạn Định lý 3:Cho hàm số g(x),f(x),h(x) xác định khoảng K chứa a g(x)  lim h(x)  L g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu lim x a x a lim f (x)  L x a  f (x) f (x)   lim 0 Nếu lim x a x  a f (x) f (x)  lim Định lý 4: Nếu lim x a x a Định lý 5:(giíi hạn đặc biệt) lim x sin ax x s inx  1  ; lim  ; lim x 0 x  sinx ax x ax 1 x  sin ax *Các dạng vô định: lim   2) D¹ng     4) D¹ng     0  1) D¹ng   0  3) D¹ng     Phương pháp chung : Khử dạng vô định +) Ph©n tÝch thõa sè +) Nh©n víi biĨu thøc liên hợp thường gặp DeThiMau.vn ; A B có biểu thức liên hợp A B A B có biểu thức liên hợp A B A B có biểu thức liên hợp A2  AB  B A B có biểu thức liên hợp A2 B A B +) Đặt biến phụ +) Thêm bớt số biểu thức B- Các dạng toán I ) dạng Dạng I : Phân tích thừa số M lim Tìm giới hạn sau : Ví dụ Gi¶i : M= lim x n  nx  n   x  1 x1 x n  nx  n   x  1 x1  lim  n  N * ( x n  1)  n( x  1)  x  12 x1 x n1  x n2   x   n ( x n1  1)  ( x n2  1)   ( x  1) M  lim  lim x1 x1  x  1  x  1 M= VÝ dô n  n  1     x ( x  1)  x Tìm giới hạn sau : Q lim  x3  x 1 x x 1 Giải : Đây dạng   Ta cã Q  lim   x  1 x  x  x 1   Do x   1 nªn Q  lim  x  x   x 1 x  x  1 ( x  1)  x  1 x  x  1 0 ( x  1) x 1 L­u ý : Đây toán học sinh rÊt dÔ viÕt sai viÕt :   Q  lim  x  x  x x 1  0 x  x 1      Q  lim  x  x   D¹ng II   Thêm bớt nhân liên hợp DeThiMau.vn  4x   6x x 0 x2  x  1  x   1  x    x Gi¶i : N  lim x 0 x2   x  1  x  1  x    x  N  lim    x x2 x2 Nhân biểu thức liên hỵp   2   4x 12 x  x N  lim    2 x0 x (  x  1  x ) 2 3  x 1  x   1  x   x  1  x       Rót gän vµ Kq : N = VÝ dơ T×m giíi hạn sau : N lim Ví dụ Tìm giíi h¹n sau : P  lim   x  a  x  b  x  c    x  m  x  n x Giải : Đây dạng Ta chuyển dạng vô định khác P lim ( x  a  x  b  x  c   x)  ( x   x  m  x  n  )   x Xét giới hạn sau : P1 lim (  x  a  x  b  x  c   x)   x   ( 1  ay 1  by cy 1 Đặt x Ta cã P1  lim   y 0 y y   P2  lim  x   x  m  x  n    x abc mn Nhân với biểu thức liên hợp P1  vµ P2   abc mn Vậy P Ta có toán tỉng qu¸t : a  a  an P  lim  n  x  a1  x  a1   x  an   x  x n Dạng III Đặt biÕn phơ VÝ dơ R  lim T×m giíi hạn sau : x Giải : Đặt n  ax  y  x  n  ax   n  N *; a  R * x yn  x  th× y  a 10 DeThiMau.vn y 1 a  lim  y 1 y n  y 1 y n 1  y n    11 n a a m  ax n bx Dạng tổng quát : Tìm giới hạn 1/ lim x x m n  ax  bx  / lim  n  n * x 0 x m  P( x)  2 Gi¶ sư P  x   a1 x  a2 x   an x  n  N * TÝnh 3/ lim x 0 x Ta cã : R  lim sin x 1 x 0 x sin f x x a Tổng quát : lim 0  (*) víi f  x   x a f  x II/ Giíi h¹n d¹ng : lim 1) Các toán : Các giới hạn ( với a 0; b ): sin ax a x 0 x 1/ lim sin ax a  x0 sin bx b tan ax a x 0 x / lim 3/ lim 2) Phương pháp cos ax a x x2 / lim a) Phương pháp : B1) Nhận dạng giới hạn B2) Sử dụng công thức lượng giác ; nhân với biểu thức liên hợp Thêm bớt ;đặt biến phụ B3) Đưa toán dạng (*) B4) Tìm kết b) Yêu cầu : +) Học sinh nhớ công thức lượng giác - Công thức cộng - Công thức nhân đôi ; nhân ba ; hạ bậc - Công thức biến tổng thành tích ; tích thành tổng +) Học sinh nhớ biểu thức