SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề thi thức HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT CHU KỲ 2011 – 2015 Mơn thi: TỐN Thời gian làm 180 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1.(4,0 điểm) a Hãy trình bày đường dạy học định lí tốn học Nêu hoạt động củng cố định lý toán học b Trong SGK lớp 12 (NXB Giáo dục) có định lí: “ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K Nếu f '(x) , x K hàm số f(x) đồng biến K Nếu f '(x) , x K hàm số f(x) nghịch biến K ” Hãy nêu bốn ứng dụng định lí (khơng cần ví dụ) để giải số dạng tập toán Câu (4,0 điểm) a Hãy nói rõ chức tập tốn dạy học tốn bậc THPT b Hãy nêu hai quy trình giải tốn: “ Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo không gian tọa độ Oxyz biết phương trình tham số hai đường thẳng ” Câu (5,0 điểm) xy x 7y a Cho hệ phương trình: 2 ( x, y ) x y xy 13y Giải hệ phương trình hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác cosx +sinx dx x (e sinx +1)sinx b Tính tích phân: I Câu 4: (4,0 điểm) a Nêu định hướng giúp học sinh giải toán sau cách: “ Chứng minh hình bình hành, tổng bình phương cạnh tổng bình phương hai đường chéo ” b Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M, N, P theo thứ tự tia SA, SB, SC cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c số thực) Chứng minh mặt phẳng (MNP) qua trọng tâm G tam giác ABC a + b + c = Nêu mệnh đề đảo tốn Mệnh đề hay sai, sao? Câu 5: (3,0 điểm) a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x) x x 3 đoạn 0;5 b Cho số thực a,b,c thỏa mãn a b c a b c Chứng minh rằng: (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) -Hết DeThiMau.vn Họ tên thí sinh……………………………………….SBD…………………………… Câu Ý Nội dung Điểm a Các đường dạy học định lí tốn học - Con đường suy diễn Gồm bước: Tạo động cơ, suy diễn để đến định 0,5 lí, phát biểu định lí, củng cố vận dụng định lí SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HƯỚNG DẪN CHẤM HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI - Con đường có khâu suy đốn BẬC (quy nạp) Gồm cácKỲ bước: Tạo động cơ, phát THPT CHU 2011 – 2015 định lí, phát biểu định lí, chứng minh định lí, củng cố vận dụng định 0,5 lí Đáp án: MƠN TỐN Các hoạt động củng cố định lí: (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) 0,5 - Nhận dạng thể định lí - Hoạt động ngơn ngữ: phát biểu định lí, phát biểu định lý theo dạng khác 0,25 - Khái qt hóa, đặc biệt, hệ thống hóa định lí 0,25 b Nêu bốn ứng dụng định lí cho - Xét biến thiên hàm số 0,5 - Chứng minh hàm số đồng biến,nghịch biến 0,5 - Chứng minh bất đẳng thức 0,5 - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 0,5 - Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - Chứng minh phương trình có nghiệm - Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình, hệ pt có nghiệm ( Thí sinh nêu đủ bốn ý cho điểm tối đa ) a Chức tập tốn - Chức dạy học: Hình thành, củng cố cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ 0,5 xảo giải toán - Chức giáo dục: Rèn luyện tư biện chứng, lôgic, gây hứng thú 0,5 niềm tin, hình thành phẩm chất đạo đức người học - Chức phát triển: Phát triển tư duy, lực, nhận thức 0,5 - Chức kiểm tra: Kiểm tra, đánh giá mức độ, kết dạy học, trình độ 0,5 học sinh Hoàn chỉnh bổ sung kiến thức học b Nêu quy trình: Giả sử d1, d2 có phương trình theo tham số t, k Quy trình 1: + Lấy A, B thuộc d1; d2, tính AB (theo t, k), tìm vtcp u1 u d1, d2 0,25 AB.u + Điều kiện để AB đoạn vng góc chung d1, d2 là: 1 (*) 0,25 AB.u + Giải hệ (*) tìm t, k từ tìm A, B 0,25 + Viết phương trình đường thẳng qua A, B 0,25 Quy trình 2: + Tìm vtcp u1 u d1, d2 chọn vtcp đường vng góc chung 0,25 đường vng góc chung d u u1 ;u + Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 có vtpt n u1 ;u 