Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Trường Phổ thơng khiếu Đề thi chọn đội tuyển Tốn Ngày thi thứ nhất: 21/11/2008 Thời gian làm bài: 180 phút Bài a) Chứng minh tồn số n chẵn, n > 2008 cho 2009.n – 49 số phương b) Chứng minh khơng tồn số ngun m cho 2009.m – 147 số phương Bài Cho số nguyên dương n Có số chia hết cho 3, có n chữ số chữ số thuộc {3, 4, 5, 6} ? Bài Cho tam giác ABC có A cố định B, C thay đổi đường thẳng d cố định cho gọi A’ hình chiếu A lên d A' B A' C âm khơng đổi Gọi M hình chiếu A’ lên AB a) Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM thuộc đường thẳng cố định b) Gọi N hình chiếu A’ lên AC, K giao điểm tiếp tuyế đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định Bài Cho f(x) = x2 + ax + b Biết phương trình f(f(x)) = có nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 x1 + x2 = -1 Chứng minh b -1/4 DeThiMau.vn Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Trường Phổ thơng khiếu Đề thi chọn đội tuyển Toán Ngày thi thứ hai: 21/11/2008 Thời gian làm bài: 180 phút Bài Giả sử P(x) = (x+1)p(x-3)q = xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an, p, q số nguyên dương Chứng minh a1 = a2 3n số phương Bài a) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh ta có bất đẳng thức a2 b2 c2 8abc 2 ab bc ca (a b)(b c)(c a ) c) Chứng minh tồn số thực dương a, b, c cho ab bc ca (a b)(b c)(c a ) 2 8abc a2 b2 c2 Bài Cho góc Oxy điểm P bên đường trịn thay đổi ln qua O P, cắt tia Ox, Oy M, N Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H tam giác OMN Bài Với số nguyên dương n, gọi S(n) tổng chữ số n a) Chứng minh số n = 999 n = 2999 biểu diễn dạng a + b với S(a) = S(b) b) Chứng minh số 999 < n < 2999 biểu diễn dạng a + b với S(a) = S(b) DeThiMau.vn Đề số Bài Giải phương trình x 2x 2x x 1 Bài Cho dãy {xn} xác định 1 n n xn e Chứng minh dãy {xn} có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài Hai đường trịn (C1) (C2) cắt A B Gọi PQ, RS đoạn tiếp tuyến chung ngồi đường trịn (P, R nằm (C1) Q, S nằm (C2)) Biết RB//PQ Tia RB cắt (C2) điểm thứ hai W Hãy tính tỷ số RB/BW Bài Tìm tất đa thức f(x) với hệ số nguyên cho với n nguyên dương ta có f(n) ước 2n – Bài Tìm tất cặp số nguyên dương (a, b) cho 2a + 3b bình phương số nguyên Bài Cho tam giác ABC vuông A D điểm di động cạnh AC Đường trịn (O) đường kính BD cắt BC điểm thứ hai P Đường cao vẽ từ A tam giác ABD cắt (O) điểm thứ hai E Gọi F giao điểm CE DP I giao điểm AF DE Đường thẳng qua I song song DP cắt đường trung trực AI M Chứng minh M di động đường cố định D di động AC Bài Tại hội nghị có 100 đại biểu Trong số có 15 người Pháp, người quen với 70 đại biểu 85 người Đức, người quen với không 10 đại biểu Họ phân vào 21 phịng Chứng minh có phịng không chứa cặp quen Đề số Bài Cho < x0, x1, …, x669 < số thực đôi khác Chứng minh tồn cặp (xi, xj) cho xi x j ( x j xi ) 2007 Bài Cho dãy số {an} xác định a1 = 1, a2 = an+2 = 2an+1 – an + với n Chứng minh với m, amam+1 số hạng dãy số DeThiMau.vn Bài Cho đường trịn (C) đường kính AB điểm H cố định nằm AB Gọi (T) tiếp tuyến đường tròn B K điểm thay đổi (T) Đường trịn tâm K bán kính KH