SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VỊNG 1) Mơn: TỐN ( BẢNG A ) Thời gian: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 06/10/2011 Câu 1: ( 5,0 điểm ) a Giải phương trình sau: x x x x x x với x R b Giải phương trình: 2sin x sin x cos x sin x Câu 2: ( 5,0 điểm ) a Cho tam giác ABC vuông cân B , cạnh AB Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa MA2 MB MC Tìm quỹ tích điểm M b Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM CN hợp với góc 600 , BM 6, CN Tính độ dài trung tuyến cịn lại tam giác ABC Câu 3: ( 4,0 điểm ) Cho dãy số un xác định u1 un 1 3un với n a Xác định số hạng tổng quát dãy số un b Tính tổng S u12 u22 u32 u2011 Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: M a b c a b c 6abc Câu 5: ( 3,0 điểm ) x y x xy 2m Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x x y m với x, y số thực ……………… Hết ……………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:………… ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VỊNG 1) Mơn: TOÁN ( BẢNG A ) Ngày thi: 06/10/2011 ( Hướng dẫn có 04 trang ) LONG AN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định Câu Đáp án a ( 3,0 điểm ) (5,0 điểm) Đặt t x x 1, t Khi phương trình trở thành: 4t t 7t t 6t t 4t Thang điểm t 3 t t t 1t t (*) 0,5 t t (*) t t 0,5 2 2 0,5 1 t t có nghiệm t 2 1 21 Với t t t có nghiệm t 2 Với t 0,5 1 1 Khi t x x x x x 0,5 1 1 x 2 t Khi 1 21 2 1 21 x x x x 21 0,5 1 19 21 1 19 21 x 2 b ( 2,0 điểm ) x Phương trình cho viết lại: 3sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0,5 sin x cos x sin x cos x ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 x k , k Z 3 sin x cos x phương trình vơ nghiệm sin x cos x tan x a (2,0 điểm ) (5,0 điểm) Chọn hệ trục tọa độ Bxy vng góc cho tia Bx qua A tia By qua C Ta có: B 0;0 , A 2;0 , C 0; Giả sử M x; y MA MB MC 2 2 x y x y x 2 y 2 0,5 0,5 0,5 x2 y x y Phương trình phương trình đường trịn tâm I 2; 2 , bán kính R 2 0,5 Vậy quỹ tích điểm M đường trịn tâm I 2; 2 , bán kính 0,5 R2 b ( 3,0 điểm ) Gọi G trọng tâm tam giác ABC 1200 Xét trường hợp: BGC Ta có: BC GB GC 2GB.GC.cos1200 76 MC GM GC 2GM GC.cos 600 Vậy AC2 = 112 NB GB GN 2GB.GN cos 600 AC 28 AB 13 Vậy AB2 = 52 0,5 0,5 Vậy độ dài trung tuyến lại : AC AB BC 63 ma m a 0,5 600 Xét trường hợp: BGC Ta có : BC GB GC 2GB.GC.cos600 28 AC MC GM GC 2GM GC.cos120 52 2 0,5 Vậy AC2 = 208 NB GB GN 2GB.GN cos1200 Vậy AB2 = 148 AB 37 0,5 ThuVienDeThi.com Vậy độ dài trung tuyến lại : ma2 0,5 AC AB BC 171 ma 171 Đáp án Câu a 2,0 điểm (4,0 điểm) Dễ thấy un 0, n N * Thang điểm Từ un 1 3un2 un21 3un2 0,5 Đặt un2 có: 1 3vn 1 vn 1 0,5 Đặt xn ta có: xn 1 xn Từ suy xn cấp số nhân với x1 , công bội 0,5 Nên: xn 2.3n 1 2.3n 1 un 2.3n 1 0,5 b 2,0 điểm S 2.30 2.31 2.32 2.32010 2011 0,5 30 31 32 32010 2011 0,5 0,5 32011 1 1 2011 32011 2012 0,5 Chứng minh được: a b c a b c 0,5 Suy ra: a b c a b c a b c 0,5 (3,0 điểm) 3 abc M a b c 6abc 3 Vậy GTLN M (3,0 điểm) 0,5 3 Giá trị đạt a b c 0,5 + 0,5 x x x y 2m Viết lại hệ: x x x y m ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 Đặt u x x, v x y Dễ có: u 1 u.v 2m Hệ trở thành: u v m 0,5 Suy ra: u m u 2m u m u u2 Xét hàm f u với u 1 u2 u 4u f / u 0, u 1 u u2 m u2 0,5 0,5 Bảng biến thiên: u u f u f 1 / + 0,5 2 Kết luận : m 2 0,5 ThuVienDeThi.com ... HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VỊNG 1) Mơn: TỐN ( BẢNG A ) Ngày thi: 06/10 /2011 ( Hướng dẫn có 04 trang ) LONG AN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Nếu thí sinh làm không... 2.31 2.32 2.32010 2011 0,5 30 31 32 32010 2011 0,5 0,5 32011 1 1 2011 32011 2 012 0,5 Chứng minh được: a b c a b c 0,5 Suy ra: a b c a... 2GB.GC.cos600 28 AC MC GM GC 2GM GC.cos120 52 2 0,5 Vậy AC2 = 208 NB GB GN 2GB.GN cos1200 Vậy AB2 = 148 AB 37 0,5 ThuVienDeThi.com Vậy độ dài trung tuyến lại : ma2 0,5