Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2013 2014 môn Toán30338

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi 25/10/2013 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sin x    2cos x Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x3  3mx  m (1), m tham số thực a) Tìm m để đường thẳng y   x  m cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác ABC có diện tích 2, C (0; 1) Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình sau với m tham số thực 3 x3  x y  x  xy  2m (x, y  ฀ )   x  x  y   m a) Giải hệ m  b) Tìm m để hệ cho có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC H trung điểm AM Biết HB  HC  a , ฀ HBC  300 ; góc mặt phẳng SHC  mặt phẳng HBC  600 Tính theo a thể tích khối chóp S HBC tính cosin góc đường thẳng BC mặt phẳng SHC  Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vng A D; AB  AD, CD  AD Đường thẳng BD có phương trình x  y   , đường thẳng AC qua điểm M 4;2  Tìm tọa độ đỉnh A biết diện tích ABCD 10 điểm A có hồnh độ nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn  a  b  c a  b  c  Tìm giá trị nhỏ P  3abc  2014a  b  c ……… Hết……… - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi khơng giải thích thêm - Họ tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………… ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC Lưu ý chấm bài: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu học sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn Câu (2,0 điểm) Phương trình tương đương:  Nội dung Điểm sin x     cos x 0,5 3 cos x  sin x  2 0,5    cos  x    3     x   12  k   x     k  0,5 k  ฀  Vậy phương trình có nghiệm x   0,5  12  k x     k ( k  ฀ ) Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) Phương trình hồnh độ giao điểm: x  3mx  m   x  m x    x  3mx   (1) u cầu tốn tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác  9m    m  2  Vậy giá trị cần tìm m m  m   3 m    ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) Ta có y '  x  6mx ; y '   x  x  2m Đồ thị có hai điểm cực trị m  (*) Các điểm cực trị đồ thị A 0; m ; B 2m; m  4m3  0,25 0,25 Suy AC  m   m  ; C  Oy  d B, AC   m Do S ABC  AC.d B, AC   m m  1; S ABC   m m  1 Đặt m  t  ta t  t    (t  1)(t  t  t  t  2)   t  Do m  1 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy m  1 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) 2 3 x  x y  x  xy  ( x  x)(3 x  y )   Với m=2 ta có hệ   x  x  y  ( x  x)  (3 x  y )  0,25 ab   a b  Đặt x  x  a;3 x  y  b , ta có hệ:  a  b  0,25 ab  Giải hệ  ta a  b  Suy a  b  0,25  x2  x   3 x  y  Giải hệ ta ( x; y )  (1;5);(2; 4) Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y )  (1;5);(2; 4) Chú ý: HS làm theo phương pháp 0,25 b) (1,0 điểm) ( x  x)(3 x  y )  2m Hệ tương đương  ( x  x)  (3 x  y )   m Đặt x  x  a, a   ;3 x  y  b , ta có hệ: ab  2m  a  b   m  6a  a ab  2m a (6  m  a )  2m  m (1)     a2  a  b   m b   m  a b   m  a  0,25 0,25 Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thỏa mãn a   Xét hàm số f (a )  6a  a a  4a  12 ; a   Ta có f '(a )   a2 (a  2) 2 ThuVienDeThi.com 0,25 Với a   f '(a )   a  Bảng biến thiên: -1 a +∞ f'(a) + 0,25 f(a) 25 - ∞ 28 Suy giá trị cần tìm m là: m  Câu (2,0 điểm) S B C I A B' H C 60° M K 30° B Nội dung S HBC  a2 HB.HC.sin1200  Điểm 0,5 Gọi K hình chiếu vng góc A HC Ta có AH  HM  HB sin 300  a a  AK  AH sin 600  ThuVienDeThi.com 0,25 ฀  600  SA  AK tan 600  3a Góc (SHC) (ABC) SKA 0,5 1 3a a 3a  Vậy VS HBC  SA.S HBC  3 4 16 0,25 ฀ ' Gọi B’ hình chiếu B (SHC), suy góc BC (SHC) BCB Gọi I hình chiếu A SK  AI  ( SHC ) Ta có BB '  d ( B, ( SHC ))  2d ( M , ( SHC ))  2d ( A, ( SHC ))  AI AK AS Trong tam giác vng SAK, ta có AI  ฀ Do sin BCB ' AK  AS  0,25 3a 2 3a 3a   BB '  16 a BB ' 3a 3a    BC 4.2 BM 8.HB.cos 30 0,25 ฀ '    13 Vậy cos BCB 16 Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm B A I E 1 D H C 0,25 Gọi I  AC  BD , H hình chiếu B CD 1  tan D1  tan C1   ฀AID  450 ฀  Ta có tan AID  tan D1  C1    tan D1 tan C1  Đường thẳng AC có dạng: a ( x  4)  b( y  2)   ax  by  4a  2b  (a  b  0) a  2b Góc AC BD 450 nên cos 450   3a  8ab  3b  2 a b Chọn b=1 ta a  ; a  3 Từ suy phương trình AC x  y  10  x  y  10  BE AB IA AD Gọi E  BH  AC , ta có  2   EH CH IE BE 2 AD  AD  AD  10  AD  Từ tìm AI  10 Ta có S ABCD  ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 10  17 11  * Nếu AC : x  y  10  , suy I  ;  Gọi A 10  3t ; t  từ AI  ta có  5 2 17   11  32  29   10  t   t   t  3; t  Suy A 1;3; A  ;       5  5 5  5  Do x A   A 1;3 10  21 13  * Nếu AC : x  y  10  , suy I  ;  Gọi A t ;3t  10  từ AI  ta có  5 2 13  32 17  21   t   t  10   t  5; t  (không thỏa mãn x A  t  )      5  5 5  Vậy điểm A cần tìm A 1;3 0,25 Chú ý: Nếu HS tính cạnh AD  cho 0,25 điểm Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm Ta có a  b  c  a  b a  c   b c  a b  c  a   a 3  2a  0,25 Suy bc  a  2a a  b  c   a  b  c    a  b  c  0,25  P  3abc  2013a   3a  2a  2013a  Xét hàm f (a )  3a  2a  2013a  3; a  0;1 Ta có 18a 1  a   2a  f '(a )   2a  2a  a  2013   2013  18a 1  a  2013  2  2a   2a  Ta có a 1  a  2 1  2a   a   a   2a 1  a 1  a     2  27 Suy a 1  a  3  f '(a )  18 3 0,25  2013   2013  Suy f (a ) nghịch biến đoạn 0;1 Do f (a )  f (1)  2013 Đẳng thức xảy a  b  c  0,25 Vậy giá trị nhỏ P 2013 a  b  c  ……… Hết……… ThuVienDeThi.com ... KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013- 2014 Mơn: TỐN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh. .. Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu học sinh. .. 0,25  P  3abc  2013a   3a  2a  2013a  Xét hàm f (a )  3a  2a  2013a  3; a  0;1 Ta có 18a 1  a   2a  f '(a )   2a  2a  a  2013   2013  18a 1  a  2013  2  2a 