ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG ƯỜNG THCS ĐA LỘC NĂM HỌC: 2012 – 2013 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5.0 điểm ) Rút gọn biểu thức sau a b c A = 3x x x B = 3 3 C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α) Bài 2: (4.0 điểm) Giải phương trình a x x x x b x x 36 x Bài 3: (4.0 điểm) a Cho số nguyên dương a; b; c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab Xét tổng M = a + b có phải số phương khơng? Vì sao? b Cho x; y x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P 20 11 x y xy Bài 4: (5.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi M trung điểm HC; N trung điểm AC AM cắt HN G Đường thẳng qua M vng góc với HC đường thẳng qua N vng góc với AC cắt K Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Từ suy SAEF = SABC cos BAC b BH.KM = BA.KN c GA5 GB GH 4 GM GK GN Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt Mz thay đổi ln vng góc với M cắt Ax, By theo thứ tự C D tạo góc AMC Xác định số đo để tam giác MCD có diện tích nhỏ Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… DeThiMau.vn Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MƠN: TỐN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt Ý 1,5 4 x 2; x ( x 2) x x 2 x 2; b B ( 1) ( 1) 1,5 = | 1| | 1| 2 = = Suy A = a 5.0 neu x neu x sin cos )(1 sin ) (1 )(1 cos ) = cos sin sin cos )(cos ) (1 )(sin ) = (1 cos sin sin cos cos sin 1 cos sin = cos sin =2 2 cos sin cos sin x ĐK: x x x x x (x x ) C (1 c 2a 2.0 4.0 2b 2.0 x ; Học sinh đối chiếu ĐK kết luận nghiệm x ( x 2)( x 1) x 4 ĐKXĐ: x ( x x 16) (3 x x 4.4 16) ( x 4) ( x 4) x x x 4(tm) (a b)c ab (a c)(b c) c 3a 2.0 Gọi UCLN a-c b-c d c d c d a d ; b d mà a; b; c số đôi nguyên tố nên d = Do a-c b-c hai số phương Đặt a-c = p2; b-c = q2 ( p; q số nguyên) c2 = p2q2 c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 số phương 20 10 20 20 80 20 2 2 Ta có x y xy xy x y xy x y xy ( x y ) Mà x y 20 20 20 2 x y xy Nên Dấu x = y =1 P 4.0 3b 2.0 Điểm 0.5x3 0.5 0.4x5 0.5x4 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0.5 0,5 Mặt khác : xy ( x y ) 22 1 1 Nên xy Dấu xảy 4 x = y =1 Vậy giá trị nhỏ P 21 x = y =1 DeThiMau.vn 0,5 0.5 0.5 A 0.5 F E K N H G B D M C AE AF ACF vuông F nên cos CAF AB ; AC Tư chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên S AEF AE 2 cos BAC S S cos BAC AEF ABC S ABC AB AEB vuông E nên cos BAE 4a 2.0 5.0 4b 1.5 4c 1.5 ABH MNK có BAH NMK ; ABH MKN (Góc có cạnh tương ứng song song) BA BH Suy AHB đồng dạng với MNK ( g.g); BA.KN BH KM KM KN AB AH AHB đồng dạng với MNK nên ( Vì MN đường TB tam giác AHC); MK MN AG HG Lại có: 2; ( G trọng tâm tam giácAHC) MG NG AB AG Mặt khác BAG GMK ( so le trong) MK MG ABG đồng dạng với tam giác MKG (c.g.c) GB GA5 GH GB GA5 GH GB GA GH 32 2 GK GM GN GK GM GN GK GM GN GB GA5 GH 4 GK GM GN 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 DeThiMau.vn MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có AMC BDM ; a b ab MC = , MD = ; SMCD = cos sin cos.sin Ta có : SMCD = 1.0 Do a,b số nên SMCD nhỏ 2sin.cos lớn Theo bất đẳng thức 2xy x2 +y2 ta có : 2sin.cos sin2 +cos2 = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab sin = cos sin = sin(900) = 900 = 450 AMC BMD vuông cân Vậy SMCD = ab x Khi = 450 ; C,D xác định tia Ax ; By cho AC = AM , BD = BM y D C A DeThiMau.vn a ( M b B 0.5 ... sin cos sin x ĐK: x x x x x (x x ) C (1 c 2a 2.0 4.0 2b 2.0 x ; Học sinh đối chiếu ĐK kết luận nghiệm x ( x 2)( x 1) x 4 ĐKXĐ: x ( x x 16) ...Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MƠN: TỐN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt Ý 1,5 4 x 2; x ... Mặt khác : xy ( x y ) 22 1 1 Nên xy Dấu xảy 4 x = y =1 Vậy giá trị nhỏ P 21 x = y =1 DeThiMau.vn 0,5 0.5 0.5 A 0.5 F E K N H G B D M C AE AF ACF vuông F nên cos CAF AB ; AC Tư