0,25 + Tìm giao điểm M (P) d2 0,25 0,25 + Viết phương trình đường thẳng d qua M có vtcp u a (1) xy x 7y Giải hệ 2 ( x, y ) (*) x y xy 13y (2) DeThiMau.vn Giải cách 1: Xét y = 0, từ (2) suy = (vơ lí) x x y y x Xét y 0: (*) Đặt u x , v y y x x 13 y y y u v u v (*) u u 20 u 5 v 12 u v 13 x 4 y y u 3y 4y + Nếu ta có hệ y v x 3 y 1 Khi hệ có nghiệm: 3;1 ; 1; 3 u 5 + Nếu , giải tương tự ta có hệ vơ nghiệm v 12 1 Vậy hệ cho có nghiệm: 3;1 ; 1; 3 7y y 1 36y 33y3 5y y (3) 0,5 0,5 0,5 0,5 Hướng dẫn cách 2: Từ (1) suy y 1 rút x theo y: x 0,25 - Thế vào (2) đưa pt: 0,25 - Phân tích (3) thành nhân tử : (y - 1)(3y - 1)(12y2 + 5y + 1) = - Suy pt có nghiệm: y 1, y , tìm x, kết luận nghiệm hệ 0,25 0,25 b e x (cosx +sinx) dx Đặt e x sinx = t dt e x sinx + cosx dx x x e sinx.(e sinx +1) I Đổi cận x t e ;x te 2 I e2 e = ln e dt t(t 1) t t 1 e6 1 dt t t 1 a 0,5 e2 0,5 e 6 e 2 ln e 1 0,5 0,5 Giả sử cho hình bình hành ABCD, chứng minh: AB2 + BC2 + CD2+ DA2 = AC2 + BD2 (*) DeThiMau.vn Cách 1: Sử dụng công thức đường trung tuyến 0,25 + Gọi O tâm hình bình hành ABCD suy O trung điểm AC, BD 0,25 + Áp dụng công thức đường trung tuyến tam giác ABC, ACD 0,25 + Cộng đẳng thức ta có (*) 0,25 Cách 2: Sử dụng véctơ 0,25 + Chuyển từ bình phương độ dài bình phương vơ hướng 0,25 + Do ABCD hình bình hành nên có AB DC;AD BC 0,25 + Biến đổi tương đương (*) 0,25 Cách 3: sử dụng định lý cosin + Áp dụng định lý cosin tam giác ABC + Áp dụng định lý cosin tam giác ABD + Do tính chất hình bình hành nên cosA +cosD = 0, công đẳng thức lại, từ suy (*) ( Thí sinh nêu đủ hai cách cho điểm tối đa ) b Mệnh đề đảo: Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M, N, P theo thứ tự tia SA, SB, SC cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c số thực) Chứng minh a + b + c = mặt phẳng (MNP) qua trọng tâm G tam giác ABC Chứng minh mệnh đề Do G trọng tâm tam giác ABC nên SG SA SB SC SA Mà SA SM a.SM , tương tự SB b.SN ; SC c.SP SM a b c Suy SG SM SN SP (1) 3 a b c a b c Từ giả thiết ta có : (2) 3 3 3 b c b c Từ (1) , (2) suy SG (1 )SM SN SP 3 3 b c b c SG SM (SN SM) (SP SM) MG MN MP (3) 3 3 Vì MN, MP khơng phương nên từ (3) ta có M, N, P, G đồng phẳng, suy mặt phẳng (MNP) qua trọng tâm G tam giác ABC a 0,25 0,25 0,25 0,25 f(x) = x (5 x)3 hàm số liên tục đoạn [0; 5] f(x) x(5 x)3/ x (0;5) f ’(x) = x (5 x) f ’(x) = x 5; x Ta có : f(2) = , f(0) = f(5) = 0,5 0,5 0,5 Vậy Max f(x) = f(2) = , Min f(x) = f(0) = 0,5 (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) (a b)(b c)(a c)(ab bc ca) (*) Đặt vế trái (*) P Nếu ab + bc + ca < P suy BĐT chứng minh Nếu ab + bc + ca , đặt ab + bc + ca = x 0,25 x[0;5] b 1,0 x[0;5] DeThiMau.vn (a c)3 a b b c (a c) (a-b)(b-c) (a - b)(b - c)(a - c) (1) 4 Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2 2(a - c)2 + [(a - b) + (b - c)]2 = 2(a - c)2 + (a - c)2 = 3(a - c)2 Suy 4(5 - x) 3(a - c)2 ,từ ta có x a c (5 x) (2) 0,25 0,25 3 4 x (5 x)3 (3) Từ (1) , (2) suy P x (5 x) = 3 Theo câu a ta có: f(x) = x (5 x)3 với x thuộc đoạn [0; 5] P Vậy (*) chứng minh Dấu xảy a = 2; b = 1; c = nên suy P - Hết - DeThiMau.vn 0,25 ... GD&ĐT NGHỆ AN HƯỚNG DẪN CHẤM HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI - Con đường có khâu suy đoán BẬC (quy nạp) Gồm cácKỲ bước: Tạo động cơ, phát THPT CHU 2011 – 2015 định lí, phát biểu định lí, chứng minh định... đường dạy học định lí tốn học - Con đường suy diễn Gồm bước: Tạo động cơ, suy diễn để đến định 0,5 lí, phát biểu định lí, củng cố vận dụng định lí SỞ GD&ĐT NGHỆ AN HƯỚNG DẪN CHẤM HỘI THI GIÁO VIÊN... nêu đủ bốn ý cho điểm tối đa ) a Chức tập tốn - Chức dạy học: Hình thành, củng cố cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ 0,5 xảo giải toán - Chức giáo dục: Rèn luyện tư biện chứng, lôgic, gây hứng