Đại số và giải tích – Hình học 11 (các công thức cơ bản)35272

Đ I S GI I TÍCH – HÌNH H C 11 Đ I S 11 – CHƯƠNG : CÔNG TH C LƯ NG GIÁC Đ IS I Giá tr lư ng giác c a góc (cung) lư ng giác Đ nh nghĩa giá tr lư ng giác α= = α α= = α α α= = α α+   π α ≠ + π    α= ; α = + α= = (α ≠ π ) GI I TÍCH – HÌNH H C 11 H th c b n: α α= α = + α α Giá tr lư ng giác c a góc có liên quan đ c bi t Góc đ i Góc bù Góc ph π  −α = α π −α = α α  −α  = α   π   −α  =   π   −α  =   π   −α  =   Nh n xét: • ∀α − ≤ α≤ − ≤ • tanα xác đ nh α ≠ π α≤ + π • cotα xác đ nh α ≠ π ∈ • α+ π = α • • α+ π = α • D u c a giá tr lư ng giác Ph n tư Giá tr lư ng giác Cosα Sinα Tanα Cotα Giá tr lư ng giác c a góc đ 00 II III IV + + + + c bi t – + – – – – + + + – – – π π π 300 450 600 900 1200 1350 cos cot I π 1 α − − − –1 − –1 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 α π −α = − α −α = − α π −α = − α −α = − α π −α = − α α π 0 α+ π = π sin tan α+ π = ∈ −α = − π π π 1800 2700 3600 –1 –1 0 Trang α α π Góc π Góc π +α = − α π   +α  =   π +α = − α π   +α  = −   α α π +α = α π   +α  = −   α π +α = α π   +α  = −   α II Công th c lư ng giác Công th c c ng + − + − = = = = H qu : α + − − + π  +  +α  = −   α α + = − = − + π  −  −α  = +   GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ThuVienDeThi.com + − α α Trang Đ IS GI I TÍCH – HÌNH H C 11 Đ IS Đ IS Cơng th c nhân đơi • α= • α = α α α • α = α− • α = α− α α Công th c h b c − α α = − α= α= α = HÀM SIN Công th c nhân ba (*) α= α− α= Công th c bi u di n sina, cosa, tana theo t = α = α = + − : − = − =− + − = + − + − + = − = + = − α = α− α=  π α +  =    π α −  = −   π  + π  HÀM COTANG  ∈   *TXĐ + *T p giá tr T = R, hàm l , *TXĐ *Chu kỳ *y = tan(f(x)) xác ñ nh ≠ ⇔ π + π ∈ {π = ∈ }; *T p giá tr T = R, hàm l =π *y = tan(ax + b) có chu kỳ  π α −     π α +    π = − = = * y = cos(f(x)) xác ñ nh xác ñ nh ⇔ − = * y = cos(ax + b) có CK : = * Chu kỳ − α+ π =  ; hàm ch n, = π * Chu kỳ HÀM TANG + − + = + =  − *T p giá tr * y = sin(f(x)) xác đ nh ⇔ xác đ nh Cơng th c bi n đ i t ng thành tích +  ; hàm l *y = sin(ax + b) có CK : α = + *TXĐ : D = R = π *Chu kỳ α α =  − *T p giá tr α − = *T p xác ñ nh D = R; α α− HÀM COSIN = α α− α= α α − + α T P XÁC Đ NH, T P GIÁ TR , TÍNH CH!N – L", CHU KỲ α + α− = − GI I TÍCH – HÌNH H C 11 11 – CHƯƠNG : HÀM S LƯ NG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC I –HÀM S LƯ NG GIÁC = =π π *y = cot(ax + b) có chu kỳ = π *y = cot(f(x)) xác ñ nh ⇔ ≠ π ∈ Cơng th c bi n đ i tích thành t ng =  − + +  =  − − +  =  − + GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 + * y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 hàm s = ± có chu kỳ T0 b i chung NN c a T1 T2  Trang GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ThuVienDeThi.com Trang Đ IS GI I TÍCH – HÌNH H C 11 Đ$ TH C%A HÀM S 1) – – – Đ IS LƯ NG GIÁC V& ñ' th hàm s lư ng giác: Tìm t p xác đ nh D – Tìm chu kỳ T0 c a hàm s Xác ñ nh tính ch n – l (n u c n) L p b ng bi n thiên m t đo n có đ dài b ng chu kỳ T0 có th ch n : ∈   ho c  ∈ −  − – – R i suy ph n đ th cịn l i b ng phép t nh ti n theo vectơ = – v bên trái ph i song song v i tr c hồnh Ox (v i véc tơ đơn v tr c Ox) 2) M t s phép bi n ñ i ñ' th : a) T ñ th hàm s y = f(x), suy ñ th hàm s y = f(x) + a b ng cách t nh ti n ñ th y = f(x) lên tr c hồnh a đơn v n u a > t nh ti n xu ng phía dư i tr c hồnh a đơn v n u a < b) T ñ th y = f(x), suy ñ th y = –f(x) b ng cách l y ñ i x ng ñ th y = f(x) qua tr c hoành =  = − ≥ < − π π π π π 2π T nh ti n theo véctơ π = ta ñư c ñ th y = sinx Nh n xét: – Đ th m t hàm s l nên nh n g c t a ñ O làm tâm ñ i x ng V đ th đo n có đ dài b ng chu kỳ Đ th −π π –1  …  – c) GI I TÍCH – HÌNH H C 11  Hàm s ĐB kho ng  π π  ngh ch bi n      π  Ví d 2: V& ñ' th hàm s y = f(x) = cosx – T p xác ñ nh: D = R – T p giá tr :  − – Chu kỳ: T = π – x π y ñư c suy t ñ th y = f(x)  B ng bi n thiên  π π π  π –1 b ng cách gi nguyên ph n đ th y = f(x) phía Ox l y ñ i x ng ph n ñ th y = f(x) n m phía dư i tr c hồnh qua Ox Ví d 1: V& đ' th hàm s y = f(x) = sinx – T p xác ñ nh: D = R – T p giá tr :  − – Chu kỳ: T = π –B ng bi n thiên ño n  x π π  π − π  −π − – π 2π π T nh ti n theo véctơ = π ta ñư c ñ th y = cosx Nh n xét: – Đ th m t hàm s ch n nên nh n Oy làm tr c ñ i x ng  π  π – Hàm s ĐB kho ng   NB kho ng  π  –1  GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 π π π –1 π y π Trang  GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ThuVienDeThi.com   Trang Đ IS GI I TÍCH – HÌNH H C 11 Ví d 3: V& đ' th hàm s y = f(x) = tanx π  – T p xác ñ nh: D = R  + π ∈  –  – Gi i h n: – Chu kỳ: T = π  ⇒ =∞ →±π =± π Đ IS – T p giá tr : R GI I TÍCH – HÌNH H C 11 T nh ti n theo véctơ = π ta ñư c ñ th y = cotx Nh n xét: – Đ th m t hàm s l nên nh n g c t a ñ O làm tâm ñ i x ng – Hàm s gi m t p xác ñ nh D ti m c n ñ ng  π π  :   – B ng bi n thiên  − − π π − π − ∞ −π − π π π π π π Ví d 5: V& đ' th y = – sinx –V ñ th y = sinx – T ñ th y = sinx, ta suy ñ th y = –sinx b ng cách l y ñ/x ng qua Ox –∞ y = –sinx − π π − π π π π π π –2( − −π π − π π π π π –1 – T nh ti n theo véctơ = π ta ñư c đ th y = tanx Ví d 6: V& ñ' th