cắt (C) M N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài Tìm tất hốn vị (a1, a2, …, an) (1, 2, …, n) cho 2(a1+…+ak) chia hết cho k+1 với k=1, 2, …, n Bài Chứng minh đa thức P(x) = xn + 29xn-1 + 2009 với n số nguyên dương lớn hay khơng thể phân tích thành tích đa thức với hệ số ngun có bậc lớn hay Bài Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự tâm đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác Chứng minh AIO 900 AB + AC 2.BC Bài Hình vng chia thành 16 hình vng nhau, thu tập hợp gồm 25 đỉnh Hỏi cần phải bỏ đỉnh tập hợp để khơng có đỉnh tập hợp lại đỉnh hình vng với cạnh song song với cạnh hình vng ban đầu? Đề số Bài Giải hệ phương trình x( y z ) x y ( z x) y z( x y) z Bài Hàm số f: R R thoả mãn điều kiện f(cotg x) = sin 2x + cos 2x với x thuộc (0, ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g: [-1, 1] R, g(x) = f(x).f(1-x) Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm B, C A điểm thay đổi (O) AB, AC cắt đường tròn (O’) C’, B’ Gọi M’ trung điểm B’C’ Chứng minh AM’ qua điểm cố định Bài Tìm tất cặp số nguyên dương (a, n) thỏa mãn điều kiện: ước nguyên tố an+1 ước nguyên tố a+1 Bài Tìm tất đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P2(x) – P(x2) = 2x4 Bài Cho tam giác cân ABC với AB = AC P điểm nằm hay nằm cạnh tam giác ABC Chứng minh PA2 + PB.PC AB2 DeThiMau.vn Bài Cho A tập hợp gồm phần tử Tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Đề số Bài Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện : x y z 2 y z 11x 27 z 54 Tìm giá trị lớn P 2008 2009 x2 y z Bài Cho dãy số thực {xn} xác định x0 1, x n 1 x n x n với n n N Ta xác định dãy {yn} công thức y n xi i , n N * Tìm cơng thức i 1 tổng quát dãy {yn} Bài Cho tam giác ABC, D điểm tia đối tia CB Đường tròn nội tiếp tam giác ABD ACD cắt P Q Chứng minh đường thằng PQ qua điểm cố định D thay đổi Bài Tìm tất số nguyên dương lẻ n cho tồn số nguyên lẻ x1, x2, …, xn thoả mãn điều kiện x12 + x22 + … + xn2 = n4 Bài Tìm tất hàm số f: R R thoả mãn điều kiện f(f(x) + y)) = f(f(x) – y) + 4f(x)y với x, y thuộc R Bài Cho tam giác ABC có BC > AB > AC cosA + cosB + cosC = 11/8 Xét điểm X thuộc BC Y thuộc AC kéo dài phía C cho BX = AY = AB a) Chứng minh XY = AB/2 b) Gọi Z điểm nằm cung AB đường trịn ngoại tiếp tam giác khơng chứa C cho ZC = ZA + ZB Hãy tính tỷ số ZC/(XC+YC) Bài Cho n số nguyên dương lớn hay Kí hiệu A = {1, 2, …, n} Tập B tập A gọi tập "tốt" B khác rỗng trung bình cộng phần tử B số nguyên Gọi Tn số tập tốt tập A Chứng minh Tn – n số chẵn DeThiMau.vn Đề số Bài Giải hệ phương trình x y z yz 18 xz xy x y z Bài Cho số thực a dãy số thực {xn} xác định bởi: x1 = a xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với n = 1, 2, 3, … Chứng minh dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn n tiến đến dương vô Bài Hai đường trịn có bán kính tỷ lệ 4:1 tiếp xúc với điểm M nằm hình chữ nhật ABCD cho đường trịn lớn tiếp xúc với cạnh AD, BC CD, đường tròn nhỏ tiếp xúc AB AD Tiếp tuyến chung M hai đường tròn cắt cạnh AD AB P Q Hãy tính tỷ số AP/PD AQ/QB Bài Cho a, b số nguyên dương cho a 1 b 1 số nguyên Chứng b a minh (a, b) a