liên hợp 3) áp dụng A- Loại 1( sử dụng phép biến đổi lượng giác ) Phương pháp : Trong phương pháp tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu phương pháp sử dụng công thức lượng giác ; thêm bớt ;nhuần nhuyễn ; đua dạng (*) Ví dụ Tìm giới hạn sau :  cos x A  lim x 0 x2 11 DeThiMau.vn x x  2sin sin    cos x  lim =1/2  lim Gi¶i : Ta cã lim   2 x 0 x 0 x 0  x  x x   ( Cã thĨ nh©n liên hợp với 1+cosx ) cos ax cos bx x 0 x2 B  lim VÝ dô Tìm giới hạn sau : Giải : Ta có cos ax  cos bx  2lim x 0 x 0 x2 lim sin ab a b x sin x b2  a 2 = x2  cos x cos x cos3 x x 0 x2  cos x  cos x  cos x cos x  cos x cos x  cos x cos x cos3 x Gi¶i : C  lim x 0 x2 1  cos x (1  cos x)cos x 1  cos3 x  cos x cos x  C  lim     x 0 x2 x2  x Làm tương tự C = x2 Ví dụ Tìm giới hạn sau : D  lim x x 2 cos  x   x   suy D  16 x 4 Gi¶i : D  lim  lim  x x 2   x 2   cos sin    x   4  sin x VÝ dô Tìm giới hạn sau : E lim x 2cos x Ví dụ Tìm giới hạn sau : C  lim Gi¶i: E  lim x  sin x 3  4sin x   2cos x     sin x 3   cos x  sin x  4cos x      lim    lim    2cos x  2cos x x x 3 Rút gọn E Các tập tương tự 1/Tính giới hạn sau: 12 DeThiMau.vn  cos2 x 1/ lim ;( ) ; x 0 xsin 2x 2/ lim x 0  sin x  cos x ; (-1);  sin x  cos x sin(x  1) sin x  cos x 5/ ; lim ;(1)  x 1 x  4x  4x   x x cos x  x ;(1); x 0 x 2sin x cos2 3/ lim / lim(x  4)sin ;(3); x  x 4/ lim 2/TÝnh c¸c giíi h¹n sau:  cos x cos x cos3 x cos nx 1/ lim  n  N * x 0 x2     cos  cos x  cos  x  tan( x  a ) tan( x  a )  tan a 2     / lim 3/ lim / lim x0 sin(tan x ) x1 x 0 1 x x2 x  / lim tan x tan(  x) 5/ lim 1  x  tan  x1 x B-Lo¹i (Nhân với biểu thức liên hợp) Phương pháp : Trong phương pháp tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp ; thêm bớt nhân liên hợp chứa bậc 2;3 chủ yếu (có thể làm c¸ch kh¸c)   cos x VÝ dơ Tìm giới hạn sau : C lim x sin x Giải : Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp lim x   cos x  lim x 0 sin x    cos x     cos x    cos x sin x   cos x   lim x 0   cos x    cos x sin x x   cos x 2  lim lim suy KQ: C = x 0 x0 (   cos x )sin x sin x 2sin  cos x cos x x 0 x2 Gi¶i : Thêm bớt nhân liên hợp cos x (1  cos x )cos x   cos x  cos x  cos x cos x   B  lim lim   x 0 x 0 x2 x2  x Ví dụ2 Tìm giới hạn sau : B lim 13 DeThiMau.vn    (1  cos x) 1  cos x  (1  cos x )  cos x cos x     B  lim 2 x 0  x (1  cos x)  x (1  cos x )    sin x sin 2 x cos x  B  lim    x0 x (1  cos x ) x (1  cos x )   Các tập tương tự Tính giới hạn sau: cos x  cos x  cos x3 1/ lim / lim x 0 x0  cos x sin x cos( x  1)  cos 2( x  1) / lim x1 x2  x2 2 x2 sin x  sin B=5/2  cos x x0  cos x 3/ lim sin  x 5/ lim x1  cos  x 1  cos x cos x x 0 1 x 1 / lim / lim C-Lo¹i (đặt biến phụ) Phương pháp : Trong phương pháp tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu phương ph¸p sư dơng c¸c biÕn phơ   cos  x Ví dụ Tìm giới hạn sau : A  lim   x1 1 x Gi¶I: Đặt x-1= y Ta có x=y+1 : x  th× y       cos  ( y  1)  cos  y   sin  2 2    lim 2 Ta cã A  lim  lim  y 0 y 0 y 0 y y y Ví dụ Tìm giới hạn sau : Giải: Đặt x    y   B  lim tan x tan(  x)  x  y Ta cã x  y  : x y      Ta cã B  lim tan  y   tan( y )   lim tan  y   tan y  lim cot  y  tan y y 0 y 0 y 0 4 2   cos y sin y cos y 1 B  lim  lim  y 0 sin y cos y y 0 2cos y cos y 14 DeThiMau.vn Ví dụ Tìm giới hạn sau : A  lim 1  x  tan x x1 Giải : Đặt y x Ta có x= 1-y x y   1  y  y   y   lim y tan    lim y cot A  lim y tan  y 0 y 0 2  2  y 0 y cos 2 A  lim y y  y sin Các tập tương tự Tính giới hạn sau: (Sử dụng phương pháp đặt Èn phơ ®ỉi biÕn)    tgx  ;(0) lim   x   cos x  tgx  sin x ;( ); x 0 x   lim   x  tgx;(1);  x   ;lim  cos3x ;( ) x 0 sin xtgx lim    1   sin x     lim tgx lim tg2xtg   x  ;( ); lim   ;( );    ;( );   x  tgx x cos x x x      sin  2  III/ Giíi h¹n d¹ng: lim 1  x  tg x 1 Phương pháp : Dạng tỉng qu¸t S  lim  f  x   x a g x 1) NÕu lim f  x   A vµ lim g  x   B th× S  AB x a x a 2) Nếu A B ta có kết 3) Nếu A=1 B ta đặt f(x)=1+h(x) Ta có : S  lim 1  h( x)  g x KÕt qu¶ : e (  -bÊt kú) x a x 4) Đặc biệt : lim    e vµ lim 1  x  x  e x 0 x  x   Tỉng qu¸t : lim 1   x a f x     f  x x a  e víi f  x    x a lim 1  f  x   f  x   e víi f  x   0 x a T=0 nÕu a1  a2 x  a x  b1  Ta cã kÕt qu¶ sau : T  lim    a1; a2   x a x  b  2  15 DeThiMau.vn T   nÕu a1  a2 x ;( )  T e x  1 VÝ dơ T×m giíi h¹n : A  lim  x  x    1 A  lim 1   x  x Gi¶i : x2 b1 b2 a1 nÕu a1  a2 x2    x   2  lim  1    1    e3 x   x    x   cos x x2 Ví dụ Tìm giới hạn : B  lim  x0  cos x   cos x cos x  cos x  x2 cos x  cos x  cos xcos x  Gi¶i : B  lim 1  ( )   lim 1  ( ) x 0  x  cos x cos x    cos x cos x cos x x x 3x 2sin sin cos x  cos x 2  lim  XÐt giíi h¹n: lim VËy B  e x 0 x 0 x2 x2 tan x Ví dụ Tìm giới hạn : C lim sin x  x  Gi¶i : Ta cã C  lim sin x  tan x x Đặt y Khi C  lim  cos y  cot y y 0  x x 2sin 2y y   lim 1  2sin  2sin y 0  2 sin y  y vµ x   th× y  y cos y rót gọn KQ: C=1 Bài Tập Tính giới hạn x 1  2 2) lim   ;(e ); x  x    x x  h 1) lim 1   ;(e h ); x   x 4) lim x 1  x 1  cos 4(x  ; 3) lim 1  sin x  x ;(e) x 0 10x 1  x 1  5) lim   x  x    ; 6) lim x cos 3x x iV/ Giới hạn dạng Mũ lôgarit: e f x x a Phương pháp : +) Dạng tổng quát : P lim f  x   0 x a f  x   Q  lim ln 1  f  x   x a f  x ex  1 x 0 x 16 +) D¹ng bản: 1/ lim DeThiMau.vn ; x a  f  x   0  ln 1  x  1 x 0 x / lim ax 1 +) KÕt qu¶ : 1/ lim  ln a  a  0; a  1 x 0 x log 1  x  / lim a   a  0; a  1 x 0 ln a x e ax  ebx VÝ dụ Tìm giới hạn : A lim x 0 x ax  e ax  1  ebx  e    ebx Gi¶i : Ta cã A  lim  lim     a b x 0 x 0 x x x   e x  cos x VÝ dụ Tìm giới hạn : B lim x 0 x2 2 e x  cos x e x    cos x Gi¶i : Ta cã B  lim  lim x 0 x 0 x2 x2  e x2  1  cos x  B  lim    x 0 x x   a x xa Ví dụ Tìm giới hạn : C  lim  a  0; a  1 x a x  a x a  1 a a  x a a x  xa a a Gi¶i : Ta cã C  lim  lim(a   )  a a  ln a  1  x a x  a x a xa  xa  ln x  ln a  a  0; a  1 x a xa VÝ dô Tìm giới hạn : D lim a x a 1 x x a x  a  x a a x a Gi¶i : Ta cã D  lim ln    lim ln 1    x a x a a  a a ln cos ax Ví dụ Tìm giới hạn : E  lim  a; b   x0 ln cos bx ln 1  cos ax  