Nh n xét: – Đ th m t hàm s l nên nh n g c t a ñ O làm tâm ñ i x ng – Hàm s ln đ ng bi n t p xác đ nh D Ví d 4: V& đ' th hàm s y = f(x) = cotx – T p xác ñ nh: D = R { π ∈ } – T p giá tr : R – Gi i h n: – Chu kỳ: T = π = +∞ → → π − π  = ! π ≥ " π π π = − ∞ ,ti m c n ñ ng: x = 0, x = π – BBT ño n  π  π = Ví d 7: V& đ' th hàm s y = + cosx – V ñ th y = cosx – T ñ th y = cosx, ta suy ñ th = + lên tr c hoành ñơn v th = π ∞ b ng cách t nh ti n ñ –∞ GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ThuVienDeThi.com Trang Đ IS – GI I TÍCH – HÌNH H C 11 B ng bi n thiên ño n  x π  : π π π y = cosx Đ IS π Ví d 9: V& đ' th y = cos2x – y = cos2x có chu kỳ T = π – B ng bi n thiên ño n  π  : –1 π x − 2x −π 2 y = + cosx GI I TÍCH – HÌNH H C 11 − 1 − π π π π π π y = cos2x 0 –1 −π − π π π π π –1 Ví d 8: V& ñ' th – x − π −π 2x π y = sin2x − π − π π π 0 π  : π II PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CƠ B N π π π Phương trình sinx = sinα α  =α + = α ⇔  • =  = # + π ⇔  + π  =π − #  = π −α + π π π ∈ π ∈ − ≤ ≤ Các trư)ng h p ñ c bi t π • =− • = • =− • –1 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 π • π –1 − π –1 − π y = sin2x y = sin2x có chu kỳ T = π - BBT ño n  π –1 Trang ⇔ ⇔ =± ⇔ ⇔ = − π   −    = =  π  −    = ⇔ = • =− • = ⇔ = π • = ⇔ = ⇔ ⇔ = GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ThuVienDeThi.com ⇔ =− π = π + π ∈ + π π ∈ + π ∈ Trang 10 Đ IS • • • GI I TÍCH – HÌNH H C 11 Phương trình cosx = cosα α = α ⇔ = ±α + π = =± # ⇔ =− ∈ π + ∈ • = ⇔ = π   −    • =− ⇔ = π   +    • =± • =− • = • = ⇔ = Phương trình tan x = tanα α = α ⇔ =α+ π • • ⇔ ⇔ ⇔ = π   −    = π   +    Phương trình cotx = cotα α = α ⇔ =α+ π π = π • = • =− ⇔ =π+ ⇔ = ⇔ = π • • • • ⇔ = = =− • =± a) * ⇔ ⇔ =± = π + π − ∈ = =± ⇔ ⇔ • = • =± Phương trình ch a cotx u ki n: * PT ch a c tanx cotx u ki n ≠ ≠ ⇔ ≠ • ≠ ⇔ ≠ π + π ∈ π ∈ ∈ =± + π = # ∈ + π ∈ ⇔ = ⇔ =± π ≠ π ≠ GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 π ∈ t = cosx + + = t = tanx ≠ + + = t = cotx ≠ π = = + π ∈ ∈ ≤ ≤ Đi u ki n ñ PT có nghi m : + ≥ Cách 1: ∈ (1) ⇔ + π π III PHƯƠNG TRÌNH B C NH.T THEO SINX VÀ COSX D NG: a sinx + b cosx = c (1) + π + π π − ≤ ≤ + = N u ñ t: • π ∈ + ∈ π π ≠ II PT B C HAI Đ I V,I M-T HÀM S LƯ NG GIÁC D ng Đ t Đi*u ki n − ≤ ≤ t = sinx + + = + π π ⇔ Khi tìm đư c nghi m ph i ki m tra ñi u ki n Ta thư#ng dùng m t cách sau ñ ki m tra ñi u ki n: 1.Ki m tra tr$c ti p b ng cách thay giá tr c a x vào u ki n 2.Dùng đư#ng trịn lư ng giác 3.Gi i phương trình vơ đ nh + ∈ M t s ñi*u c+n ý: Khi gi i phương trình có ch a hàm s