Đề thi chọn học sinh giỏi trại hè Hùng Vương lần thứ XI môn thi: Toán lớp: 1036621

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI MƠN THI: TỐN - LỚP: 10 (Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Câu 1(4 điểm) Giải hệ phương trình  y2  y  x  (2 y  1) x  y x       y  y   x    y  y        Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC vng A, có đường cao AK Trong tam giác ACK, kẻ đường phân giác AE Gọi M trung điểm AC Gọi N giao điểm đường thẳng ME với AK Chứng minh BN AE song song với Câu (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh  4a  4b  4c   1  1  1  25   b  c  c  a  a  b  Câu (4 điểm) Trong đội niên tình nguyện gồm 2015 người, bốn người chọn người quen với ba người cịn lại Hỏi có người đội quen với tất cả? Câu (4 điểm) Cho đa thức P( x)  ( x  2)( x  3)( x  36) Chứng minh với số nguyên tố p tìm số tự nhiên n để P(n) chia hết cho p Hết ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN KHỐI 10 Câu Nội dung cần đạt Câu 1(4 điểm) Giải hệ phương trình Điểm  y2  y  x  (2 y  1) x  y x       y  y   x    y  y        x  ĐKXĐ:   y  0;2 y  y   y2  y  x  (2 y  1) x  y   y1 x    y 4.0đ 1.5 x 1 x      y  1  x Thay vào pt thứ hai ta  x   x  1 x   3   x   x   x   3  x   x 1  x   x 1   x   x   2x    2x   x   x      ( x  8)    x   x 1  x   0 x 1    y  2 1 Thoả mãn điều kiện.Vậy hệ có nghiệm x; y   (8, 2  1) Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC vng A, có đường cao AK Trong tam giác ACK, kẻ đường phân giác AE Gọi M trung điểm AC Gọi N giao điểm đường thẳng ME với AK.Chứng minh 0.5 4.0đ BN AE song song với (Kí hiệu AEB góc AEB) Ta có AEB=ACE+CAE, BAE=BAK+KAE, ACB=ABE, CAE=KAE 1đ Do AEB=BAE hay tam giác ABE cân B Kẻ đường cao EP tam giác ABE Ta EP=AK EP//AC Kết hợp với định lý Talet ta có AK EP BP BK    AC AC BA BE ThuVienDeThi.com 1đ Theo tính chất đường phân giác ta lại có Do AK EK  AC EC BK EK  (1) BE EC Áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác ACK với ba điểm đường thẳng cắt AC M, CK E AK N, ta có 1đ MC NA EK EK NK 1  (2) MA NK EC EC NA Từ (1) (2) suy NK BK   BN / / AE (Theo định lý Talet đảo) NA BE 1đ Câu (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh  4a  4b  4c   1  1  1  25 (1)   b  c  c  a  a  b  4.0đ Không giảm tổng quát, giả sử c số lớn ba số a, b, c Đặt S = a+ b+ c, R= ab + bc+ ca, P= abc 0.5 (1)  ( S  3a)( S  3b)( S  3c)  25( S  a)( S  b)( S  c)  S  3S (a  b  c)  S (ab  bc  ca)  27 abc  25[ S  S (a  b  c)  S (ab  bc  ca)  abc]  S  SR  27 P  25( SR  P) 1.5đ  S  SR  13P  0.(2) Ta chứng minh (2) Thật vậy, VT (2)  (a  b  c)3  4(a  b  c)(ab  bc  ca)  13 =(a  b  c)[(a  b  c) -4(ab  bc  ca)]  13abc = (a  b  c)[(a  b  c) -4ab]  13abc 1.5đ =(a  b  c)(a  b  c) -4ab(a  b  c)  13abc  (a  b  c)(a  b  c)  ab(9c  4a  4b)  (do 9c  4a  4b  c  0) Vậy ta có điều phải chứng minh 0,5đ Câu (4 điểm) Trong đội niên tình nguyện gồm 2015 ThuVienDeThi.com 4.0đ người tỉnh bốn người chọn người quen với ba người cịn lại Hỏi có người quen với tất cả? Rõ ràng xảy trương hợp 2015 người quen tất Nếu có hai người không quen nhau, giả sử A B Khi 2013 người cịn lại quen lẫn có hai người C, D 2013 người khơng quen nhóm bốn người A, B, C, D khơng có quen với ba người cịn lại Nếu A, B quen với 2013 người cịn lại ta có 2013 người quen với tất Nếu A khơng quen với người C 2013 người cịn lại Khi xét nhóm A, B, C, D (với D người khác C nhóm 2013 người lại) tồn người quen với người cịn lại Rõ ràng người phải D, nghĩa D quen với A, B Như 2012 người trừ A, B, C quen với tất Vậy số người quen với tất 2012, 2013, 2015 Câu (4 điểm) Cho đa thức P( x)  ( x  2)( x  3)( x  36) Chứng minh với số nguyên tố p tìm số tự nhiên n để P(n) 0.5 đ 1đ 2.5đ 4.0đ chia hết cho p Nếu p =2 ta chọn n =2 P(2) chia hết cho Nếu p =3 ta chọn n =3 P(3) chia hết cho Xét số nguyên tố p > Giả sử không tồn số tự nhiên n để P(n) chia hết cho p 1đ Ta có với n  ฀ (n  2)(n  3)(n  36) không chia hết cho p Suy n2 không đồng dư với mod p, n2 không đồng dư với mod p Suy 2, số khơng phương mod p Do p 1 6  1(mod p),3 p 1 p 1  1(mod p)  1(mod p) Suy số phương mod p Tồn số tự nhiên k cho  k (mod p)  36  k (mod p) ThuVienDeThi.com 2đ Do tồn số tự nhiên m = k2 để m2  36(mod p)  P(m) p Mâu thuẫn với giả sử, hay giả sử sai Vậy ta có điều phải chứng minh ThuVienDeThi.com 1đ ... Cho đa thức P( x)  ( x  2)( x  3)( x  36) Chứng minh với số nguyên tố p tìm số tự nhiên n để P(n) 0.5 đ 1đ 2.5đ 4.0đ chia hết cho p Nếu p =2 ta chọn n =2 P(2) chia hết cho Nếu p =3 ta chọn. .. phải chứng minh 0,5đ Câu (4 điểm) Trong đội niên tình nguyện gồm 2015 ThuVienDeThi.com 4.0đ người tỉnh bốn người chọn người quen với ba người lại Hỏi có người quen với tất cả? Rõ ràng xảy trương... 36  k (mod p) ThuVienDeThi.com 2đ Do tồn số tự nhiên m = k2 để m2  36(mod p)  P(m) p Mâu thuẫn với giả sử, hay giả sử sai Vậy ta có điều phải chứng minh ThuVienDeThi.com 1đ