Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Trường THCS Đa Lộc Toán 937791

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG ƯỜNG THCS ĐA LỘC NĂM HỌC: 2012 – 2013 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5.0 điểm ) Rút gọn biểu thức sau a b c A = 3x  x  x  B = 3  3  C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α) Bài 2: (4.0 điểm) Giải phương trình a x x  x  x  b x  x  36  x  Bài 3: (4.0 điểm) a Cho số nguyên dương a; b; c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab Xét tổng M = a + b có phải số phương khơng? Vì sao? b Cho x; y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P 20 11  x y xy Bài 4: (5.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi M trung điểm HC; N trung điểm AC AM cắt HN G Đường thẳng qua M vng góc với HC đường thẳng qua N vng góc với AC cắt K Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ฀ Từ suy SAEF = SABC cos BAC b BH.KM = BA.KN c GA5  GB  GH 4 GM  GK  GN Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt Mz thay đổi ln vng góc  với M cắt Ax, By theo thứ tự C D tạo góc AMC   Xác định số đo  để tam giác MCD có diện tích nhỏ Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… DeThiMau.vn Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MƠN: TỐN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt Ý 1,5 4 x  2;  x  ( x  2)  x  x    2 x  2; b B       (  1)  (  1)  1,5 = |  1|  |  1| 2 =     = Suy A = a 5.0 neu x  neu x  sin  cos   )(1 sin ) (1 )(1  cos  ) =    cos  sin  sin  cos   )(cos ) (1 )(sin  ) =  (1    cos  sin  sin   cos  cos   sin  1   cos  sin  =  cos   sin  =2 2 cos  sin  cos  sin  x  ĐK: x x  x  x   x (x   x )  C  (1  c 2a 2.0 4.0 2b 2.0 x  ; Học sinh đối chiếu ĐK kết luận nghiệm  x ( x  2)( x  1)    x  4 ĐKXĐ: x  ( x  x  16)  (3 x   x  4.4  16)   ( x  4)  ( x   4)   x   x     x  4(tm) (a  b)c  ab  (a  c)(b  c)  c 3a 2.0 Gọi UCLN a-c b-c d  c  d  c  d  a  d ; b  d mà a; b; c số đôi nguyên tố nên d = Do a-c b-c hai số phương Đặt a-c = p2; b-c = q2 ( p; q số nguyên) c2 = p2q2  c = pq  a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 số phương 20 10 20 20 80     20  2 2 Ta có x y xy xy x y xy x  y  xy ( x  y ) Mà x  y  20 20   20 2 x y xy Nên Dấu x = y =1 P 4.0 3b 2.0 Điểm 0.5x3 0.5 0.4x5 0.5x4 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0.5 0,5 Mặt khác : xy  ( x  y ) 22  1 1 Nên xy Dấu xảy 4 x = y =1 Vậy giá trị nhỏ P 21 x = y =1 DeThiMau.vn 0,5 0.5 0.5 A 0.5 F E K N H G B D M C   AE AF ACF vuông F nên cos CAF  AB ; AC Tư chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên   S AEF AE 2 cos   BAC  S  S cos BAC AEF ABC S ABC AB AEB vuông E nên cos BAE  4a 2.0 5.0  4b 1.5 4c 1.5    ABH MNK có BAH  NMK ; ABH  MKN (Góc có cạnh tương ứng song song) BA BH Suy AHB đồng dạng với MNK ( g.g);    BA.KN  BH KM KM KN AB AH AHB đồng dạng với MNK nên   ( Vì MN đường TB tam giác AHC); MK MN AG HG Lại có:  2;  ( G trọng tâm tam giácAHC) MG NG   AB AG    Mặt khác BAG  GMK ( so le trong) MK MG  ABG đồng dạng với tam giác MKG (c.g.c) GB GA5 GH GB  GA5  GH GB GA GH     32    2 GK GM GN GK  GM  GN GK GM GN  GB  GA5  GH 4 GK  GM  GN 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 DeThiMau.vn   MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có AMC  BDM  ; a b ab MC = , MD = ; SMCD = cos sin  cos.sin  Ta có : SMCD = 1.0 Do a,b số nên SMCD nhỏ  2sin.cos lớn Theo bất đẳng thức 2xy  x2 +y2 ta có : 2sin.cos  sin2 +cos2 = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab  sin = cos  sin = sin(900)   = 900   = 450  AMC BMD vuông cân Vậy SMCD = ab x Khi  = 450 ; C,D xác định tia Ax ; By cho AC = AM , BD = BM y D  C A DeThiMau.vn a ( M b B 0.5 ... sin  cos  sin  x  ĐK: x x  x  x   x (x   x )  C  (1  c 2a 2.0 4.0 2b 2.0 x  ; Học sinh đối chiếu ĐK kết luận nghiệm  x ( x  2)( x  1)    x  4 ĐKXĐ: x  ( x  x  16) ...Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MƠN: TỐN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt Ý 1,5 4 x  2;  x ... Mặt khác : xy  ( x  y ) 22  1 1 Nên xy Dấu xảy 4 x = y =1 Vậy giá trị nhỏ P 21 x = y =1 DeThiMau.vn 0,5 0.5 0.5 A 0.5 F E K N H G B D M C   AE AF ACF vuông F nên cos CAF  AB ; AC Tư