Đề thi chọn HSG lớp 11 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 20122013 môn: Toán (dành cho học sinh THPT không chuyên)32541

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu   Giải phương trình sin x  cos x   sin x  cos x   Câu a) Xét khai triển: 1  x 1  x  1  2013 x   a0  a1 x  a2 x   a2013 x 2013 Tính 1  22   20132  b) Chọn ngẫu nhiên số có chữ số đơi khác Tính xác suất để số chọn khơng nhỏ 2013 a2  Câu a) Cho dãy số un  xác định sau: u1  1, u2  3, un   2un 1  un  1, n  1, 2, Tính un n  n lim b) Cho phương trình: m x  1x  x  x3  x   ( x ẩn, m tham số) Chứng minh với giá trị thực m phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt Câu a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh mặt phẳng  A ' BD  song song với mặt phẳng CB ' D ' Tìm điểm M đoạn BD điểm N đoạn CD’ cho đường thẳng MN vng góc với mặt phẳng (A’BD) b) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P trung điểm đoạn thẳng AD, BB’, C’D’ Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện Câu Cho a, b, c số thực P x   ax3  bx  cx Tìm tất số a, b, c thỏa mãn P 2   26 P x   với số thực x cho x  -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh…………………… ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) (Đáp án có 03 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu 1(2đ)   Nội dung trình bày Điểm Ta có sin x  cos x   sin x  cos x      2sin x.cos x  cos x  1  2sin x   sin x     sin x  1 sin x  1 0,5  cos x 2sin x  1  2sin x  1   2sin x  1 cos x   sin x      sin x  cos x  0,5   x   k 2  +) sin x    k  ฀   x   k 2  +) 2(2đ) sin x  cos x   0,25 1   sin x  cos x   sin  x    2 6  0,25       x    k 2 x   k 2    k  ฀    x    5  k 2  x    k 2  6 Vậy phương trình cho có họ nghiệm 5   x   k 2 , x   k 2 , x   k 2 , x    k 2 k  ฀  6 2.a (1,0 điểm)    2013  Ta có 1  x 1  x  1  2013 x      k  x    i j  x  A.x3  k 1   1i  j  2013  Suy a2   i j  1    2013  12  22   20132   2 1i  j  2013 1  2013  2014  2013 1007   a2  12  22   20132     2 2  2.b (1,0 điểm) Ta có n    số cách chọn số có bốn chữ số đơi khác  9.9.8.7 0,5 0,25 A biến cố chọn số có bốn chữ số đơi khác abcd không nhỏ ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 2013 Ta tính số số có bốn chữ số đôi khác abcd , nhỏ 2013 số xảy với a  , b  0,1, ,9\  , c  0;1; ;9\ 1; b d  0;1; ;9\ 1; b; csuy trường hợp có 9.8.7 số thỏa mãn Từ hai trường hợp ta n  A   7.8.9.9  7.8.9  7.8.9.8 Do xác suất cần tìm là: P  A  n  A  7.8.9.8   n   9.9.8.7 0,5 0,25 3(2,0đ) 3.a (1,0 điểm) Ta có un   un 1  un 1  un  1, n  1, 2, suy un   un 1 lập thành cấp số cộng có công sai nên un   un 1  u2  u1  n.1  n  (1) 0,25 Từ (1) ta un  u1  un  un 1  un 1  un    u2  u1  n  n    n n  1 n n  1 u u lim n2  lim  Vậy lim n2  n  n n  n n  2n 3.b (1,0 điểm) Đặt f x   m x  1x3  x  x3  x  ta f x  xác định liên tục ฀  un     n  Ta có f 2   1, f 0   1, f 1  1, f 2   Do ta f 2  f 0   0, f 0  f 1  0, f 1 f 2   nên phương trình f x   có nghiệm thuộc 2;0 , 0;1, 1;  suy phương trình có nghiệm phân biệt 4(3đ) 0,5 0,25 0,5 0,5 4.a (1,5 điểm) A D M C B N D' A' 0,5 C' B' Ta có tứ giác BCD’A’ hình bình hành nên CD ' BA '  CD ' BDA ' (1) Ta có tứ giác BDD’B’ hình bình hành nên B ' D ' BD  B ' D ' BDA ' (2) Từ (1) (2) ta  A ' BD  CB ' D '            Đặt BM  x.BD, CN  y.CD ' Khi MN  MB  BC  CN   xBD  AD  y.CD '          x AB  AD  BC  y AA '  AB  x  y  AB  1  x  AD  y AA '     Do MN vng góc (A’BD) nên MN  BD, MN  BA ' Từ ta được:    x   MN BD  1  x  x  y     x y         x  y  y  x  y    MN BA '  y   ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25     Do BM  BD, CN  CD ' 3 4.b (1,5 điểm) M A D S R C B O D' A' N 0,5 P B' Q C' Gọi S trung điểm AB, MS BD  MS BDC ' NS C ' D  NS BDC ' suy MNS  BDC ' Do MNS  BC ' nên (MNS) cắt (BCC’B’) theo giao tuyến qua N song song với BC’ cắt B’C’ Q Do MNS  BD B ' D ' nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song với B’D’ cắt D’C’ P’, P’ trung điểm C’D’ nên P’ trùng với P Do MNS  C ' D 5(1đ) nên (MNS) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến qua P song song với C’D cắt DD’ R Do thiết diện cắt (MNP) hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo lục giác a MSNQPR cạnh MR  có tâm O suy ra: 3a 3a Vậy S MSNQPR  S MSNQPR  SOMS  OM OS sin 60  4 1 Đặt f 1  m, f 1  n, f    p , m , n , p  ta có hệ 2 3m  n  p   a  a  b  c  m a  b  c  m   m n     b  a  b  c  n  a  b  c  n a b c a  2b  4c  p   p  3m  n 16    p  8 c   3m  n  p 16 p  3m  n  m  n    9m  n  16 p    16  26 Ta có f 2   3 m  a    Dấu xảy n   b   p  1 c  3   0,5 0,5 0,5 0,25 Ta có f x   x3  x , xét 1  x  tồn  : x  cos  a    f x   cos   3cos   cos 3 suy f x   với 1  x  Vậy b  c  3  Hết -ThuVienDeThi.com 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN (Dành cho học sinh THPT khơng chun) (Đáp án có 03 trang) I LƯU Ý CHUNG:... giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần... 2.b (1,0 điểm) Ta có n    số cách chọn số có bốn chữ số đơi khác  9.9.8.7 0,5 0,25 A biến cố chọn số có bốn chữ số đơi khác abcd không nhỏ ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 2013 Ta tính số