1 ln 1  cos ax  1  cos ax   cos ax  Gi¶i : Ta cã E  lim  lim   x0 ln 1  cos bx  1 x0 ln 1  cos bx  1  cos bx   cos bx  a E b Ví dụ Tìm giới hạn : F lim x ln x x 0 Gi¶i : Ta cã F  lim x ln x  lim ln x x  lim ln 1  x  1 x 0 x 0 F  lim ln 1  x  1 x x 0 x 1 x x 1 x 0 17 DeThiMau.vn    lim  ln 1  x  1 x1  x 0   x x 1 0 Bµi tËp TÝnh giới hạn Dạng - Lôgarit log (x 1)  2) lim x 0 x 1 ex  x  1)lim (DHGT) x 0 x  x1  4) lim x  a  1  a>0  x    5) lim x 0 eax  ebx 3) lim x 0 sin ax  sin bx sin x n  sin x  lnx-1 x  e x-e 6) lim m sin x  sin x  x-sin x 7) lim   x 0  x  lnsin x   x x2 8) lim a b c  9) lim   x 0   x x x x  a;b;c>0  a 10) lim  x 0  x+1 x 1 b c abc x 1   lntan   ax  4  12) lim x 0 sin bx  1+x2 x  x2 11) lim   x  1+x3x      x (a;b;c>0) ln cos ax x  ln cos bx 13) lim a x  ab 14)lim xb x  b V- SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HN Bài toán: Tính giới hạn P x x x0 Q  x  L  lim D¹ng ( ) 1)Phương pháp chung: Ta biến đổi giới hạn dạng sau: Ta L = xlim x f ( x )  f ( x0 )  f '( x0 ) ( c«ng thøc tính đạo hàm x0 ) x x0 : 18 DeThiMau.vn VÝ dơ Cho hµm sè y  [ f ( x )]g ( x ) , ®Ĩ tÝnh giới hạn lim y mà: x x0 1) lim f ( x )  vµ lim g( x )   D¹ng 1 x  x0  x  x0 2) lim f ( x )   lim g( x ) Dạng  3) lim f ( x )  lim g( x )  D¹ng   x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 Chuyển dạng 0 , ta áp dụng dạng Để tính giới hạn cụ thể ta làm bước sau : B1/ Xét hàm số f x phù hợp với biểu thức toán B2/ Tính f a =? Vµ f ' x   ? Vµ f ' a   ? B3/ ViÕt biÓu thøc theo công thức tính đạo hàm B4/ Kết 2)Các ví dơ minh ho¹: VÝ dơ 1: TÝnh giíi h¹n sau A  lim x 1 2x 1  x x 1 Gi¶i: B1) XÐt f  x   x   x 2 B2) f(1)=0 ; f '  x    x  f ' 1  2x  x  0 (  x  3 f 1 f  x   f 1 f x B3) A  lim  lim  f ' 1  x 1 x 1 x 1 x 1 B4) KL:A=5/3 VÝ dô 2: TÝnh giíi h¹n sau x  3x  B = lim x 1 x 1 Gi¶i: XÐt cã: f (1)  , f ( x )  x  x  , ta 19 DeThiMau.vn f '( x )  x  3  f '(1)    2 3x  Khi ®ã: L = lim x 1 f ( x )  f (1)  f '(1)  x 1 VÝ dơ 3: TÝnh giíi h¹n C = lim x 0  x   sin x 3x    x Gi¶i: Viết lại giới hạn dạng: x   sin x x C = lim x 0 3x    x x XÐt f ( x )   x   sin x , ta cã f (0)  ; f '( x )    cos x  f '(0)  x Đặt g( x ) x   x , ta cã g(0)  ; g '( x )    g '(0)   3x  f ( x )  f (0) f '(0) x 0 Khi ®ã: C = lim  0 x 0 g ( x )  g (0) g '(0) x Nhận xét: Để tính giới hạn phương pháp thông thường ta phải làm sau 20 DeThiMau.vn ... Các định lý +) Định lý Nếu (un) dÃy số tăng bị chặn có giới hạn Nếu (un) dÃy số giảm bị chặn có giới hạn +) Định lý Các phép toán giới hạn dÃy số +) Định lý [Nguyên lý kẹp giữa] Giả sử ba d·y... dụng định lý giới hạn +) Sử dụng tổng Lưu ý : Ta sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn song đề thi đại học việc sử dụng định nghĩa , nên chuyên đề đề cập vấn đề liên quan thi đại học toán bám sát... 14)lim xb x  b V- SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HN Bài toán: Tính giới hạn P x x x0 Q  x  L  lim D¹ng ( ) 1)Phương pháp chung: Ta biến đổi giới hạn dạng sau: Ta L = xlim x f ( x ) 