Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 2017 môn: Toán32729

ΠΗΝΓ GD&ĐT Ν∨Ι ΤΗℵΝΗ TRƯỜNG ΤΗΧΣ TRẦN ΘΥ⇑ ΧℑΠ ĐỀ ΧΗ⊆ΝΗ THỨC (Đề τηι gồm χ⌠ 01 τρανγ) ĐỀ ΤΗΙ ΗỌΧ ΣΙΝΗ ΓΙỎΙ ΛỚΠ NĂM HỌC 2015 − 2017 Μν: Το〈ν Thời γιαν: 150 πητ (κηνγ kể thời γιαν γιαο đề) Νγ◊ψ τηι: 24 τη〈νγ 10 năm 2017 Β◊ι (4.0 điểm) α/ Χηứng mινη rằng: 32ν+1 + 2ν+2  7, ν  Ν β/ Χηο α+β+χ0; α3+β3+χ3=3αβχ Chứng mινη α=β=χ Β◊ι (5.0 điểm) 1) Τm χ〈χ cặp số νγυψν (ξ; ψ) thỏa mν: 8ξψ+6ξ −12ψ+134=0 2) Χηο α, β, χ > Chứng mινη : Β◊ι (2 điểm) Χηο biểu thức : α2 β2 χ2 αβχ    0 βχ χα αβ Μ  ξ  ξ  ψ  ξψ  ψ  2014 Với γι〈 trị ν◊ο ξ, ψ τη Μ đạt γι〈 trị nhỏ ? Τm γι〈 trị nhỏ Β◊ι (3 điểm) Χηο tứ γι〈χ ΑΒΧD χ⌠ Ο λ◊ γιαο điểm ηαι đường χηο ϖ◊ diện τχη ταm γι〈χ ΑΟΒ ,diện τχη ταm γι〈χ ΧΟD Τm γι〈 trị nhỏ diện τχη tứ γι〈χ ΑΒΧD Β◊ι (3 điểm) ⊥ Χηο ταm γι〈χ ΑΒΧ χ⌠ ΒΑΧ  105 Đường τρυνγ tuyến ΒΜ ϖ◊ đường πην γι〈χ ΧD cắt νηαυ Κ σαο χηο ΚΒ = ΚΧ Kẻ đường χαο ΑΗ (Η  ΒΧ) Chứng mινη ΗΑ = ΗΒ Β◊ι (3 điểm) Χηο Ταm γι〈χ ΑΒΧ χν Α χ⌠ γ⌠χ ΑΒΧ 1080 Chứng mινη ΒΧ λ◊ số ϖ tỉ ΑΧ Họ τν học σινη: ; Số β〈ο δανη: Γι〈m thị 2: Κ τν ThuVienDeThi.com ΠΗΝΓ GD&ĐT Ν∨Ι ΤΗℵΝΗ TRƯỜNG ΤΗΧΣ TRẦN ΘΥ⇑ ΧℑΠ ΗƯỚΝΓ DẪΝ ΧΗẤΜ ĐỀ ΤΗΙ ΗỌΧ ΣΙΝΗ ΓΙỎΙ ΛỚΠ NĂM HỌC 2016 − 2017 Μν: Το〈ν (Đề τηι gồm χ⌠ 04 τρανγ) Β◊ι Β◊ι 1(4đ) α/ (2đ) b/(2đ) Nội δυνγ 32ν+1 + 2ν+2 = 3.32ν + 22.2ν = 3.9ν + 4.2ν = 3( + )ν + 4.2ν = 7Κ + 3.2ν + 4.2ν = 7Κ + 7.2ν  7, ν  Ν ℑπ dụng đẳng thức:(A+B)3=Α3+Β3+3ΑΒ(Α+Β) Α3+Β3=(Α+Β)(Α2−ΑΒ+Β2) α3+β3+χ3=3αβχ(α+β)3+χ3−3αβχ−3αβ(α+β)=0 (α+β+χ)[(α+β)2−(α+β)χ+χ2]−3αβ(α+β+χ)=0 (α+β+χ)(α2+β2+χ2−αβ−βχ−χα)=0 ς α+β+χ0 νν α2+β2+χ2−αβ−βχ−χα=0 (α−β)2+(β−χ)2+(χ−α)2=0 α=β=χ Β◊ι 2(5 đ) Τα χ⌠: 8ξψ+6ξ −12ψ−134=0 α) 4ψ(2ξ−3)+3(2ξ−3)−134=0 2,5 đ (2ξ−3)(4ψ+3)=−143 =13.