b Bài Cho a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh 1 a2 b2 c2 a b c Bài Trong mặt phẳng cho đường trịn (O) đường thẳng d khơng có điểm chung với (O) Gọi H hình chiếu O lên d, gọi M điểm d (M không trùng với H) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) Gọi C, D hình chiếu H lên MA, MB Các đường thẳng CD, AB cắt OH I K Chứng minh I trung điểm HK Bài Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 chia thành 64 vng đơn vị, người ta bỏ ô vuông đơn vị vị trí hàng thứ m cột thứ n Gọi S(m;n) số hình chữ nhật tạo hay nhiều ô vuông đơn vị bàn cờ cho khơng có trùng với vị trí bị xóa bỏ ban đầu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn S(m;n) Đề số Bài Giải hệ phương trình DeThiMau.vn | y || x | (2 z y ) y y x z 4x Bài Cho dãy số {an} xác định công thức truy hồi a1 = 1/2, a n 1 Chứng minh a1 + a2 + … + an < với số nguyên dương n a n2 an an Bài Các điểm A, B, C, D, E, F theo thứ tự nằm đường tròn k Tiếp tuyến đường tròn k điểm A D đường thẳng BF CE đồng quy điểm P Chứng minh đường thẳng AD, BC EF song song với nhau, đồng quy điểm Bài (a) Cho trước số nguyên dương n Chứng minh tồn số nguyên dương phân biệt x, y cho x + k chia hết cho y + k với k = 1, 2, …, n (b) Chứng minh với số nguyên dương x y ta có x + k chia hết cho y + k với số nguyên dương k x = y Bài Tìm tất đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn điều kiện P2(x) = P(x2) – 2P(x) Bài Lục giác lồi ABCDEF có ABF tam giác vng cân A, BCEF hình bình hành AD = 3, BC = 1, CD + DE = 2 Tính diện tích lục giác Bài Cho X = {1, 2, …, n} Tìm số tất cặp thứ tự (A, B) với A, B tập X cho A tập B B tập A Đề số Bài Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c minh a b c 1 Chứng a b c a b c abc Bài Tìm tất hàm số f: R R thoả mãn điều kiện: f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1 với x, y thuộc R Bài Các đường chéo hình thang ABCD cắt điểm P Điểm Q nằm hai đáy BC AD chọn cho AQD = CQB Điểm P Q nằm khác phía cạnh CD Chứng minh BQP = DAQ DeThiMau.vn Bài Tìm tất số nguyên dương n biểu diễn dạng n = [a, b] + [b, c] + [c, a] a, b, c số nguyên dương ([a, b] ký hiệu bội số chung nhỏ số nguyên dương a, b) Bài Tìm tất đa thức hai biến P(x, y) cho P(a,b).P(c,d) = P(ac+bd,ad+bc) với a, b, c, d thuộc R Bài Hãy xác định dạng tứ giác ABCD diện tích S, biết S tồn điểm O cho 2S = OA2 + OB2 + OC2 + OD2 Bài Với số nguyên dương n > xét S = {1, 2, 3, …, n} Tô số S màu, u số màu đỏ v số màu xanh Hãy tìm số (x, y, z) thuộc S3 cho a) x, y, z tô màu; b) x + y + z chia hết cho n DeThiMau.vn ...Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Trường Phổ thơng khiếu Đề thi chọn đội tuyển Tốn Ngày thi thứ hai: 21/11/2008 Thời gian làm bài: 180 phút Bài Giả sử P(x) = (x+1)p(x-3)q... + b với S(a) = S(b) b) Chứng minh số 999 < n < 2999 biểu diễn dạng a + b với S(a) = S(b) DeThiMau.vn Đề số Bài Giải phương trình x 2x 2x x 1 Bài Cho dãy {xn} xác định 1 n... tam giác ABC Chứng minh PA2 + PB.PC AB2 DeThiMau.vn Bài Cho A tập hợp gồm phần tử Tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Đề số Bài Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều