Tổng hợp các bài toán trong tuần psw34554

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN TRONG TUẦN PSW diendantoanhoc.net Ngày 30 tháng năm 2013 Chú ý Hầu hết tốn giải Nhấp vào số thứ tự để đến topic thảo luận toán Cho hàm số bậc hai f (x) = −x2 + 4px − p + Gọi S diện tích tam giác có đỉnh giao điểm parabol y = f (x) với trục Ox đỉnh parabol Tìm tất số hữu tỷ p cho S số nguyên Chứng minh đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng y = 2x − x2 − x + Trong lớp học, học sinh có khơng q ba người bạn thân Chứng minh chia lớp làm hai tổ cho tổ bạn có khơng q bạn thân Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10 Tam giác DEF vng cân D nội tiếp tam giác ABC (D thuộc AB, F thuộc AC, E thuộc BC) Xác định vị trí điểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ Giải phương trình nghiệm nguyên x + y + z = 4n · n Tìm nguyên hàm sau I= x3 + dx; Q = x3 − 5x2 + x5 dx; J = x6 − x3 − dx + 1) x (x10 Tìm điều kiện tham số m để phương trình sau có nghiệm √ x − 2m x − + m − = Cho trước số nguyên dương n, chứng minh n k=0 n k (2k + 1) 2n 2k = 24n (n!)4 (2n)! (2n + 1)! Bên hình vng cạnh 100, ta đặt đường gấp khúc L có tính chất điểm hình DeThiMau.vn vng cách L khoảng khơng lớn 0, Chứng minh L có hai điểm mà khoảng cách chúng khơng lớn khoảng cách dọc theo L chúng không nhỏ 198 10 Cho tứ diện ABCD có M , N trung điểm BC, AD biết AB = CD = 2a góc đường thẳng AB CD 60◦ Tính diện tích thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng qua M N song song với AB 11 Tìm tất song ánh f : N∗ → N∗ cho f (f (n)) ≤ n + f (n) , ∀n ∈ N∗ 12 Giải phương trình x2 − p + 2x2 − = x Với p số thực số điểm trận đấu với đối thủ xếp cuối bảng Hỏi có đấu thủ tham gia tranh giải? Biết trận đấu tổng số điểm hai đấu thủ 1, thắng điểm, thua điểm, hòa điểm 13 Trong tranh giải cờ tướng, đấu thủ giành 14 Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức √ ab + √ cd ≤ (a + b + c) (b + c + d) 15 Cho hình thang cân ABCD (AD BC) ngọai tiếp (O; 1cm) nội tiếp (I) Gọi M trung điểm cạnh AB, biết M I = 4cm Tính diện tích hình thang ABCD 16 Tam thức bậc hai f (x) dương với x Chứng minh f (x) viết dạng tổng bình phương hai nhị thức bậc 17 Cho đa giác lồi, khơng có hai cạnh song song với Với cạnh đa giác, ta xét góc mà đỉnh xa với cạnh nhìn cạnh Chứng minh tổng góc 180◦ 18 Tìm nghiệm nguyên phương trình x10 + y 10 = z 10 + 199 19 Giải phương trình sin2006 x + cos2005 x = DeThiMau.vn 20 Chứng minh n (−1)k k=0 n (x − k)n = n!, ∀x ∈ R k 21 Qua điểm M tam giác ABC, thước thẳng compa dựng đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích 22 Trong mặt phẳng toạ độ vng góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có A (−2; 6), đỉnh B thuộc đường thẳng (d) : x − 2y + = Gọi M , N hai điểm nằm cạnh BC, CD 14 Xác định toạ độ đỉnh C ; cho BM = CN Biết AM giao BN điểm I 5 23 Cho số a1 , a2 , , aq , x1 , x2 , , xq m số nguyên thỏa mãn m | a1 xk1 + +aq xkq , ∀k ≥ Chứng minh m | a1 (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) · · · (x1 − xq ) 24 Giải biện luận phương trình |x + 1| + m |x − 1| = (m + 1) (3x + |mx + 5|) 25 Giải phương trình sin x + sin 2x + sin 3x = 26 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = −abc Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ b c a + + P = a +1 b +1 c +1 27 Tìm a, b, c, d nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i) bd > ad + bc ii) (9ac + bd) (ad + bc) = a2 d2 + 10abcd + b2 + c2 28 Ta biết OABC tứ diện vng O ABC tam giác nhọn Hỏi với tam giác nhọn ABC liệu có tồn tứ diện vng OABC O? 29 Xác định hàm số liên tục f : R+ → R+ thỏa mãn: i) f (2x) = 2f (x) , ∀x ∈ R+ ii) f (f x) = xf (x) , ∀x ∈ R+ iii) f (x) ∈ N∗ , ∀x ∈ N∗ DeThiMau.vn 30 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, có chu vi 20cm, đường trịn nội tiếp Một tiếp tuyến đường tròn nội tiếp song song với cạnh BC cắt hai cạnh lại M N M N = 2, 4cm Tính BC 31 Cho dãy số {un } thỏa mãn u1 = un+1 = un + , ∀n ≥ Chứng minh |u100 | > 14 un 32 Cho p số nguyên tố lẻ Xét p giác có cạnh đơn vị Từ cạnh đa giác này, dựng miền đa giác hình chữ nhật kích thước × k (k số nguyên dương), hình chữ nhật chia thành k đơn vị Gọi P hình tạo thành, gồm kp ô đơn vị p giác (như có kp + miền) Mỗi miền tô ba màu, miền kề có màu khác Hơn địi hỏi phép tơ màu khơng có trục đối xứng Hỏi có cách tô màu vậy? 33 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh b c a + + ≥ 2 b+c c+a a+b 3+a+b+c 34 Cho hình vng ABCD, cạnh BC, CD tương ứng lấy điểm E, F Gọi P , Q hình CP CQ chiếu vng góc C AE, AF tương ứng, biết + = Chứng minh AEF = 45◦ AE AF 35 Tìm f : N∗ → Z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) Nếu a chia hết b f (a) ≥ f (b) ii) f (ab) + f (a2 + b2 ) = f (a) + f (b) 36 Giải phương trình 31x5 + 165x4 + 310x3 + 330x2 + 155x + 33 = Xác định M (x; y) ∈ C, x−1 chu vi tam giác hợp tiếp tuyến M hai tiệm cận nhỏ 37 Cho hàm số (C) : y = f (x) = x + + ∀x > cho 38 Cho tứ diện ABCD có cạnh xuất phát từ A đơi vng góc với Gọi a cạnh lớn xuất phát từ A r bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện Chứng minh a≥ 3+ √ r 39 Tìm số nguyên n với 100 ≤ n ≤ 1997 thỏa n | 2n + 40 Tìm tất nghiệm dương phương trình x2 − x − = 2x − log2 x2 + 2x DeThiMau.vn 41 Một miền phẳng bị chặn có diện tích S phủ họ hữu hạn F hình trịn Chứng S minh F chứa họ hình trịn rời mà tổng diện tích khơng nhỏ 42 Giải phương trình √ 5x2 + 14x + − √ √ x2 − x − 20 = x + 43 Xác định c để phương trình sau có nghiệm số thực + ix − ix 2000 =c 44 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Gọi r1 , r2 , r3 , r4 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB, OBC, OCD, ODA Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp 1 1 + = + r1 r3 r r4 45 Cho a, b, c ba cạnh tam giác thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn P = a2 b bc ac ab + + 2 + a c b a + b c c a + c2 b 46 Cho tam giác ABC có A = 60◦ , I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Qua I kẻ đường thẵng song song với AC cắt AB F Trên BC lấy P cho 3BP = BC Chứng minh BF P = ABC 47 Tìm tam giác nhỏ cho đặt ba đĩa bán kính 2, 3, vào mà khơng chồng lên 48 Cho t số dương tùy ý, số phân số tối giản Tính 1996 S= 1996 i d i=1 49 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S = a, b, α số a ≥ b > 0, < α ≤ π a (0 < a, b ≤ t) kí hiệu d (t) b √ a − b cos x + a − b cos (α − x) (0; α) với 50 Cho ABCD tứ giác ngoại tiếp đường trịn tâm O có độ dài cạnh a, b, c, d Chứng minh √ OA · OC + OB · OD = abcd 51 Giải phương trình √ 2−1−x+ √ x= √ DeThiMau.vn 52 Cho tứ diện ABCD M điểm nằm tứ diện Gọi A1 , B1 , C1 , D1 hình chiếu vng góc M lên mặt tứ diện Gọi Da đường thẳng qua A vng góc với (B1 C1 D1 ), đường thẳng Db , Dc , Dd xác định tương tự Chứng minh Da , Db , Dc , Dd đồng quy 53 Cho dãy số nguyên dương {an }+∞ n≥1 thỏa mãn a1 = 1, a2 = 2, amn = am · an , am+n ≤ ∗ C (am + an ) , ∀m; n ∈ N (trong C ≥ số cho trước) Chứng minh an = n, ∀n ∈ N∗ 54 Ứng với k > 1, gọi M (k) = max n | 10k−1 ≤ n ≤ 10k − s (n) m (k) = n | 10k−1 ≤ n ≤ 10k − s (n) Hỏi biểu diễn M (k), m (k) theo k hay không? 55 Cho x, y, z số A, B, C ba góc tam giác Tìm giá trị lớn biểu thức P = x sin2 A + y sin2 B + z sin2 C 56 Cho đa thức P (x) Q (x) = aP (x) + bP ′ (x) + cP ” (x) với a, b, c số thực a = 0, b2 − 4ac > Chứng minh Q (x) vơ nghiệm P (x) vô nghiệm 57 Cho C điểm nằm đường kính AB nửa đường trịn tâm O khác A, B, O Hai tia vng góc với qua C cắt nửa đường tròn D, E Đường thẳng qua D vng góc với DC cắt lại đường trịn K Chứng minh K khơng trùng E KE song song AB 58 Tìm giá trị tham số m cho hệ phương trình sau có nghiệm  2   x + 3zx + z = 3y + 3yz + z =   x − xy + y = m 59 Cho tứ giác ABCD nội tiếp, M điểm X, Y , Z, T , U , V hình chiếu M lên đường thẳng AB, CD, AC, BD, AD, BC Gọi E, F , G thứ tự trung điểm XY , ZT , U V Chứng minh E, F , G thẳng hàng 60 Chứng minh tồn dãy số {an } (n = 1; dãy tăng số nguyên dương cho dãy {bn } với bn = k + an , ∀n chứa hữu hạn số nguyên tố (với số tự nhiên k) 61 Tính tích phân e I= ln x (ln x + 1) dx (1 + x + ln x)3 DeThiMau.vn 62 Cho a, b, c số nguyên (b lẻ) xác định dãy f (n), n = 0; sau f (0) = 4, f (1) = 0, f (2) = 2c, f (3) = 3b f (n + 3) = af (n − 1) + bf (n) + cf (n + 1) , ∀n ∈ N∗ Chứng minh với số nguyên dương m số nguyên tố p ta có f (pm ) chia hết cho p 63 Cho tam giác ABC nhọn, M di động đoạn BC Đường trịn đường kính AM cắt AB, AC P , Q Tiếp tuyến P , Q cắt T Tìm quĩ tích T M di động 64 Giải phương trình sin x sin 2x sin 3x + cos x cos 2x cos 3x = 65 Kéo dài trung tuyến tam giác ABC chúng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác, gọi độ dài đoạn Ma , Mb , Mc Chứng minh Ma +Mb +Mc ≥ (ma + mb + mc ) √ Ma + Mb + Mc ≥ (a + b + c) Khi có dấu đẳng thức? 66 Cho P (x) = x2 + ax + b Biết với x thỏa mãn |x| ≤ ta có |P (x)| ≤ Tính giá trị biểu thức a3 + b3 67 Cho tam giác ABC có trực tâm H Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC x2 + y − x − 5y + = 0, H thuộc đường thẳng ∆ : 3x − y − = 0, trung điểm AB M (2; 3) Xác định tọa độ đỉnh tam giác 68 Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ F = sin An sin B n+1 sin C 2n+1 69 Chứng minh tổng bình phương khoảng cách từ đỉnh tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) đến đường thẳng d qua O không đổi 70 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai f ” (x) ≥ tồn R a ∈ R cố định Tìm giá trị lớn hàm số g (x) = f (x) − (a − x) f ′ (x) R 71 Cho n ≥ ak > 0, (k = 1; n) Đặt S = ni=1 P = không? n n S < S − P i=1 n i=1 Bất đẳng thức sau có 72 Với n ∈ N∗ , kí hiệu a (n) số chữ số n (trong hệ thập phân) Hỏi có tồn hay không số n thỏa a (n2 + 1) = 7a (n) không? DeThiMau.vn 73 Trong không gian cho tam giác ABC, dựng đường thẳng d qua A Từ B C kẻ đường vng góc với d B ′ C ′ Biết độ dài ba cạnh tam giác a, b, c Hãy tính giá trị lớn thể tích tứ diện BCB ′ C ′ 74 Cho n số nguyên dương b số nguyên lớn mà bé minh b không chia hết cho √ 28 − −n Chứng 75 Cho hai phương trình x2 + px + q = x2 + mx + n = (p, q, m, n nguyên) có nghiệm chung số nguyên Chứng minh p = m, q = n 76 Trong không gian cho hai đường thẳng x, y chéo Giả sử A, B hai điểm cố định x CD đoạn thẳng có chiều dài l cho trước di chuyển y.Tìm vị trí CD cho diện tích tồn phần tứ diện ABCD nhỏ 77 Tìm tất hàm f : N∗ → N∗ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i) f (f (n)) = n, ∀n ∈ N∗ ii) n | f (1) + f (2) + + f (n) , ∀n ∈ N∗ 78 Cho trước số thực dương a, đường thẳng d hai điểm A, B nằm phía d Dựng điểm M thuộc d cho AM + M = a 79 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh √ x2 y z + + − x2 + y + z ≥ − y z x 80 Một tờ giấy có dạng hình vng ABCD Gấp tờ giấy cho C nằm cạnh AB Tìm giá MR trị nhỏ RQ 81 Giải hệ phương trình 82 Giải phương trình   4xy + (x2 + y ) +   85 = (x + y) 13 2x + = x+y cos 15x cos 5x cos 3x cos x + cos 15x cos 5x + cos 3x cos x = 83 Gọi L tập điểm nguyên mặt phẳng Chứng minh với cặp ba điểm A, B, C thuộc L tồn điểm thứ tư D cho phần đoạn thẳng (phần đoạn thẳng trừ hai đầu mút) AD, BD, CD không chứa điểm thuộc L 84 Từ điểm P ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến P E, P F tới đường tròn (E, F hai tiếp điểm) Một cát tuyến thay đổi qua P , cắt đường tròn hai điểm A, B (A nằm DeThiMau.vn P B) cắt EF Q PA QA = PB QB b) Đẳng thức có cịn khơng, cát tuyến khơng qua điểm O? Hãy chứng minh điều a) Khi cát tuyến qua O chứng minh 85 Tính tích phân I= x10 dx x10 + 86 Tìm tất số nguyên dương n cho tồn n số nguyên dương: a1 , a2 , , an thỏa mãn n i=1 i = n n i=1 87 Cho n số nguyên dương Giải phương trình (x − 1)2 + 2x + 3x2 + + (n + 1) xn = 88 Cho tứ diện S · ABC có ASB = α, BSC = 45◦ Xác định giá trị góc α để góc nhị diện cạnh SC 60◦ 89 Cho k số nguyên dương Sn = {1; 2; ; n} (n ≥ 3) Hàm f : Snk → Sk thỏa mãn a, b ∈ Snk chúng khác tất vị trí f (a) = f (b) Chứng minh có i ∈ {1; 2; ; k} cho f (a1 , a2 , , ak ) = , ∀a = (a1 , a2 , , ak ) ∈ Snk 90 Cho tứ giác ABCD, điểm M di động đoạn AB Hai đường tròn (M AC), (M BD) giao M , N Tìm quỹ tích điểm N 91 Trong hình vng có cạnh 1, đặt hình F mà khoảng cách hai điểm khơng 0, 0001 Chứng minh diện tích hình khơng lớn hơn: a) 0, 34 b) 0, 287 92 Cho a, b, c ba cạnh tam giác x, y, z số thực dương Chứng minh (x + y + z) xc2 ya2 zb2 + + a2 b c ≥ 1 + 2+ 2 a b c a2 yz + b2 zx + c2 xy 93 Các đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt A B, CD đường thẳng qua O1 cắt (O1 ) D tiếp xúc với (O2 ) C, AC tiếp xúc với (O1 ) A Kẻ AE vng góc CD AE cắt (O1 ) E Kẻ AF vng góc DE AF cắt DE F Chứng minh BD chia đôi AF 94 Bạn Bình Nam chơi trị chơi thú vị với đa thức bậc cho DeThiMau.vn sau x2n + · · · x2n−1 + · · · x2n−2 + + · · · x + Họ điền vào hệ số trống đa thức số thực tùy ý Nếu trình điền số hồn tất mà đa thức nhận vơ nghiệm bạn Bình người thắng cuộc, cịn ngược lại bạn Nam thắng Nếu bạn Bình điền số trước đảm bảo có chiến thuật thắng chơi? √ 95 Cho chóp S · ABC có SC = CA = AB = a 2, SC ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông A Lấy M , N thuộc SA, BC cho AM = CN = x (0 < x < 2a) Tìm x để độ dài M N nhỏ 96 Cho dãy số {un } xác định u1 = u2 = hạng tổng quát dãy số u2k+1 = 3u2k + 6u2k−1 , u2k+2 = 3u2k+1 − 6u2k ∀k ≥ Tìm số 97 1) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho n! tận 1987 chữ số 2) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình (y + 1)x = y! + 98 Xét tập A = {1; 2; ; n} Với tập khác rỗng M A, M = {m1 ; m2 ; ; mk } m1 > m2 > > mk Đặt S (M ) = m1 − m2 + m3 + + (−1)k+1 mk Tính S = M ⊂A S (M ) 99 Cho tập hợp hữu hạn đoạn thẳng mặt phẳng có tổng độ dài Chứng minh tồn đường thẳng l cho hình chiếu tất đoạn l có tổng độ dài nhỏ π 100 Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a3 a b c + + ≤1 +2 b +2 c +2 10 DeThiMau.vn Tài liệu [1] www.diendantoanhoc.net/ [2] www.forum.mathscoper.org/ [3] www.artofproblemsolving.com/ [4] www.boxmath.vn/ [5] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ 11 DeThiMau.vn ...vuông cách L khoảng không lớn 0, Chứng minh L có hai điểm mà khoảng cách chúng không lớn khoảng cách dọc theo L chúng không nhỏ 198 10 Cho tứ diện... (−1)k+1 mk Tính S = M ⊂A S (M ) 99 Cho tập hợp hữu hạn đoạn thẳng mặt phẳng có tổng độ dài Chứng minh tồn đường thẳng l cho hình chiếu tất đoạn l có tổng độ dài nhỏ π 100 Cho số dương a, b, c... minh f (x) viết dạng tổng bình phương hai nhị thức bậc 17 Cho đa giác lồi, khơng có hai cạnh song song với Với cạnh đa giác, ta xét góc mà đỉnh xa với cạnh nhìn cạnh Chứng minh tổng góc 180◦ 18