tang, cotang, có m!u s ho c ch a b c ch n, nh t thi t ph i ñ t ñi u ki n ñ phương trình xác ñ nh π ∈ Phương trình ch a tanx ñi u ki n: ≠ + π * • • b) ∈ = π ⇔ =± + π = # ⇔ =± ∈ Các trư)ng h p ñ c bi t • GI I TÍCH – HÌNH H C 11 Phương trình có m!u s : ≠ ⇔ ≠ π ∈ ≤ Các trư)ng h p ñ c bi t • = − = ⇔ ⇔ =− − ≤ Các trư)ng h p đ c bi t • = π− = ⇔ ⇔ Đ IS * • = + ⇔ + −α = + = β ⇔ =α±β + π ∈ + α = (v i Cách 2: a) Xét (α ∈  α = + =π+ π ⇔ π  ) ) + = π + π có nghi m hay không? ∈ b) Xét ∈ Trang 11 ≠π + π ⇔ ≠ GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ThuVienDeThi.com Trang 12 Đ IS Đ t: GI I TÍCH – HÌNH H C 11 = = − = + ta ñư c PT b c hai theo t: Đ IS + + − + − Qui t0c c ng: M t công vi c phương án A ho c B N án B có n cách th$c hi phương án A cơng vi = Gi i (3), v i m%i nghi m t0, ta có phương trình: = D NG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1: • Ki m tra cosx = có tho mãn (1) hay khơng? π Lưu ý: cosx = ⇔ = + π ⇔ = ⇔ • Khi ≠ =± , chia hai v phương trình (1) cho + + = ≠ ta ñư c: + − ⇔ + + + + − − − (ñây PT b c nh t ñ i v i sin2x cos2x) V PHƯƠNG TRÌNH Đ I X NG D ng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c =  π • Đ t: = ± = ≤  ∓   ⇒ • ⇒ = ± − Thay vào PT ñã cho, ta ñư c PT b c hai theo t Gi i PT tìm t th&a ≤ Suy x D ng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = • Đ t: = ± =  π  ∓    =± ≤ ≤ − $ = (n–p+1).(n–p+2)…n $ $ $ $ = − − − + = $ − $ • Cơng th c cho trư#ng h p k = ho c k = n • Tương t$ d ng Khi tìm x c n lưu ý PT ch a d u giá tr t ñ i GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 $ − Hốn v vịng quanh : Cho t p A g m n ph n t' M t cách s(p x p n ph n t' c a t p A thành m t dãy kín đư c g i m t hốn v vịng quanh c a n ph n t'.S hốn v vịng quanh c a n ph n t' là: Qn = (n – 1)! III Ch2nh h p Ch2nh h p (không l p): Cho t p h p A g m n ph n t' M%i cách s(p x p k ph n t' c a A (1 ≤ k ≤ n) theo m t th t$ ñư c g i m t ch2nh h p ch p k c a n ph+n t3 c a t p A.S ch)nh h p ch p k c a n ph n t': ⇒ • n2, …, nk) c a k ph n t' là: Pn(n1, n2, …, nk) =  =± $ = (p+1).(p+2)…n (v i n>p) $ (v i n>p) Hốn v (khơng l p): M t t p h p g m n ph n t' (n ≥ 1) M%i cách s(p x p n ph n t' theo m t th t$ đư c g i m t hoán v c a n ph n t' S hoán v c a n ph n t' là: Pn = n! Hoán v l p : Cho k ph n t' khác nhau: a1, a2, …, ak M t cách s(p x p n ph n t' ñó g m n1 ph n t' a1, n2 ph n t' a2, …, nk ph n t' ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo m t th t$ đư c g i m t hốn v l p c p n ki u (n1, n2, …, nk) c a k ph n t' S hoán v l p c p n, ki u (n1, = = có th đư c