SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi 25/10/2013 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sin x 2cos x Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x3 3mx m (1), m tham số thực a) Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác ABC có diện tích 2, C (0; 1) Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình sau với m tham số thực 3 x3 x y x xy 2m (x, y ) x x y m a) Giải hệ m b) Tìm m để hệ cho có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC H trung điểm AM Biết HB HC a , HBC 300 ; góc mặt phẳng SHC mặt phẳng HBC 600 Tính theo a thể tích khối chóp S HBC tính cosin góc đường thẳng BC mặt phẳng SHC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vng A D; AB AD, CD AD Đường thẳng BD có phương trình x y , đường thẳng AC qua điểm M 4;2 Tìm tọa độ đỉnh A biết diện tích ABCD 10 điểm A có hồnh độ nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a b c a b c Tìm giá trị nhỏ P 3abc 2014a b c ……… Hết……… - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi khơng giải thích thêm - Họ tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………… ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC Lưu ý chấm bài: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu học sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn Câu (2,0 điểm) Phương trình tương đương: Nội dung Điểm sin x cos x 0,5 3 cos x sin x 2 0,5 cos x 3 x 12 k x k 0,5 k Vậy phương trình có nghiệm x 0,5 12 k x k ( k ) Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) Phương trình hồnh độ giao điểm: x 3mx m x m x x 3mx (1) u cầu tốn tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 9m m 2 Vậy giá trị cần tìm m m m 3 m ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,0 điểm) Ta có y ' x 6mx ; y ' x x 2m Đồ thị có hai điểm cực trị m (*) Các điểm cực trị đồ thị A 0; m ; B 2m; m 4m3 0,25 0,25 Suy AC m m ; C Oy d B, AC m Do S ABC AC.d B, AC m m 1; S ABC m m 1 Đặt m t ta t t (t 1)(t t t t 2) t Do m 1 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy m 1 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) 2 3 x x y x xy ( x x)(3 x y ) Với m=2 ta có hệ x x y ( x x) (3 x y ) 0,25 ab a b Đặt x x a;3 x y b , ta có hệ: a b 0,25 ab Giải hệ ta a b Suy a b 0,25 x2 x 3 x y Giải hệ ta ( x; y ) (1;5);(2; 4) Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) (1;5);(2; 4) Chú ý: HS làm theo phương pháp 0,25 b) (1,0 điểm) ( x x)(3 x y ) 2m Hệ tương đương ( x x) (3 x y ) m Đặt x x a, a ;3 x y b , ta có hệ: ab 2m a b m 6a a ab 2m a (6 m a ) 2m m (1) a2 a b m b m a b m a 0,25 0,25 Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thỏa mãn a Xét hàm số f (a ) 6a a a 4a 12 ; a Ta có f '(a ) a2 (a 2) 2 ThuVienDeThi.com 0,25 Với a f '(a ) a Bảng biến thiên: -1 a +∞ f'(a) + 0,25 f(a) 25 - ∞ 28 Suy giá trị cần tìm m là: m Câu (2,0 điểm) S B C I A B' H C 60° M K 30° B Nội dung S HBC a2 HB.HC.sin1200 Điểm 0,5 Gọi K hình chiếu vng góc A HC Ta có AH HM HB sin 300 a a AK AH sin 600 ThuVienDeThi.com 0,25 600 SA AK tan 600 3a Góc (SHC) (ABC) SKA 0,5 1 3a a 3a Vậy VS HBC SA.S HBC 3 4 16 0,25 ' Gọi B’ hình chiếu B (SHC), suy góc BC (SHC) BCB Gọi I hình chiếu A SK AI ( SHC ) Ta có BB ' d ( B, ( SHC )) 2d ( M , ( SHC )) 2d ( A, ( SHC )) AI AK AS Trong tam giác vng SAK, ta có AI Do sin BCB ' AK AS 0,25 3a 2 3a 3a BB ' 16 a BB ' 3a 3a BC 4.2 BM 8.HB.cos 30 0,25 ' 13 Vậy cos BCB 16 Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm B A I E 1 D H C 0,25 Gọi I AC BD , H hình chiếu B CD 1 tan D1 tan C1 AID 450 Ta có tan AID tan D1 C1 tan D1 tan C1 Đường thẳng AC có dạng: a ( x 4) b( y 2) ax by 4a 2b (a b 0) a 2b Góc AC BD 450 nên cos 450 3a 8ab 3b 2 a b Chọn b=1 ta a ; a 3 Từ suy phương trình AC x y 10 x y 10 BE AB IA AD Gọi E BH AC , ta có 2 EH CH IE BE 2 AD AD AD 10 AD Từ tìm AI 10 Ta có S ABCD ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 10 17 11 * Nếu AC : x y 10 , suy I ; Gọi A 10 3t ; t từ AI ta có 5 2 17 11 32 29 10 t t t 3; t Suy A 1;3; A ; 5 5 5 5 Do x A A 1;3 10 21 13 * Nếu AC : x y 10 , suy I ; Gọi A t ;3t 10 từ AI ta có 5 2 13 32 17 21 t t 10 t 5; t (không thỏa mãn x A t ) 5 5 5 Vậy điểm A cần tìm A 1;3 0,25 Chú ý: Nếu HS tính cạnh AD cho 0,25 điểm Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm Ta có a b c a b a c b c a b c a a 3 2a 0,25 Suy bc a 2a a b c a b c a b c 0,25 P 3abc 2013a 3a 2a 2013a Xét hàm f (a ) 3a 2a 2013a 3; a 0;1 Ta có 18a 1 a 2a f '(a ) 2a 2a a 2013 2013 18a 1 a 2013 2 2a 2a Ta có a 1 a 2 1 2a a a 2a 1 a 1 a 2 27 Suy a 1 a 3 f '(a ) 18 3 0,25 2013 2013 Suy f (a ) nghịch biến đoạn 0;1 Do f (a ) f (1) 2013 Đẳng thức xảy a b c 0,25 Vậy giá trị nhỏ P 2013 a b c ……… Hết……… ThuVienDeThi.com ... KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013- 2014 Mơn: TỐN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh. .. Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu học sinh. .. 0,25 P 3abc 2013a 3a 2a 2013a Xét hàm f (a ) 3a 2a 2013a 3; a 0;1 Ta có 18a 1 a 2a f '(a ) 2a 2a a 2013 2013 18a 1 a 2013 2 2a