−11=−11.13=−13.11=11.−13=−1.143=143.−1=1.−143=−143.1 (2ξ−3)  13 ξ     4ψ   −11  ψ  7 / 2(λοαι ) (2ξ−3)  13  ξ  5   4ψ   11 ψ  (2ξ−3)  11 ξ    4ψ   −13  ψ  4 (2ξ−3)  11  ξ  4   4ψ   13  ψ  / 5(λοαι ) (2ξ−3)  143  ξ  73   4ψ   −1  ψ  1 (2ξ−3)  1 ξ    4ψ   143  ψ  35 (2ξ−3)  143  ξ  35   4ψ    ψ  1/ 2(λοαι ) (2ξ−3)  ξ    4ψ   −143  ψ  146 / 4(λοαι ) Vậy χ〈χ cặp (ξ;ψ) νγυψν thỏa mν λ◊ (−5 ;2), (7; −4), ( 1; 35), (73; −1), β/ 2.5đ Điểm 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ς α, β, χ >0 , 〈π dụng bất đẳng thức Χσι τα χ⌠ : ThuVienDeThi.com α2 βχ α2 β  χ  2 α βχ βχ 0,5 đ 0,5 đ β2 χα β2 χ  α  2 β χα χα 0,5 đ χ2 αβ χ2 α  β  2 χ αβ αβ 4 α2 β2 χ2 αβχ     αβχ Συψ ρα : βχ χα αβ α2 β2 χ2 αβχ (đpcm)     βχ χα αβ Β◊ι (2đ) 0,5 đ 0,5 đ Μ  ξ  ξ  ψ  ξψ  ψ  2014     Μ  ξ  ξ   ψ  ψ   ξψ  ξ  ψ    2007 Μ  ξ     ψ  1  ξ   ψ  1  2007 2 (0,5đ) (0,5đ) 2    Μ  ξ     ψ  1   ψ  1  2007   (0,5đ)   Dο  ψ  1  ϖ◊ ξ     ψ  1  ξ, ψ   (0,5đ)  Μ  2007  Μ mιν  2007  ξ  2; ψ  Β◊ι (3 đ) 0.25 Τα χ⌠ : 0.5 Σ ΑΟΒ Σ ΑΟD  ΟΑ     Σ ΒΟΧ ΣΧΟD  ΟΧ  Μ◊ Σ ΑΟΒ  4, ΣΧΟD  , νν Σ ΑΟD Σ ΒΟΧ  Σ ΑΟΒ ΣΧΟD  4.9  36 ℑπ dụng bất đẳng thức χαυχηψ χηο ηαι số dương ,τα χ⌠ Σ ΑΟD  Σ ΒΟΧ  Σ ΑΟD Σ ΒΟΧ  12 Vậy: Σ ΑΒΧD  Σ ΑΟD  Σ ΒΟΧ  Σ ΑΟΒ  ΣΧΟD  25 Đẳng thức xảy ρα κηι ϖ◊ κηι ΣΑΟD=ΣΒΟΧ ηαψ tứ γι〈χ ΑΒΧD λ◊ ηνη τηανγ Vậy γι〈 trị nhỏ diện τχη tứ γι〈χ ΑΒΧD λ◊ 25 ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 Β◊ι (3 đ) 0.25đ 0.5đ Τα χ⌠ ΜΑ = ΜΗ = ΜΧ => < ΜΗΧ =γοχΜΗΧ=2γ⌠χ ΚΒΧ 0.5đ 0.5đ Lại χ⌠ γ⌠χ ΜΗΧ=γ⌠χΚΒΧ+γ⌠χ ΚΜΗ =>  ΒΗΜ χν Η => ΗΜ = ΗΒ 0.5đ Giả sử ΗΑ > ΗΒ(1) Τα χ⌠: γ⌠χ ΑΒΗ>γ⌠χ ΒΑΗ=>γ⌠χ ΒΑΗΗΑΧ>600 =>γ⌠χ ΑΜΗΑΗΑΗ