th$c hi n theo m t hai u phương án A có m cách th$c hi n, phương n không trùng v i b t kì cách c có m + n cách th$c hi n Qui t0c nhân: M t cơng vi c có th bao g m hai cơng đo n A B N u cơng đo n A có m cách th$c hi n ng v i m%i cách có n cách th$c hi n cơng đo n B cơng vi c có m.n cách th$c hi n II Hốn v Giai th1a: •n! = 1.2.3…n •Qui c: 0! = • n! = (n–1)!n • Cách 2: Dùng công th c h b c ⇔ GI I TÍCH – HÌNH H C 11 Đ I S 11 – CHƯƠNG : T/ H P – XÁC SU.T I Qui t0c đ m Trang • Khi k = n 13 = Pn = n! GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ThuVienDeThi.com Trang 14 Đ IS GI I TÍCH – HÌNH H C 11 Đ IS Ch2nh h p l p: Cho t p A g m n ph n t' M t dãy g m k ph n t' c a A, m%i ph n t' có th ñư c l p l i nhi u l n, ñư c s(p x p theo m t th t$ nh t ñ nh ñư c g i m t ch)nh h p l p ch p k c a n ph n t' c a t p A S ch)nh h p l p ch p k c a n ph n t': = IV T h p T h p (không l p) : Cho t p A g m n ph n t' M%i t p g m k (1 ≤ k ≤ n) ph n t' c a A ñư c g i m t t h p ch p k c a n ph+n t3 S t+ h p ch p k c a n ph n t': • Qui c: Tính ch t: = = = = = $ = $ − $ $ =1 − T h p l p: Cho t p A = − − = + = − { } − + − s t$ nhiên k b t kì M t t+ h p l p ch p k c a n ph n t' m t h p g m k ph n t', m%i ph n t' m t n ph n t' c a A S t+ h p l p ch p k c a n ph n t': = + − = − + − Phân bi t ch2nh h p t h p: • Ch)nh h p t+ h p liên h b i công th c: = $ + Khơng th t$, khơng hồn l i: + Có th t$, khơng hồn l i: + Có th t$, có hồn l i: V Nh th c Newton Công th c khai tri n nh th c Newton: + = ∑ − 5) = = , + = + Nh n xét : N u khai tri n nh th c Newton, ta gán cho a b nh ng giá tr ñ c bi t ta s thu đư c nh ng cơng th c đ c bi t Ch,ng h n: (1+x)n = n (x–1) = ⇒ + − + + − − + + − + + ⇒ + − = + + − = VI Bi n c xác su t Bi n c • Khơng gian m!u Ω: t p k t qu có th x y c a m t phép th' • Bi n c A: t p k t qu c a phép th' làm x y A A ⊂ Ω • Bi n c khơng: ∅ • Bi n c ch(c ch(n: Ω • Bi n c đ i c a A: = Ω • H p hai bi n c : A ∪ B • Giao hai bi n c : A ∩ B (ho c A.B) • Hai bi n c xung kh(c: A ∩ B = ∅ • Hai bi n c đ c l p: n u vi c x y bi n c khơng nh hư ng đ n vi c x y bi n c Xác su t Ω • ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = • Qui t(c c ng: N u A ∩ B = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) M r ng: A, B b t kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B) • P( ) = – P(A) • Qui t(c nhân: N u A, B ñ c l p P(A.B) = P(A) P(B) II Bi n ng4u nhiên r)i r c Bi n ng4u nhiên r)i r c • X = {x1, x2, …,xn} • P(X=xk) = pk p1 + p2 + … + pn = ∑ = Phương sai ñ l ch chu6n Tính ch t: 1) S s h ng c a khai tri n b ng n + 2) T+ng s mũ c a a b m%i s h ng b ng n 3) S h ng t+ng quát (th k+1) có d ng: Tk+1 = − = Kì v5ng (giá tr trung bình) µ = E(X) = − = − b ng nhau: • Xác su t c a bi n c : P(A) = • Ch)nh h p: có th t$ T+ h p: khơng có th t$ ⇒ Nh ng toán mà k t qu ph thu c vào v trí ph n t' –> ch)nh h p Ngư c l i, t+ h p • Cách l y k ph n t' t t p n ph n t' (k ≤ n): V i m i n∈N v i m i c p s a, b ta có: GI I TÍCH – HÌNH H C 11 4) Các h s c a c p s h ng cách ñ u s h ng đ u cu i • V(X) = = = = ã (X) = ! " ( k =0, 1, 2, …, n) GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 15 GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ThuVienDeThi.com Trang 16 Đ IS GI I TÍCH – HÌNH H C 11 Đ IS Đ I S 11 – CHƯƠNG : DÃY S - C.P S I Phương pháp qui n p toán h5c Đ ch ng minh m nh ñ ch a bi n A(n) m t m nh ñ ñúng v i m i giá tr nguyên dương n, ta th c hi n sau: • Bư c 1: Ki m tra m nh ñ ñúng v i n = • Bư c 2: Gi thi t m nh ñ ñúng v i s nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), ch ng minh r ng m nh ñ ñúng v i n = k + Chú ý: N u ph i ch ng minh m nh ñ A(n) ñúng v i v i m i s nguyên dương n ≥ p thì: + bư c 1, ta ph i ki m tra m nh ñ ñúng v i n = p; + bư c 2, ta gi thi t m nh ñ ñúng v i s nguyên dương b t kì n = k ≥ p ph i ch ng minh m nh ñ ñúng v i n = k + II Dãy s Dãy s : ℕ% → ℝ Dãy s tăng, dãy s gi m • (un) dãy s tăng ⇔ • (un) dãy s gi m + > v i ∀n ∈ N* ( un > 0) ⇔ + < III C p s c ng v i ∀n ∈ N* (un > 0) un+1 = un + d, ∀n ∈ N* (d: công sai) = + − v in≥2 = − + IV C p s = + v ik≥2 = + = +  + + − − +       GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 = c) N u ≤ lim =0 c) N u lim un = a ≠ 0, lim = lim ,∀n lim = +∞ −∞ > =  < d) N u lim un = +∞, lim = a +∞ > −∞ < lim(un.vn) =  = * Khi tính gi i h n có m t d ng vơ đ nh: −# , ∞ , ∞ – ∞, 0.∞ ∞ ph i tìm cách kh d ng vơ đ nh M t s BÀI M U tìm gi i h n c a dãy s : + + = + a) c) − + b) = + =   −  + + − − + − = = −   = +∞  • Nhân lư ng liên h p: Dùng h ng ñ ng th c #= Trang = b) N u lim un = a, lim = ±∞ (# < ) + −# = +∞ a)N u (n u b ≠ 0) = v i n≥2 −# # = +∞ # > Đ nh lí: Đ nh lí : a) N u lim un = a, lim = b • lim (un + vn) = a + b • lim (un – vn) = a – b • lim (un.vn) = a.b S = u1 + u1q + u1q + … = nhân = = →+∞ v ik≥2 = − # ; T ng c a c p s nhân lùi vô h n un+1 = un.q v i n ∈ N* (q: công b i) = # < ∈ ℤ+ = +∞ lim un = d) N u lim un = a Dãy s b ch n • (un) dãy s b ch n ⇔ ∃M ∈ R: un ≤ M, ∀n ∈ N* • (un) dãy s b ch n dư i ⇔ ∃m ∈ R: un ≥ m, ∀n ∈ N* • (un) dãy s b ch n ⇔ ∃m, M ∈ R: m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* T ng n s h ng ñ+u tiên # = = +∞ ∈ ℤ+ = →+∞ b) N u un ≥ 0, ∀n lim un= a = a ≥ lim ⇔ un+1 < un v i ∀n ∈ N* ⇔ un+1 – un< v i ∀ n ∈ N* S h ng t ng quát Tính ch t s h ng →+∞ • ⇔ un+1 > un v i ∀ n ∈ N* ⇔ un+1 – un > v i ∀ n ∈ N* Đ nh nghĩa = ; →+∞ D ng khai tri n: (un) = u1, u2, …, un, … ֏ GI I TÍCH – HÌNH H C 11 GI I TÍCH 11 – CHƯƠNG – GI,I H N I Gi8i h n c a dãy s Gi8i h n h9u h n Gi8i h n vô c:c Gi i h n ñ c bi t: Gi i h n ñ c bi t: ( − − )= − − #≠ 17 =− + GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ThuVienDeThi.com Trang 18 Đ IS GI I TÍCH – HÌNH H C 11 • Dùng đ nh lí k p: N u lim un = ≤ ,∀n lim = VD : Tính Vì ≤ ≤ nên = II Gi8i h n c a hàm s Gi8i h n h9u h n Gi8i h n vô c:c, gi8i h n ; vơ c:c Gi8i h n đ c bi t: Gi8i h n ñ c bi t: = ; = (c: h ng s ) = +∞ ; → Đ nh lí : N u = $ → thì: → → → →+∞ [ [ ]=$ & % $ (n u M ≠ 0) & = % → → = → → − = $ → → − = ; →±∞ → = +∞ = ±∞ :… d ng vơ đ nh: =$ + , ∞ , ∞ – ∞, 0.∞ ∞ ph i tìm cách kh' d ng vơ đ nh D ng b − → : a/ − → = − ( → = − − → − )( − ( + + = + + − + − ) ) = → + + + → + + ∞ : a) ∞ →+∞ →−∞ + − + + −    − +  = −   + + + = →+∞ + = + − + + = − − = + − →−∞ =− − + − D ng ∞ – ∞: Gi8i h n thư)ng có ch a )= + − + = →+∞ + + − − = − → + = = + → = = → • Hàm s ña th c liên t c R • Hàm s phân th c, hàm s lư ng giác liên t c t ng kho ng xác ñ nh c a chúng Gi s' y = f(x), y = g(x) liên t c t i m x0 Khi đó: • Các hàm s y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên t c t i x0 • Hàm s y = % liên t c t i x0 n u g(x0) ≠ N u y = f(x) liên t c [a; b] f(a) f(b)< ∃ c ∈ (a; b): f(c) = Nói cách khác: N u y = f(x) liên t c [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nh t m t nghi m c∈ (a; b) M; r ng: N u y = f(x) liên t c [a; b] Đ tm= ,M= Khi v i m i T ∈ (m; M) t n = = + → + − → M t s BÀI M C @D6! J- < + , K * J < C ) + ,= > 5B CB 5 L 5! J- -; - 5B 5 79! J- -; - - K*JS K′*′J′S′ + @IW 5M2 P= @D6 W : ! J- T # + , ? + @ - / K* - +- = + @7 5M2 P W I6 ! J- N # @ ? K*J U + + = @7 5M2 P W J- N # @ Trang 23 + " @X= H @7 B , U + ?@ N =L / + / % + @ - / 95MN 01 % ≠ + X + * # 3- / )- = = '= + U ' - = 6 = + = ! ⇔ ∃$ ∈ K* - M = C) )≠ & = & MW X 95 : =G C ?@ N • * ( +89@ @ + D 3- / (96 3- / • " @X= H @7 3@D C ?@ N X 95 : 3-89 + V )- − − &= C 6 ! J- < ( 95 : ⇔ ∃Y 6S )- + D 3- / ∈ )! GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 ThuVienDeThi.com * I6 M2 E @7 ! ? 86 = K*JS U + + + = 2! • J- < ( GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 GI I TÍCH – HÌNH H C 11 = ? - # + Trang 24 Đ IS 2! GI I TÍCH – HÌNH H C 11 ∃Y 6S S ∈ )! = + = ⇒  , ⁄⁄ A ⇔